El objetivo de este trabajo es demostrar que hay funciones elementales que no admiten primitiva elemental. Para ello, en la primera parte presentamos una introducción al álgebra diferencial, en la que definimos qué son los cuerpos y los anillos diferenciales y qué son las extensiones elementales de cuerpos diferenciales. Esta teoría nos permitirá precisar que entendemos exactamente por funciones elementales. El resultado más importante del trabajo es el teorema de Liouville, que nos da una condición necesaria y suficiente para que una función admita una primitiva elemental. En la segunda parte del trabajo, utilizando las herramientas básicas del análisis funcional, adaptaremos esta teoría algebraica a los cuerpos de funciones meromorfas definidos sobre dominios del plano complejo. Para acabar, utilizaremos el teorema de Liouville para encontrar ejemplos de funciones de variable real que no admiten primitiva elemental
