Dagenais, Marcel G.

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Research Papers in Economics

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Note
 
Marcel G. Dagenais
L'Actualité économique, vol. 50, n° 3, 1974, p. 465-467.
 
 
 
Pour citer cette note, utiliser l'information suivante :
 
URI: http://id.erudit.org/iderudit/803060ar
DOI: 10.7202/803060ar
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Document téléchargé le 6 October 2012 11:13
« Modèle de régression avec variables d’écart  : un commentaire »Modèle de régression avec variables d'écart : 
un commentaire 
Le but de cette note est de faire quelques remarques sur un article 
paru dans le numéro précédent de cette Revue \ 
L'article en question semble contenir plusieurs points obscurs. Mon 
but n'est pas, ici, d'en faire procès à l'auteur car chacun sait combien 
il est difficile, lorsque l'on fait un travail de recherche original, d'en 
exprimer les résultats de façon claire et convaincante. Je déplore cepen-
dant qu'un certain nombre de points n'aient pas été éclaircis. 
J'énumère ci-dessous quelques-uns de ces points : 
1) Les équations (2.3) et (2.4) devraient être remplacées par : 
£(3;i|Z4)=^ = Prob(3;i=l|^) Î6n (1) 
En effet, il n'est pas exact d'écrire : 
E(yi\Xi)=-Prob(yl = 0\Xi) ,'Gn, (2) 
comme on l'a fait dans l'équation (2.3). 
2) Dans l'équation (2.18), il vaudrait mieux écrire, par exemple : 
L(y) = i¥»1 Probfo-Ol*,) 
i¥n2 Prob(/<yi<3f + rf/et/>0|*,) (3) 
au lieu de : 
L(y) = /G
I«1
 Pro
b
 (X^OI^) -I^Piob (y4>0|Jrf) 
puisque .£* Prob (yi>0\Xi) serait un produit d'intégrales et 
ne correspondrait sûrement pas à l'expression de la dernière ligne 
de la page 180. 
1. Jean-Guy Loranger, «Modèle de régression avec variables d'écart», n° 2, avril-
juin 1974, pp. 177-190. 466  L'ACTUALITÉ ÉCONOMIQUE 
3) A la page 181, à la note 4, l'auteur écrit : «Dagenais se limite à 
différencier (3 et (3* par la différence dans le terme constant. Mais 
il n'y a aucune raison qui puisse justifier à priori cette limitation. 
On peut très bien concevoir une pente pour la droite de régression 
pour i G nx et une autre pour i G n2 puisque, de toute manière, la 
pente est 0 pour i G nz ». Effectivement, il y a une raison qui jus-
tifie cette limitation. En effet, si on utilisait la suggestion de l'auteur 
telle que représentée au graphique 1 de la page 182, on pourrait 
aisément se trouver dans une situation où, pour des valeurs de 
X fortement négatives, l'on aurait à la fois y# — u{ < L — vi et 
y2% ~~ u* > ^ +
 sv C'est-à-dire que l'observation se trouverait à la 
fois au-dessous et au-dessus de la valeur limite L
2. 
4) A la page 184, on affirme que le vecteur Xt est distribué indépen-
damment de (ut, % s» WA). Est-il raisonnable de penser que le vec-
teur aléatoire Xi et la variable Wi sont distribués indépendamment, 
alors que W{= Xfi — u^ selon les équations (3.2) et (3.3) ? De 
la même façon, on affirme que le vecteur Z{ est indépendant de 
(u^ % Xxl, W{). Est-ce vraisemblable, si l'on considère que Wi est 
égal àLouàl
T
r u{ selon que W^ L +Z\Q+ r\i ou W{> L 
+ Z,8 + T|I, d'après (3.1), (3.2), (3.4) et (3.5)? 
5) A la page 185, équation (3.6), l'auteur écrit : 
W^L + St-t* zGn, (4) 
Si l'on note qu'à la page précédente, équation (3.1 ), l'auteur mention-
ne que W{ = L V i G n19 ceci implique e1{ = s» donc E(Bti) = E(si) 
= E(Z'fl) +E(r\.). Comme, d'après l'auteur, Efa) =0 et E(elf) 
= [x, on a nécessairement E{Z'iQ) = |i. Puisque l'on écrit en (3.18) 
que E(Zfi) = \L + p, on doit en conclure que p = 0. Si, à priori, 
on a : p = 0, il est inutile, plus loin, d'essayer d'estimer ce para-
mètre. 
6) A la page 188, l'équation (3.28) devrait se lire : 
£(»«) =-P-E{{1 -AK*} +£(A<y • (5) 
Comme Di dépend de Xt et que X{ est une variable aléatoire, 
il est inexact de supposer que E{{\ — A)
8it}
 =
=
 (1 """A)!
1 e
t 
E{D.fi2i} = Dp, comme l'écrit l'auteur. Tout au plus, en suppo-
sant, comme le fait implicitement l'auteur, que Di est indépendant 
de s1{ et e^ on peut écrire : 
E{(ot) = - p - [1 - E(D)]VL + E(D{)v. (6) 
2. Le modèle dont il est question ici est présenté dans Dagenais (1975). MODÈLE DE REGRESSION AVEC VARIABLES D'ÉCART 467 
Puisque p = 0 comme nous l'avons indiqué ci-dessus, on a donc 
£K) = - [1 -E{Dt)]v. + E(Dt)v. (7) 
Si on se rapporte maintenant à la définition de Di telle qu'expli-
quée aux pages 186-187 de l'article, on voit que D{ est une cer-
taine fonction du vecteur aléatoire X{. Si l'on désigne cette fonction 
par O, on peut écrire : E{D{) =£{0(Ztt)}. Comme les X{ sont 
aléatoires par hypothèse, E{^(Xi)} sera le même pour tout i. On 
peut donc écrire: £(JDJ =È{<&(Xi)} = Y, où Y est un terme 
constant. L'espérance mathématique de cotf peut donc s'exprimer 
comme : 
£(CD.)=-(1-Y)^ + YV. (8) 
Le même genre de raisonnement nous force à conclure que Var 
(coj est égale à une constante Var (co), pour tout i. La fonction 
de vraisemblance L(œ) exprimée en (3.31) devient alors : 
L(co) = (27T)-
n/
2
 [Var (co)]"
n/
2 
On s'aperçoit alors que cette fonction de vraisemblance a la même 
structure que celle que l'on obtiendrait si l'on appliquait un simple 
modèle de régression multiple avec w^ comme variable dépendante 
et les éléments de Zi comme variables indépendantes, sans aucu-
nement tenir compte du problème qui est à l'origine du modèle 
suggéré ! 
Tel que présenté dans l'article qui fait l'objet de ce commentaire, 
il semble donc, après examen, que le modèle suggéré ne soit pas très 
utile. 
Marcel G. DAGENAIS, 
Université de Montréal 
RÉFÉRENCES 
DAGENAIS, MARCEL G., « Application of a Threshold Regression Model to 
Household Purchases of Automobiles», Review of Economics and Sta-
tistics, 1975, à paraître. 
LORANGER, JEAN-GUY, « Modèle de régression avec variables d
3écart », 
L'Actualité Economique, avril-juin 1974, pp. 177-190. 

Modèle de régression avec variables d’écart : un commentaire

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