Jacobi forms

Abstract

Along with explaining the Saito-Kurokawa lift, Eichler and Zagier's book gives the main structural theorems for Jacobi forms on the full modular subgroup. Since then much work has been published in papers generalizing these results to different types of Jacobi forms, but very little work has been done generalizing the theory to Jacobi forms for congruence subgroups. A large part of this thesis will be aimed at generalizing the work of Eichler-Zagier's book to Jacobi forms for congruence subgroups. In particular, we describe the structure for the Jacobi-Eisenstein space of the congruence subgroup Gamma(N). We will also find a bound on the number of Fourier coefficients needed to determine a Jacobi form for a congruence subgroup. The latter part of this work will cover the theory of theta series and the corresponding theory of Jacobi-theta series. The motivating problem for this thesis is to find a basis for the space of Jacobi forms for congruence subgroups.En plus d'expliquer la soulevement Saito-Kurokawa, le livre d'Eichler et Zagier donne les theoremes principaux sur la structure des formes de Jacobi pour le sous-groupe modulaire complet. Depuis, de nombreux travaux publies generalisent ces resultats differentes sortes de formes de Jacobi, mais tres peu de travail a ete effectu en vue de generaliser la theorie des formes de Jacobi pour les sous-groupes de congruence. Une grande partie de cette these visera a generaliser les conclusions du livre d'Eichler-Zagiera des formes de Jacobi pour les sous-groupes de congruence. En particulier, nous decrirons la structure de l'espace Jacobi-Eisenstein du sous-groupe de congruence Gamma(N). Nous trouverons egalement une borne au nombre de coefficients de Fourier necessaires pour determiner une forme de Jacobi d'un sous-groupe de congruence. La derniere partie de ce travail portera sur la theorie des series theta et la theorie correspondante de la serie theta de Jacobi. Le probleme central pour cette these est de trouver une base pour l'espace des formes de Jacobi relativement aux sous-groupes de congruence