En este trabajo se añade una extensión a Ludwig para simular medios granulares húmedos. Se utiliza el método Lattice-Boltzmann para simular un fluido en el que se introducen esferas duras que colisionan inelásticamente. El medio se fuerza agitando aleatoriamente todos los granos o aplicando una fuerza constante sobre uno de ellos, lo que permite medir las propiedades globales y locales del sistema

Morales Suárez, Silvio René

UPCommons

ESTUDIO COMPUTACIONAL DE UN MEDIO GRANULAR
HU´MEDO FORZADO
Silvio Rene´ Morales Sua´rez
Tutor: Dr. Ignacio Pagonabarraga Mora
Departamento de F´ısica Fundamental, Universidad de Barcelona
Resumen
En este trabajo se an˜ade una extensio´n a Ludwig (3) para simular medios granulares hu´medos. Se utiliza el me´todo
Lattice-Boltzmann para simular un fluido en el que se introducen esferas duras que colisionan inela´sticamente.
El medio se fuerza agitando aleatoriamente todos los granos o aplicando una fuerza constante sobre uno de
ellos, lo que permite medir las propiedades globales y locales del sistema.
Palabras clave: lattice-boltzmann, grano, fluidos, microreolog´ıa
1. Introduccio´n
Un medio granular se compone de part´ıculas ma-
crosco´picas, granos, que pueden encontrarse en el vac´ıo
o inmersas en un fluido. Entre estas no actu´an fuerzas
atractivas, solo fuerzas disipativas de repulsio´n, lo que
lleva a que las colisiones sean inela´sticas y no se con-
serve la energ´ıa meca´nica del sistema. El cara´cter disi-
pativo de estas colisiones es el responsable de que los
medios granulares, en dependencia de las condiciones
en que se encuentren, se comporten como un so´lido,
l´ıquido o gas.
El comportamiento peculiar, y la importancia que
tienen para la industria materiales con estas carac-
ter´ısticas, ha hecho que en los u´ltimos an˜os el estudio
cient´ıfico de medios granulares haya experimentado un
desarrollo considerable.
La mayor parte de los estudios que se han reali-
zado sobre este tipo de material se centran en medios
granulares secos en los que so´lo se tiene en cuenta la
interaccio´n entre las part´ıculas.
En muchas situaciones se puede despreciar el efec-
to que ejerce el fluido donde se encuentran los granos
y tratar el sistema como un medio granular seco, pero
en otras (7) hay que tener en cuenta adema´s la relacio´n
fluido-grano, lleva´ndonos a modelos ma´s complejos.
En este trabajo nos enfocamos en sistemas como
estos u´ltimos, creando una aplicacio´n computacional
que permita estudiar la respuesta de medios granula-
res hu´medos y ayude a comprender el comportamiento
de este tipo de material, sobre todo en estados esta-
cionarios fuera del equilibrio.
Al estar los granos en contacto con un fluido pier-
den energ´ıa y despue´s de un tiempo llegan a estar en
reposo, por lo tanto es necesario aplicarles un esfuerzo
externo con el objetivo de alcanzar un estado estacio-
nario en el cual se puedan medir cantidades estadistas
significativas. Con este fin vamos a realizar dos tipos
de simulaciones.
En una agitaremos todo el sistema, para tener re-
sultados de la respuesta global, aplicando una fuerza
aleatoria sobre cada una de las part´ıculas. Aunque es-
to es un modelo idealizado, permite obtener un estado
homoge´neo mas fa´cil de estudiar.
En otro tipo de simulaciones aplicaremos una fuer-
za constante a una part´ıcula seleccionada para me-
dir propiedades microsco´picas, que podremos compa-
rar con resultados experimentales (6) obtenidos utili-
zando pinzas o´pticas para arrastrar a velocidad cons-
tante una part´ıcula aislada del resto.
2. Ludwig : Lattice-Boltzmann
Para simular un medio granular hu´medo se uti-
lizo´ Ludwig (3), an˜adie´ndole una extensio´n para el tra-
tamiento inela´stico de las colisiones entre part´ıculas.
Ludwig es un software escrito en C para simular
modelos de Lattice-Boltzmann(LB) en 3D sobre la´ti-
ces cu´bicas. Permite incluir objetos so´lidos, paredes
esta´ticas o en movimiento y coloides en suspensio´n, en
contacto con el fluido.
A pesar de estar escrito en el lenguaje de progra-
macio´n C por cuestiones de eficiencia y portabilidad,
Ludwig fue desarrollado siguiendo una estructura mo-
dular y jera´rquica que facilito´ extenderlo para tener
en cuenta los cambios necesarios en nuestro trabajo.
Minimizando as´ı la necesidad de cambios en el co´digo
existente, que permitio´ una mayor concentracio´n de
esfuerzo en la puesta a punto del nuevo co´digo y el uso
de MPI para el ca´lculo en paralelo.
LB es una aproximacio´n mesosco´pica del movi-
miento de un fluido que se basa en la ecuacio´n de Bol-
Figura 1: Colisio´n entre part´ıculas
tzmann discretizada en el espacio de velocidades.
fi(x+ ~ci, t+ 1) = fi(x, t) + Ωi (1)
La cantidad fi es la densidad de part´ıculas que viajan
a una velocidad ~ci al instante de tiempo t en el nodo
x de una la´tice cu´bica.
El operador Bhatnagar-Gross-Krook(BGK) (1) se
utiliza para el te´rmino de colisio´n que aparece en la
parte derecha de la ecuacio´n (1)
Ωi = −1
τ
(fi(x, t)− feqi (x, t)) (2)
Este operador describe el paso de colisio´n en el que la
distribucio´n fi relaja hacia la distribucio´n de equilibrio
feqi a un ritmo
1
τ . Se denomina tiempo de relajacio´n a
τ . Despue´s la distribucio´n fi se propaga al nodo x+~ci.
3. Granos
En Ludwig los objetos so´lidos son definidos por
una superficie que corta algunos enlaces entre nodos
de la la´tice. En la frontera so´lido-fluido se aplica el es-
quema BBL(bounce-back on the links) (5) de forma que
se obtienen condiciones de frontera stick. As´ı los gra-
nos pueden ser modelados por esferas duras de radio
r, en contacto con el fluido, entre las cuales no se tiene
en cuenta ninguna interaccio´n excepto las colisiones.
Las velocidades despue´s de cada colisio´n entre dos
part´ıculas se obtiene de la siguiente forma (2):
~v′1 = ~v1 −
m1m2
m1 +m2
(1 + ε)(~v12 · ~e)~e (3)
~v′2 = ~v2 +
m1m2
m1 +m2
(1 + ε)(~v12 · ~e)~e (4)
donde ~v12 = ~v1 − ~v2 y ~e es un vector unitario en la
direccio´n de la l´ınea que conecta los centros de las
part´ıculas.
El coeficiente de restitucio´n ε = − ~v′12·~e~v12·~e mide la
pe´rdida de energ´ıa en cada choque, lo considerare-
mos constante e independiente de la velocidad relati-
va entre part´ıculas. ε var´ıa entre 0(colisio´n totalmente
inela´stica) y 1(colisio´n totalmente ela´stica)
4. Resultados
A modo de verificacio´n se realizaron diversas simu-
laciones del comportamiento de una part´ıcula dentro
de un fluido en una caja. La desviacio´n del coeficiente
de friccio´n ζ de su valor teo´rico ζ0 = 6piη0r, debido al
efecto de taman˜o finito, se puede calcular como una
funcio´n de φ (4).
(
ζ
ζ0
)−1
= 1− 1,7601φ 13 + φ− . . . (5)
Teniendo en cuenta la correccio´n anterior podemos
comprobar que la part´ıcula tiene un comportamiento
similar al descrito por ley de Stokes(figura 2).
Figura 2: Efecto de la disipacio´n de energ´ıa en la veloci-
dad de una part´ıcula de radio r = 2,5 aislada. t0 =
r
vm
,
donde vm es la velocidad media. inset: Velocidad de
una part´ıcula sobre la que se aplica una fuerza cons-
tante F . t0 =
r
vl
, donde vl =
F
ζ
En las figuras 3 y 4 se muestran las velocidades de
dos part´ıculas que inicialmente tienen una velocidad de
igual magnitud pero de sentido contrario v1 = 0,1 y
v2 = −0,1, sin que actu´e ninguna fuerza externa sobre
ellas. Despue´s de desplazarse un tiempo colisionan de
manera frontal.
En el primer caso el choque es ela´stico ε = 1,0 y la
magnitud de la velocidad relativa con que se mueven
las part´ıculas no var´ıa, lo que existe es un intercambio
entre los valores de las velocidades verificable en la
gra´fica correspondiente.
En el segundo el coeficiente de restitucio´n es ε =
0,2 y por lo tanto hay disipacio´n de energ´ıa adicional
durante el choque. Al calcular ε a partir de los resulta-
dos de esta simulacio´n obtenemos que ε = 0,184 ≈ 0,2
En ambos casos el comportamiento esta´ cerca del
esperado teo´ricamente.
Figura 3: Velocidad de dos part´ıculas que se mueven
una al encuentro de la otra en un choque ela´stico
Figura 4: Velocidad de dos part´ıculas que se mueven
una al encuentro de la otra en un choque inela´stico
con ε = 0,2. Al reconstruir el valor del coeficiente de
restitucio´n a partir de los valores que se muestran en
la figura se obtiene ε = 0,184 ≈ 0,2
4.1. Sistema homoge´neo forzado fuera
del equilibrio
Para compensar la pe´rdida de energ´ıa del medio
granular, debido a la interaccio´n con el fluido y al
cara´cter inela´stico de las colisiones, se aplico´ una fuer-
za externa aleatoria de forma que a cada part´ıcula se
le da un impulso a una frecuencia determinada. De
esta forma se logra que el sistema llegue a un estado
estacionario fuera del equilibrio(EEFE) en presencia
de esta fuerza aleatoria.
En sistemas densos(φ = 0,6), para valores pe-
quen˜os del coeficiente de restitucio´n, los granos tienden
a acoplarse y formar clu´steres, como se puede apreciar
en la gra´fica de la funcio´n de distribucio´n radial(figura
5). Para colisiones ela´sticas, ε = 1,0, la g(r) presenta
una estructura ma´s marcada caracter´ıstica de un so´li-
do. Adema´s la temperatura media(figura 7) aumenta
con el valor de ε siguiendo una ley de potencia simi-
lar al resultado obtenido por van Noije, Ernst, Trizac
& Pagonabarraga (8) para fluidos granulares, aunque
con un exponente distinto. El coeficiente de difusio´n
tambie´n aumenta con ε(figura 8), pero no se verifica
la ecuacio´n de Stokes-Einstein D = kT6piηr .
En cambio, para valores pequen˜os de la fraccio´n
volu´mica φ no se observa diferencia en el comporta-
miento del medio al variar ε(ver figura 9), excepto en
el valor del ma´ximo, que es mayor para valores meno-
res del coeficiente de restitucio´n, indicando una ten-
dencia al acoplamiento entre granos a medida que son
mas inela´sticas las colisiones. En este caso el re´gimen
hidrodina´mico controla la evolucio´n del sistema.
Figura 5: Funcio´n de distribucio´n radial g(r) para φ =
0,6. D = 5,1 es el dia´metro de las part´ıculas
Figura 6: Funcio´n de distribucio´n de la temperatura
granular para los mismos datos representados en la
figura 5
4.2. Microreolog´ıa
Otra situacio´n que se simulo´ fue un sistema en el
cual se selecciono´ una part´ıcula y se le aplico´ una fuer-
za constante hasta que igualmente se llego´ a un EEFE.
La distribucio´n de velocidades muestra una desviacio´n
Figura 7: Temperatura granular T como funcio´n del
coeficiente de restitucio´n ε. Inset: Gra´fica de T en fun-
cio´n del coeficiente de inelasticidad α = 1 − ε2. En
l´ınea discontinua se muestra el resultado para un flui-
do granular. φ = 0,6, D = 5,1
Figura 8: Coeficiente de difusio´n D como funcio´n del
coeficiente de restitucio´n ε. Inset: Gra´fica de TD en fun-
cio´n del coeficiente de restitucio´n ε. φ = 0,6, D = 5,1
de la distribucio´n de Maxwell que es la esperada para
la velocidad de un gas ideal.
Se observo´ que para fracciones volu´micas pe-
quen˜as, en este caso φ = 0,1(figuras 10), el comporta-
miento de la velocidad de la part´ıcula no depende apre-
ciablemente del coeficiente de restitucio´n. En el caso
ela´stico, la distribucio´n de velocidades no es sime´trica,
estando ma´s separado el valor mı´nimo de la velocidad
de la part´ıcula de su valor medio.
S´ı existe una marcada diferencia al variar ε cuando
es mayor la densidad de part´ıculas en la caja de la
simulacio´n(figura 11). La gra´fica de la distribucio´n de
la velocidad para ε = 1,0 es ma´s dispersa, aparecen dos
picos, y es sime´trica respecto al valor medio. Al ser las
colisiones ela´sticas, la part´ıcula seleccionada impone
una velocidad en las part´ıculas con las que choca, a
su vez este movimiento de granos alrededor hace que
Figura 9: Funcio´n de distribucio´n radial g(r) para φ =
0,2. D = 5,1 es el dia´metro de las part´ıculas
sea ma´s variado el efecto del fluido y de las colisiones
sobre la part´ıcula que se analiza. Cuando las colisiones
son inela´sticas, ε = 0,0, el movimiento generado por
los choques sobre los granos que se encuentran en la
trayectoria de la part´ıcula que se hala, es enfriado y
se tiende a crear un defecto en la estructura del medio
en el cual halla una resistencia menos variada.
Figura 10: Distribucio´n de velocidad de una part´ıcula
a la que se le aplica una fuerza constante en un sistema
a φ = 0,1
5. Conclusiones preliminares y
trabajo futuro
En este trabajo se utilizo´ el me´todo de Lattice-
Boltzmann para simular un fluido que contiene dentro
esferas duras con las cuales se modela un medio gra-
nular sin despreciar la interaccio´n con el fluido. Con
este objetivo se le an˜adio´ un co´digo que permite tener
en cuenta las colisiones inela´sticas entre las part´ıcu-
las al programa Ludwig escrito en el lenguaje de pro-
gramacio´n C. Las simulaciones fueron realizadas en el
Figura 11: Distribucio´n de velocidad de una part´ıcula
a la que se le aplica una fuerza constante en un sistema
a φ = 0,4
Cluster de ca´lculo Albeniz formado por 8 nodos que
pertenece al Departamento de F´ısica Fundamental en
la Facultad de F´ısica de la Universidad de Barcelona.
Se ha podido verificar que la inclusio´n de las in-
teracciones fluido-grano var´ıan el comportamiento res-
pecto a medios granulares secos, por lo que no se pue-
den aplicar directamente resultados anal´ıticos obteni-
dos para estos (8).
En los resultados obtenidos observamos una ten-
dencia a la formacio´n de clu´steres cuando las colisiones
entre part´ıculas son inela´sticas. Para comprobar este
comportamiento se realizara´n simulaciones en parale-
lo con las que se pueda estudiar sistemas ma´s grandes
que permitan tener una mejor visio´n de la estructura
del medio.
En el caso del estudio de microreolog´ıa se debe pro-
fundizar en la estructura local alrededor de la part´ıcula
sobre la que se aplica la fuerza, verificar el estado del
fluido y de los granos vecinos a esta para entender me-
jor como condicionan su movimiento. Tambie´n se debe
medir el coeficiente de friccio´n efectivo γ, que se define
como F = γU, donde U es la velocidad media de la
part´ıcula y F es la fuerza media que se aplica sobre
esta, algunos resultados (9) relacionan estas magnitu-
des.
Referencias
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Estudio computacional de un medio granular húmedo forzado

UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC

ESTUDIO COMPUTACIONAL DE UN MEDIO GRANULARHU´MEDO FORZADOSilvio Rene´ Morales Sua´rezTutor: Dr. Ignacio Pagonabarraga MoraDepartamento de F´ısica Fundamental, Universidad de BarcelonaResumenEn este trabajo se an˜ade una extensio´n a Ludwig (3) para simular medios granulares hu´medos. Se utiliza el me´todoLattice-Boltzmann para simular un fluido en el que se introducen esferas duras que colisionan inela´sticamente.El medio se fuerza agitando aleatoriamente todos los granos o aplicando una fuerza constante sobre uno deellos, lo que permite medir las propiedades globales y locales del sistema.Palabras clave: lattice-boltzmann, grano, fluidos, microreolog´ıa1. Introduccio´nUn medio granular se compone de part´ıculas ma-crosco´picas, granos, que pueden encontrarse en el vac´ıoo inmersas en un fluido. Entre estas no actu´an fuerzasatractivas, solo fuerzas disipativas de repulsio´n, lo quelleva a que las colisiones sean inela´sticas y no se con-serve la energ´ıa meca´nica del sistema. El cara´cter disi-pativo de estas colisiones es el responsable de que losmedios granulares, en dependencia de las condicionesen que se encuentren, se comporten como un so´lido,l´ıquido o gas.El comportamiento peculiar, y la importancia quetienen para la industria materiales con estas carac-ter´ısticas, ha hecho que en los u´ltimos an˜os el estudiocient´ıfico de medios granulares haya experimentado undesarrollo considerable.La mayor parte de los estudios que se han reali-zado sobre este tipo de material se centran en mediosgranulares secos en los que so´lo se tiene en cuenta lainteraccio´n entre las part´ıculas.En muchas situaciones se puede despreciar el efec-to que ejerce el fluido donde se encuentran los granosy tratar el sistema como un medio granular seco, peroen otras (7) hay que tener en cuenta adema´s la relacio´nfluido-grano, lleva´ndonos a modelos ma´s complejos.En este trabajo nos enfocamos en sistemas comoestos u´ltimos, creando una aplicacio´n computacionalque permita estudiar la respuesta de medios granula-res hu´medos y ayude a comprender el comportamientode este tipo de material, sobre todo en estados esta-cionarios fuera del equilibrio.Al estar los granos en contacto con un fluido pier-den energ´ıa y despue´s de un tiempo llegan a estar enreposo, por lo tanto es necesario aplicarles un esfuerzoexterno con el objetivo de alcanzar un estado estacio-nario en el cual se puedan medir cantidades estadistassignificativas. Con este fin vamos a realizar dos tiposde simulaciones.En una agitaremos todo el sistema, para tener re-sultados de la respuesta global, aplicando una fuerzaaleatoria sobre cada una de las part´ıculas. Aunque es-to es un modelo idealizado, permite obtener un estadohomoge´neo mas fa´cil de estudiar.En otro tipo de simulaciones aplicaremos una fuer-za constante a una part´ıcula seleccionada para me-dir propiedades microsco´picas, que podremos compa-rar con resultados experimentales (6) obtenidos utili-zando pinzas o´pticas para arrastrar a velocidad cons-tante una part´ıcula aislada del resto.2. Ludwig : Lattice-BoltzmannPara simular un medio granular hu´medo se uti-lizo´ Ludwig (3), an˜adie´ndole una extensio´n para el tra-tamiento inela´stico de las colisiones entre part´ıculas.Ludwig es un software escrito en C para simularmodelos de Lattice-Boltzmann(LB) en 3D sobre la´ti-ces cu´bicas. Permite incluir objetos so´lidos, paredesesta´ticas o en movimiento y coloides en suspensio´n, encontacto con el fluido.A pesar de estar escrito en el lenguaje de progra-macio´n C por cuestiones de eficiencia y portabilidad,Ludwig fue desarrollado siguiendo una estructura mo-dular y jera´rquica que facilito´ extenderlo para teneren cuenta los cambios necesarios en nuestro trabajo.Minimizando as´ı la necesidad de cambios en el co´digoexistente, que permitio´ una mayor concentracio´n deesfuerzo en la puesta a punto del nuevo co´digo y el usode MPI para el ca´lculo en paralelo.LB es una aproximacio´n mesosco´pica del movi-miento de un fluido que se basa en la ecuacio´n de Bol-Figura 1: Colisio´n entre part´ıculastzmann discretizada en el espacio de velocidades.fi(x+ ~ci, t+ 1) = fi(x, t) + Ωi (1)La cantidad fi es la densidad de part´ıculas que viajana una velocidad ~ci al instante de tiempo t en el nodox de una la´tice cu´bica.El operador Bhatnagar-Gross-Krook(BGK) (1) seutiliza para el te´rmino de colisio´n que aparece en laparte derecha de la ecuacio´n (1)Ωi = −1τ(fi(x, t)− feqi (x, t)) (2)Este operador describe el paso de colisio´n en el que ladistribucio´n fi relaja hacia la distribucio´n de equilibriofeqi a un ritmo1τ . Se denomina tiempo de relajacio´n aτ . Despue´s la distribucio´n fi se propaga al nodo x+~ci.3. GranosEn Ludwig los objetos so´lidos son definidos poruna superficie que corta algunos enlaces entre nodosde la la´tice. En la frontera so´lido-fluido se aplica el es-quema BBL(bounce-back on the links) (5) de forma quese obtienen condiciones de frontera stick. As´ı los gra-nos pueden ser modelados por esferas duras de radior, en contacto con el fluido, entre las cuales no se tieneen cuenta ninguna interaccio´n excepto las colisiones.Las velocidades despue´s de cada colisio´n entre dospart´ıculas se obtiene de la siguiente forma (2):~v′1 = ~v1 −m1m2m1 +m2(1 + ε)(~v12 · ~e)~e (3)~v′2 = ~v2 +m1m2m1 +m2(1 + ε)(~v12 · ~e)~e (4)donde ~v12 = ~v1 − ~v2 y ~e es un vector unitario en ladireccio´n de la l´ınea que conecta los centros de laspart´ıculas.El coeficiente de restitucio´n ε = − ~v′12·~e~v12·~e mide lape´rdida de energ´ıa en cada choque, lo considerare-mos constante e independiente de la velocidad relati-va entre part´ıculas. ε var´ıa entre 0(colisio´n totalmenteinela´stica) y 1(colisio´n totalmente ela´stica)4. ResultadosA modo de verificacio´n se realizaron diversas simu-laciones del comportamiento de una part´ıcula dentrode un fluido en una caja. La desviacio´n del coeficientede friccio´n ζ de su valor teo´rico ζ0 = 6piη0r, debido alefecto de taman˜o finito, se puede calcular como unafuncio´n de φ (4).(ζζ0)−1= 1− 1,7601φ 13 + φ− . . . (5)Teniendo en cuenta la correccio´n anterior podemoscomprobar que la part´ıcula tiene un comportamientosimilar al descrito por ley de Stokes(figura 2).Figura 2: Efecto de la disipacio´n de energ´ıa en la veloci-dad de una part´ıcula de radio r = 2,5 aislada. t0 =rvm,donde vm es la velocidad media. inset: Velocidad deuna part´ıcula sobre la que se aplica una fuerza cons-tante F . t0 =rvl, donde vl =FζEn las figuras 3 y 4 se muestran las velocidades dedos part´ıculas que inicialmente tienen una velocidad deigual magnitud pero de sentido contrario v1 = 0,1 yv2 = −0,1, sin que actu´e ninguna fuerza externa sobreellas. Despue´s de desplazarse un tiempo colisionan demanera frontal.En el primer caso el choque es ela´stico ε = 1,0 y lamagnitud de la velocidad relativa con que se muevenlas part´ıculas no var´ıa, lo que existe es un intercambioentre los valores de las velocidades verificable en lagra´fica correspondiente.En el segundo el coeficiente de restitucio´n es ε =0,2 y por lo tanto hay disipacio´n de energ´ıa adicionaldurante el choque. Al calcular ε a partir de los resulta-dos de esta simulacio´n obtenemos que ε = 0,184 ≈ 0,2En ambos casos el comportamiento esta´ cerca delesperado teo´ricamente.Figura 3: Velocidad de dos part´ıculas que se muevenuna al encuentro de la otra en un choque ela´sticoFigura 4: Velocidad de dos part´ıculas que se muevenuna al encuentro de la otra en un choque inela´sticocon ε = 0,2. Al reconstruir el valor del coeficiente derestitucio´n a partir de los valores que se muestran enla figura se obtiene ε = 0,184 ≈ 0,24.1. Sistema homoge´neo forzado fueradel equilibrioPara compensar la pe´rdida de energ´ıa del mediogranular, debido a la interaccio´n con el fluido y alcara´cter inela´stico de las colisiones, se aplico´ una fuer-za externa aleatoria de forma que a cada part´ıcula sele da un impulso a una frecuencia determinada. Deesta forma se logra que el sistema llegue a un estadoestacionario fuera del equilibrio(EEFE) en presenciade esta fuerza aleatoria.En sistemas densos(φ = 0,6), para valores pe-quen˜os del coeficiente de restitucio´n, los granos tiendena acoplarse y formar clu´steres, como se puede apreciaren la gra´fica de la funcio´n de distribucio´n radial(figura5). Para colisiones ela´sticas, ε = 1,0, la g(r) presentauna estructura ma´s marcada caracter´ıstica de un so´li-do. Adema´s la temperatura media(figura 7) aumentacon el valor de ε siguiendo una ley de potencia simi-lar al resultado obtenido por van Noije, Ernst, Trizac& Pagonabarraga (8) para fluidos granulares, aunquecon un exponente distinto. El coeficiente de difusio´ntambie´n aumenta con ε(figura 8), pero no se verificala ecuacio´n de Stokes-Einstein D = kT6piηr .En cambio, para valores pequen˜os de la fraccio´nvolu´mica φ no se observa diferencia en el comporta-miento del medio al variar ε(ver figura 9), excepto enel valor del ma´ximo, que es mayor para valores meno-res del coeficiente de restitucio´n, indicando una ten-dencia al acoplamiento entre granos a medida que sonmas inela´sticas las colisiones. En este caso el re´gimenhidrodina´mico controla la evolucio´n del sistema.Figura 5: Funcio´n de distribucio´n radial g(r) para φ =0,6. D = 5,1 es el dia´metro de las part´ıculasFigura 6: Funcio´n de distribucio´n de la temperaturagranular para los mismos datos representados en lafigura 54.2. Microreolog´ıaOtra situacio´n que se simulo´ fue un sistema en elcual se selecciono´ una part´ıcula y se le aplico´ una fuer-za constante hasta que igualmente se llego´ a un EEFE.La distribucio´n de velocidades muestra una desviacio´nFigura 7: Temperatura granular T como funcio´n delcoeficiente de restitucio´n ε. Inset: Gra´fica de T en fun-cio´n del coeficiente de inelasticidad α = 1 − ε2. Enl´ınea discontinua se muestra el resultado para un flui-do granular. φ = 0,6, D = 5,1Figura 8: Coeficiente de difusio´n D como funcio´n delcoeficiente de restitucio´n ε. Inset: Gra´fica de TD en fun-cio´n del coeficiente de restitucio´n ε. φ = 0,6, D = 5,1de la distribucio´n de Maxwell que es la esperada parala velocidad de un gas ideal.Se observo´ que para fracciones volu´micas pe-quen˜as, en este caso φ = 0,1(figuras 10), el comporta-miento de la velocidad de la part´ıcula no depende apre-ciablemente del coeficiente de restitucio´n. En el casoela´stico, la distribucio´n de velocidades no es sime´trica,estando ma´s separado el valor mı´nimo de la velocidadde la part´ıcula de su valor medio.S´ı existe una marcada diferencia al variar ε cuandoes mayor la densidad de part´ıculas en la caja de lasimulacio´n(figura 11). La gra´fica de la distribucio´n dela velocidad para ε = 1,0 es ma´s dispersa, aparecen dospicos, y es sime´trica respecto al valor medio. Al ser lascolisiones ela´sticas, la part´ıcula seleccionada imponeuna velocidad en las part´ıculas con las que choca, asu vez este movimiento de granos alrededor hace queFigura 9: Funcio´n de distribucio´n radial g(r) para φ =0,2. D = 5,1 es el dia´metro de las part´ıculassea ma´s variado el efecto del fluido y de las colisionessobre la part´ıcula que se analiza. Cuando las colisionesson inela´sticas, ε = 0,0, el movimiento generado porlos choques sobre los granos que se encuentran en latrayectoria de la part´ıcula que se hala, es enfriado yse tiende a crear un defecto en la estructura del medioen el cual halla una resistencia menos variada.Figura 10: Distribucio´n de velocidad de una part´ıculaa la que se le aplica una fuerza constante en un sistemaa φ = 0,15. Conclusiones preliminares ytrabajo futuroEn este trabajo se utilizo´ el me´todo de Lattice-Boltzmann para simular un fluido que contiene dentroesferas duras con las cuales se modela un medio gra-nular sin despreciar la interaccio´n con el fluido. Coneste objetivo se le an˜adio´ un co´digo que permite teneren cuenta las colisiones inela´sticas entre las part´ıcu-las al programa Ludwig escrito en el lenguaje de pro-gramacio´n C. Las simulaciones fueron realizadas en elFigura 11: Distribucio´n de velocidad de una part´ıculaa la que se le aplica una fuerza constante en un sistemaa φ = 0,4Cluster de ca´lculo Albeniz formado por 8 nodos quepertenece al Departamento de F´ısica Fundamental enla Facultad de F´ısica de la Universidad de Barcelona.Se ha podido verificar que la inclusio´n de las in-teracciones fluido-grano var´ıan el comportamiento res-pecto a medios granulares secos, por lo que no se pue-den aplicar directamente resultados anal´ıticos obteni-dos para estos (8).En los resultados obtenidos observamos una ten-dencia a la formacio´n de clu´steres cuando las colisionesentre part´ıculas son inela´sticas. Para comprobar estecomportamiento se realizara´n simulaciones en parale-lo con las que se pueda estudiar sistemas ma´s grandesque permitan tener una mejor visio´n de la estructuradel medio.En el caso del estudio de microreolog´ıa se debe pro-fundizar en la estructura local alrededor de la part´ıculasobre la que se aplica la fuerza, verificar el estado delfluido y de los granos vecinos a esta para entender me-jor como condicionan su movimiento. Tambie´n se debemedir el coeficiente de friccio´n efectivo γ, que se definecomo F = γU, donde U es la velocidad media de lapart´ıcula y F es la fuerza media que se aplica sobreesta, algunos resultados (9) relacionan estas magnitu-des.ReferenciasBhatnagar, P. L., Gross, E. P. & Krook,M. 1954 A model for collision processes in gases.i. small amplitude processes in charged and neutralone-component systems. Phys. Rev. 94 (3), 511–525.Briantov, N. V. & Po¨schel, T. 2004 KineticTheory of Granular Gases. 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Estudio computacional de un medio granular húmedo forzado

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