Routing problems with profits and periodicity..

Abstract

Dit proefschrift behandelt verschillende routeplanning problemen met een winst component en/of met periodiciteit. We focussen op een aantal specifieke doelfuncties en dit op verschillende netwerk topologieën. In Hoofdstuk 1 worden een aantal concepten toegelicht die centraal staan in dit werk. Deze bestaan uit 4 belangrijke elementen: klantgerichte routeplanning, winsten, periodiciteit en netwerk topologieën. In klantgerichte routeplanning tracht men de som van de wachttijden van de klanten te minimaliseren om zo een optimale service te garanderen. In dit werk komt een dergelijk probleem met winsten aan bod, i.e. met elke klant wordt een bepaalde winst geassocieerd. De leverancier is niet verplicht al de klanten te bedienen maar als hij een klant bedient, verzamelt hij de winst. In verscheidene toepassingen zal een klant regelmatig bediend worden met een bepaalde frequentie, dit wordt behandeld in periodieke routeplanning problemen. Bovenstaande problemen zijn NP-moeilijk wanneer algemene netwerken beschouwd worden. Beperken we ons echter tot klanten gelegen op een lijn of op een boom, kan in vele gevallen een polynomiaal algoritme ontwikkeld worden.Hoofdstuk 2 handelt over het minimum latency probleem met winst-en waarbij de klanten op een lijn liggen. Dit probleem op een boom is NP-moeilijk, op de lijn echter kan dit probleem met polynomiale tijdscomplexiteit opgelost worden met behulp van een dynamisch programmeringalgoritme. Dit dynamisch programmeringalgoritme kan uitgebreid worden naar problemen met meerdere, identieke leveranciers. Het probleem met meerdere, niet-identieke leveranciers en klanten met "release dates" is NP-moeilijk. Ook het probleem waarbij deadlines aanwezig zijn komt aan bod. Het dynamisch programmeringalgoritme is niet langer bruikbaar, zelfs niet wanneer deze deadlines gelijk zijn voor al de klanten; de complexiteit van dit probleem is nog open. Willekeurige deadlines leiden tot NP-moeilijkheid van het probleem. We beschouwen uiteindelijk ook een omgekeerde situatie waarbij klanten zo laat mogelijk, maar voor een bepaalde deadline, bezocht wensen te worden.De aandacht in Hoofdstuk 2 gaat vooral uit naar een latency probleem met winsten in een lijn metriek; in Hoofdstuk 3 bestuderen we een klassiek handelsreizigersprobleem maar met winsten en met klanten gepositioneerd op een boomnetwerk. Dit probleem wordt bestudeerd als een bi-objectief probleem: tezelfdertijd wordt getracht de kosten te minimaliseren en de winsten te maximaliseren. Om met deze meerdere objectieven om te gaan is het concept Pareto-optimaliteit belangrijk. Een oplossing met een bepaalde kost C en winst P is Pareto-optimaal als er geen andere toelaatbare oplossing bestaat waarvoor C' ≤ C and P' ≥ P. Er wordt dus niet gezocht naar één enkele optimale oplossing maar naar een set van oplossingen. Het vinden van de Pareto-optimale oplossingen voor het handelsreizigersprobleem met winsten in een boom metriek is NP-moeilijk. Dit probleem is echter wel oplosbaar in pseudo-polynomiale tijd met behulp van een dynamisch programmeringalgoritme en de set van Pareto-optimale oplossingen kan efficiënt benaderd worden met een FPTAS. Een subset van de Pareto-optimale oplossing, i.e. de extreem ondersteunde efficiënte oplossingen, kan wel berekend worden door een algoritme met polynomiale tijdscomplexiteit. Deze resultaten blijven gelden wanneer we meer algemene netwerktopologieën beschouwen die voldoen aan de Kalmanson voorwaarden.In Hoofdstukken 2 en 3 wordt de complexiteit bestudeerd van enkele routeplanning problemen met winsten op bepaalde netwerken. In Hoofdstuk 4 komt hierbij nog een periodiciteitaspect in het periodiek latency probleem met winsten. Elke klant dient regelmatig bediend te worden in overeenstemming met zijn/haar persoonlijke vereiste frequentie. Een route is enkel toelaatbaar indien al de klanten in de route in overeenstemming met de vereiste frequenties bezocht worden. We bestuderen de complexiteit van dit probleem voor verschillende waarden van winsten en frequenties en op verschillende netwerken. Er wordt aangetoond dat indien er een toelaatbare oplossing bestaat, er ook een periodieke toelaatbare oplossing bestaat. We beschouwen drie varianten: periodieke latency met winsten, periodieke latency met winsten en meerdere leveranciers, en periodieke latency met meerdere leveranciers. In het periodieke latency probleem met winsten dienen niet al de klanten bezocht te worden en wordt een route gezocht voor de leverancier zodat de winst gemaximaliseerd wordt. Het probleem is oplosbaar in polynomiale tijd voor willekeurige waarden voor de winsten en frequenties indien het onderliggende netwerk een lijn of cirkel is; op een ster is het probleem al NP-moeilijk. Enkel indien winsten en frequenties gelijk zijn voor al de klanten is het probleem ook op een boom oplosbaar in polynomiale tijd. Het periodieke latency probleem met meerdere leveranciers is een analoog probleem waarbij voor elke leverancier een route gezocht wordt zodat totale winst gemaximaliseerd is. Het periodieke latency probleem zoekt routes waarbij al de klanten bediend worden met een minimaal aantal leveranciers. Beide problemen zijn enkel oplosbaar in polynomiale tijd op een lijn of een cirkel. In al de overige situaties zijn deze NP-moeilijk.Een meer standaard periodiek routeplanning probleem wordt beschreven in Hoofdstuk 5. In dit hoofdstuk behandelen we een casus van een periodiek routeplanning probleem. De behandelde casus beschrijft een probleem van een Belgisch transportbedrijf verantwoordelijk voor het ophalen van slachtafval bij beenhouwers, supermarkten en slachthuizen. Er zijn 2 instanties gegeven, een instantie met 262 klanten en een instantie met 48 klanten. Het probleem is een voorbeeld van een PVRP met een aantal extra beperkingen specifiek voor deze instanties; dit wordt vertaald in een wiskundig model. Door het grote aantal variabelen richten we ons echter op heuristieken om een goede toelaatbare oplossing te bekomen. Enkele traditionele strategieën worden toegepast waarbij het probleem in twee fasen opgelost wordt. In een eerste fase worden klanten aan dagen van de week toegewezen en in een tweede fase worden de routes voor iedere dag opgesteld; of omgekeerd. Op deze manier verkrijgen we routes die tot 15.5% goedkoper zijn vergeleken met de oorspronkelijke routes.Tot slot wordt een heel ander periodiek routeplanning probleem bestudeerd in Hoofdstuk 6. In dit hoofdstuk beschouwen we een motion control probleem voor een plaatsingsmachine. Een dergelijke machine bestaat uit drie belangrijke onderdelen, i.e. een robot arm, een magazijn, en een bord; al deze onderdelen kunnen bewegen. Initieel bevindt zich een set van componenten in het magazijn; deze componenten worden door de arm op bepaalde posities op het bord geplaatst. De verschillende onderdelen van de machine dienen gerouteerd te worden zodanig dat al de componenten zo snel mogelijk op het bord geplaatst worden. Dit probleem wordt in de literatuur vaak opgelost met behulp van een (niet-optimale) Greedy methode. We kunnen dit probleem echter optimaal oplossen in polynomiale tijd door het te formuleren als een lineair programma (LP). Dit LP leidt tot een reductie in assemblagetijd vergeleken met oplossingen berekend met Greedy.