Apresenta-se uma metodologia de volumes finitos para solucáo de problemas convectivos difusivos, que pode ser aplicada a escoamentos envolvendo quaisquer valores de números locais de Peclet. O método tem por base a integracáo do termo de adveccáo ao longo da linha de corrente e uma integras50 especial dos termos difusivos, pela utilizaciio de médias de fluxos nas
fronteiras dos volumes de controle. O método proposto mostrou-se bastante eficaz e acurado
para resolver problemas complexos que normalmente levam a dispersoes e difusóes numéricas.A finite volume method for the solution of convective-diffusive problems is presented, which can be applied to flows with any Peclet numbers. The method is based on the integration of the advective term along a stream line and a special integration of the diffusive terms, using average flow at the boundary at the control volumes. The proposed method has shown to be efficient
and acurate in complex applications normally leading to numeric dispersion and diffusion.Peer Reviewe

Fernandes, Carlos M.

Fortes, Mauri

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 11,4, 669-681(1995) UMA FORMULACÁO DE VOLUMES FINITOS PARA A SOLUCÁO DE PROBLEMAS CONVECTIVOS-DIFUSIVOS, PARA QUAISQUER NÚMEROS DE PECLET CARLOS M. FERNANDES e MAURI FORTES Departamento de Engenharia Mecanica Universidade Federal de Minas Gerais Belo Horizonte - Minas Gerais - Brazil Apresenta-se uma metodologia de volumes finitos para solucáo de problemas convectivos- difusivos, que pode ser aplicada a escoamentos envolvendo quaisquer valores de números locais de Peclet. O método tem por base a integracáo do termo de adveccáo ao longo da linha de corrente e uma integras50 especial dos termos difusivos, pela utilizaciio de médias de fluxos nas fronteiras dos volumes de controle. O método proposto mostrou-se bastante eficaz e acurado para resolver problemas complexos que normalmente levam a dispersoes e difusóes numéricas. SUMMARY A finite volume method for the solution of convective-diffusive problems is presented, which can be applied to flows with any Peclet numbers. The method is based on the integration of the advective term along a stream line and a special integration of the diffusive terms, using average flow at the boundary at the control volumes. The proposed method has shown to be efficient and acurate in complex applications normally leading to numeric dispersion and diffusion. O método de  volumes finitos, MVF, (Spalding17), desenvolvido visando a solucáo numérica das equacóes de Navier-Stokes e de problemas convectivos-difusivos, mostrou- se bastante competitivo em relacáo aos métodos de diferencas finitas (MDF) e de elementos finitos (MEF). As solucóes numéricas obtidas por meio de técnicas do MVF (Patankar7, Raithbyl1~l2, Sharif e Busnaina15; Patel et  MEF (Rice e Schnipke13, Brooks e Hughesl) e MDF (Hoffman4), apresentam problemas (erros) numéricos, chamados de  falsa difusáo e dispersáo numérica. Sharif e Busnaina15 fazem distincáo Recibido: Enero 1995 OUniversitat Politecnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 670 C.M. FERNANDES E M. FORTES entre difusao e dispersa0 numéricas: pode-se definir difusa0 numérica como qualquer efeito que tende a suavizar ou amortecer gradientes ou descontinuidades presentes na soluciio exata de um problema, enquanto que dispersa0 numérica é o efeito que resulta em oscilacoes na soluqao aproximada. Um grande número de métodos ou esquemas visando a diminuicao de difusiio e dispersiio numéricas encontram-se disponíveis, na literatura, em revisoes abrangentes aplicadas ao MDF (Hoffman4), MVF (Patankar7, Patel et al.', Marchi5) e MEF (Rice e Schnipke13, Brooks e Hughesl; Zienkiewicz e Taylor18). As técnicas de MDF, MVF e MEF mais citadas na literatura referente a soluqGes de equacoes de convecciio- difusao, levaram aos esquemas de Diferencas a Montante (Upwind Difference Scheme ou UDS) (Brooks e Hughesl, Patankar7; Patel et al.') , de Diferencas Centrais (Central Difference Scheme ou CDS) (Brooks e Hughesl, Patankar7, Patel et al.'; Nieckele6), Exponencial (Locally-Exact Difference Scheme ou LEDS) (Spalding17, Patankar7) ; Híbrido (Hybrid Difference Scheme ou HDS) (Spalding17); Lei de Potencia (Power Difference Scheme ou PDS) (Patankar7, Patel et al.'); de Diferencas a Montante Assimétrico (Ske Upstream Difference Scheme ou SUDS) (Raithbyl1,l2); de Diferencas Ponderadas a Montante (Weighted-Upstream Difference Scheme ou WUDS) (Raithby e Torrancel0); de Interpolaqk Quadrática a Montante para Cinemática Convectiva (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics ou QUICK); Diferencial Adaptável (Adaptable Difference Scheme ou ADS) (Marchi5); MEF com formulacao de Galerkin (Brooks e Hughesl); MEF do tipo montante (Upwind) na direeso das linhas de corrente, que utilizam a fomulacao de Petrov-Galerkin, mínimos quadrados, esquemas de interpolacao de alta ordem e outras aproximacoes (Brooks e Hughesl, Rice e Schnipke13) Como tem sido evidenciado na literatura (Brooks e Hughesl, Smith e Hutton16, Patel et Marchi5; Zienkiewicz e Taylor18), praticamente todos os esquemas numéricos de MDF, MEF e MVF introduzem difusa0 e dispersiio numéricas nas solucoes. Tendo por base a revisa0 sucinta apresentada acima e os seguinte argumentos: nao foi encontrado, na literatura revista, um esquema que pudesse ser considerado ótimo, em termos de minimizacao de falsa difusao e dispersa0 numérica para uma vasta gama de números de Peclet; m que existe a possibilidade de explora$io de técnicas envolvendo todos ou dois dos MVF, MEF e MDF; m que existem problemas que t6m sido aceito, pela literatura de diferencas, volumes e elementos finitos como padroes (benchmark), que, embora nao permitam inferir que um método é "ótimo", permitem, por outro lado, comparar os resultados a serem obtidos por um determinado esquema com vários outros propostos e em uso corrente, os objetivos específicos deste trabalho sao: - apresentar uma metodologia de volumes finitos para a soluciio de problemas convectivos-difusivos, tendo por base um esquema a montante, na direeso das linhas de corrente; - apresentar um conjunto de solucoes de problemas padroes (benchmark) e comparar as solucoes obtidas pelo método proposto com outras soluq6es numéricas disponíveis na literatura. O objetivo deste trabalho é a soluciio numérica da equaciio de difusiio-convecciio ou equaciio de transporte em que u e v s5o as componentes da velocidade nas diresoes das coordenadas x e y, p é a massa especifica, 4 é a variável dependente, S é o termo fonte e r é o coeficiente difusivo. Obtencao de variáveis a montante Neste trabalho, desenvolveu-se uma técnica de discretizaciio dos termos de advecciio, que possui algumas semelhancas com a técnica desenvolvida por Rice e Schnipke13, num esquema do MEF, visando a sua aplicaciio por meio do MVF. Os termos convectivos da equaciio (1) podem ser reescritos em coordenadas de linha de corrente (s,n), Figura 1 , na forma em que S é uma coordenada de linha de corrente e u,, o vetor velocidade tangente a linha de corrente, é dado por: u, = d w  Figura 1. Coordenadas de linhas de corrente Substituindo a equac5o (2) na equac5o (l), tem-se 672 C.M. FERNANDES E M. FORTES A malha computacional mostrada na Figura 2 define quatro volumes de controle, que possuem, em comum, o ponto nodal P. Admite-se, a priori, que o ponto P seja um ponto nodal "downwind" , isto é, um ponto a jusante de uma linha de corrente do campo de escoamento. Supóe-se ser conhecido o vetor velocidade no ponto P. O critério de escolha do volume de controle referente ao ponto nodal P pode ser exemplificado como segue. Se o vetor velocidade no ponto P estiver dirigido para o quadrante 1 da malha computacional, Figura 2, as coordenadas (x',y') estar20, necessariamente, nos lados S ou w do quadrante 111 (ou coincidir20 com S ou W). Neste caso, o quadrante 111 torna-se o volume de controle para a integras50 da equa~iio (2).  Raciocínio análogo pode ser aplicado no caso das outras direcóes plausíveis de V. L I D 0 1  Figura 2. Esquema para visualizac50 do ponto a montante (upwind) de um ponto nodal P A localizaqáo do ponto (x',y') a montante da linha de corrente pode ser avaliada a partir de fatores de interpolac20, como feito por Schnipke e Rice13. Os valores de Fp e Fn s2o definidos pelas expressóes abaixo, em func2o das vazoes mássicas nas fronteiras do volume de controle (Figura 3): F 4  F2 Lado 1: Fp = max(min(abs(-, l), 0) e F n  = max(min(abs(-, l), 0) (4) F3 Fl As vazóes mássicas podem ser avaliadas por expressoes da forma (Figura 3) Y  S Y S  F~ = J pu dy - J pv dx Y S W  Y S W  Neste trabalho supóe-se que toda propriedade (variável) dependente (u,v,+ por exemplo) pode ser interpolada por um polinomio linear em todo o volume de controle e em sua superfície. Para o caso de fluidos incompressíveis, a integraciio da express50 acima leva a FORMULACAO DE V. F. PARA PROBL. CONV.-DIF., PARA QUAISQUER N.  DE PECLET 673 A Figura 3 mostra como Fp e Fn sáo orientados no volume de controle em relaqiio ao nó "downwind" P. Os fatores de interpolaqáo variam de zero a um. Se o ponto a montante estiver no lado 1, o valor Fn será um número entre zero e um e Fp será igual a um. Se o ponto a montante estiver no lado quatro Fn será igual a um e Fp terá valor entre zero e um. Se o ponto a montante coincidir com o ponto nodal SW, entáo, Fp  e Fn seráo iguais a um. rt" ', 4 " SW. x'."', a' Figura 3. Vazoes mássicas e fatores de interpolacao relativos a um volume de controle no terceiro quadrante Após calcular os fatores de interpolaqáo, podem-se determinar as coordenadas (x,y) do ponto "upstream" e o valor da propriedade qi neste ponto. Se o ponto nodal P for um ponto "downwind" para a linha de corrente que passa pelo terceiro quadrante, entiio, sup6e-se, neste trabalho, que 4' = (1 - Fp)qiw + (1 - Fn)qis + FpFnqisw (9) Expressoes similares podem ser obtidas para outros nós situados em quadrantes diferentes. Discretizaciio da equacáo de transporte A fim de obter um algoritmo de discretizaqáo da equaqáo (4), deve-se definir o quadrante no qual será feita a integraqáo. Para isso analisa-se a direqiio e o sentido do vetor velocidade. Considere a malha computacional apresentada na Figura 2. Integrando a equaqáo (4), no terceiro quadrante dessa figura, tem-se e n e n e n dxdy = a aqi aqi J J -(r-) dxdy + J J aay(r-) dxdy + J J  S d x d ~  (10) dx dx W S W S w s  ay W S  674 C.M. FERNANDES E M. FORTES Nesta equaqiio, o termo advectivo pode ser aproximado por sendo Ax e A y  siio as dimensoes do volume de controle e Integrando a equaqiio (lo), tem-se onde e n S' = / / S ;  d x d y  W S Admitindo-se que as propriedades nas fronteiras em e, w, n e s sejam obtidas pela média aritmética das propriedades nos pontos nodais adjacentes, a equaqiio (13) pode ser reescrita na forma Fazendo Dn = A x ( ~ P  + r w )  Ds = ( w r s  + rsw)  4 ( S ~ ) n  ~ ( S Y ) ,  onde ( s x ) ,  = X E  - x p  e ( sx ) ,  = x p  - xw (18) Substituindo as equacóes (16) e (17) em (15) tem-se Reagrupando os termos nesta equaciio, obtém-se ap4p = U E ~ E  + a w 4 w  + U N ~ N  + as+s + b em que b = ( A F p F n  + DW + D . s ) ~ s w  + D ~ ~ N w  + De4SE- - (Dn + D s ) 4 ~  - (De + DW)4s  + S' A fim de validar o modelo proposto, solucionaram-se dois problemas que tem sido considerados como padróes (benchmark) para se avaliar a capacidade de um método qualquer (MDF, MEF ou MVF) minimizar falsa difusiio e dispersa0 numéricas. 676 C.M. FERNANDES E M. FORTES Escoamento laminar puramente convectivo Este problema teve o objetivo de analisar a capacidade de o método proposto neste trabalho predizer o transporte puramente convectivo de uma propriedade ao longo de uma linha de corrente. O domínio do problema é uma regia0 quadrada, como mostrado na Figura 4. Presume-se que o campo de velocidade seja uniforme no d ~ m í n i o l ~ ~ ~ ~ ~ ;  ii entrada da regiáo, em y < y,, a propriedade 4 do fluido vale 1 e em y 2 y,, 4 = 0. Figura 4. Esquema do problema de escoamento puramente convectivo Sendo nulo o coeficiente difusivo r , a equacáo de transporte para o problema, equacao (4) torna-se 84 P U S -  = O em que u = cos 8 e v = seno as (23) em que u e v si50 os componentes do vetor velocidade e 8 é o angulo de inclinacáo do vetor velocidade em relacáo eixo de coordenadas x. As condicoes de contorno sáo As condicoes de contorno nos lados de saída do escoamento nao devem, em princípio, ser especificadas, pois a equacao (23) é uma equacáo diferencial hiperbólica de primeira ordem. O problema foi simulado para valores de 8 iguais a 22.5, 45 e 67.5'. A regia0 do escoamento foi discretizada numa malha com 21x21 pontos nodais. Os resultados estáo plotados nos gráficos das Figuras 5 e 6; os dados para 67.5' nao foram mostrados pois coincidiram (simetricamente) com os dados para 22.5'. Vários autores (Brooks e Hughesl, Rice e Schnipkel4, Fernandes e Lemos2, Zienkiewicz e Taylor18; Patankar7) publicaram solucoes numéricas para este problema, obtidas pela aplicacao de vários esquemas dos MEF e MVF para o tratamento do termo convectivo da equaqao de transporte. A maior parte dos esquemas, neles incluidos o de Galerkin e Petrov-Galerkin (Zienkiewicz e Taylor18) e SCDS, apresentaram FORMULA~AO DE V. F.  PARA PROBL. CONV.-DIF., PARA QUAISQUER N. DE PECLET 677 oscilacoes espaciais náo físicas e os modelos CDS, UDS, LEDS e seus assemelhados (Patankar7, Brooks e Hughesl) apresentaram problemas de difusáo numérica. O modelo, apresentado neste trabalho, náo mostrou problemas de oscilacoes espaciais nao físicas. Para o Angulo O = 45O, a solucáo numérica coincidiu com a exata, náo ocorrendo qualquer difusáo numérica. Para O = 22.5O e 67.5O ocorreu uma pequena falsa difusáo, que, no entanto, foi igual ou menor que o apresentado por todos os esquemas citados. Figura 5. SolucCio do problema puramente convectivo para = 22.5' Figura 6. Soluciio do problema puramente convectivo para = 45' O problema de Smi th  e Hutton16 Este caso-teste foi proposto por Smith e Hutton16 com a finalidade de avaliar a performance de vários métodos numéricos ao serem aplicados para obter aproximacoes para a soluqáo de problemas convectivos-difusivos com linhas de corrente curvas (recirculacáo), condicoes complexas de contorno e sob toda a faixa de números de Peclet (Figura 7) O problema de Smith e Hutton, portanto, permite avaliar o desempenho de esquemas computacionais quando da soluciio de problemas altamente difusivos e problemas puramente convectivos. A equacáo (3) foi avaliada no domínio mostrado na Figura 7, onde o campo de velocidade é dado pelas relaqoes abaixo: 2 2 u = 2y( l -  x ) e v = -2x(1- 9 ) para - 15 x 5 1 e O 5 y 5 1 (25) 678 C.M. FERNANDES E M. FORTES I As condicoes de contorno para o problema siio em y = O e - 1 5 x 5 O (entrada) + 4 = 1 + tanh[lO(l + 2x)] em x =-1 e O < y < l  e - 1 L x < 1  e x = 1  e O < y < 1  + q5 = 1 - tanh(l0) (26) Figura 7. Diagrama da linhas de corrente do problema proposto por Smith e Huttonle O domínio foi discretizado numa malha de 61x31 pontos nodais. O problema foi resolvido para números de Peclet iguais a 10, 100, 1000 e 1x10~  . Os resultados, plotados nos gráficos das Figuras 8 a 12, foram comparados com os obtidos por Schonauer, cujos dados foram considerados por Smith e Hutton16 como padroes (benchmark). Os resultados foram, também, comparados com os simulados por Gurge13 que usou a metodologia proposta por Rice e Schnipke13; os dados de GurgeP niio siio mostrados. Figura 8. Solucáo do problema de Smith e Hutton para Pe = 10 Os dados apresentados por Smith e Hutton16 referem- se a solucoes numéricas obtidas por vários esquemas de MEF, MVF e MDF; a principal conclusiio de Smith e Hutton foi que os métodos que apresentam ótima performance para baixos números de Peclet mostram-se inadequados para simular problemas envolvendo altos números de Peclet e vice-versa. Os dados mostrados nas Figuras 8 a 12 mostram que, mesmo para a malha ainda nao bem refinada, os dados aproximam-se bastante dos de Schonauer, que foram obtidos por uma técnica de diferencas finitas de alto custo computacional. FORMULACÁO DE V. F. PARA PROBL. CONV.-DIF., PARA QUAISQUER N. DE PECLET 679 Os dados aproximam-se mais dos dados de Schonauer que os obtidos pela aplicacao do método de Schnipke e Rice13, por Gurge13. Figura 9. Solucáo do problema de Smith e Hutton para Pe = 100 Figura 10. Solucáo do problema de Smith e Hutton para Pe = 500 Figura 11. Solucáo do problema de Smith e Hutton para Pe = 1000 Figura 12. SolucFio do problema de Smith e Hutton para Pe = lo6 680 C.M. FERNANDES E M. FORTES O esquema diferencial a montante, na  direcáo das linhas de  corrente, ( "  Streamline Upwind"), desenvolvido neste trabalho, mostrou-se estável para uma ampla faixa de  números de  Peclet e nao apresentou oscilacoes ou dispersoes numéricas apreciáveis para qualquer número de  Peclet, quando submetido a dois testes críticos. O método mostrou- se mais eficiente que o método de Rice e Schnipke14, cuja estrutura de  discretizaciio dos termos convectivos foi utilizada. AGRADECIMENTOS O s  autores agradecem a FAPEMIG pelo suporte financeiro dado a este trabalho. 1. A.X. Brooks and T.R.J. Hughes, "Streamline upwind Petrov-Galerkin formulations for convection dominated flows with particular emphasis on the incompressible Navier-Stokes equations", Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., Vol. 32, pp. 199-259, (1982). 2. C.M. Fernandes and M.J.S. Lemos, "A note on numerical diffusion in two-dimensional convection-diffusion problems", in Anais do 11 Encontro Nacional de Ciencias, (1988). 3. C.E.P. Gurgel, "Avalia@,o de um método de elementos finitos segregados, a montante, para a soluciio de problemas convectivos-difusivos" , Tese de Mestrado em Engenharia Mecanica, UFMG, pp. 80, (1993). 4. J.D. Hoffman, "Numerical Methods for Engineers and Scientists" , McGraw-Bill, New York, (1993). 5. C.H. Marchi, "High order schemes for the solution of fluid flows without numerical dispersion", Revista Brasileira de Ciencias Meccinicas,Vol. 15, 3, pp. 231-249, (1993). 6. A.O. Nieckele, "An evaluation of the linear flux spline scheme and modified versions of the central difference scheme for two dimensional convection-diflusion problems", in Anais do Primeiro Encontro de Ciencias Térmicas, Rio de Janeiro, pp. 51-54, (1986). 6. 7. S.V. Patankar, "Numerical Heat Transfer and Fluid Flow", McGraw-Hill Book Company, New York, (1980). 8. M.K. Patel, N.C. Markatos and M. Cross, "Method of reducing false-diffusion errors in convection-diffusion problems", Appl. Math. Modelling, Vol. 9,  pp. 302-6, (1985). 9. M.K. Patel, M. Cross, and N.C. Markatos, "An evaluation of eleven discretization schemes for predicting eliptic flow and heat transfer in supersonic jets", Int. J. Heat Mass Transfer, Vol. 30, pp. 1907-1925, (1987). 10. G.D. Raithby and K.E. Torrance, "Upstream-weighted differencing schemes and their applications to elliptic problems involving fluid flow", Comp. Fluids, Vol. 2, pp. 191- 206, (1974). 11. G.D. Raithby, "A critica1 evaluation of upstream differencing applied to problems involving fluid flow", Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., Vol. 9, pp. 75-103, (1976). 12. G.D. Raithby, "Skew upstream differrencing scheme for problems involving fluid flows", Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., Vol. 9, pp. 153-164, (1976). 13. J.G. Rice and R.J. Schnipke, "A monotone streamline upwind finite element method for convection-dominated flows", Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., Vol. 48, pp. 313-327, (1985). FORMULACAO DE V. F. PARA PROBL. CONV.-DIF., PARA QUAISQUER N. DE PECLET 681 14. J.G. Rice and R.J. Schnipke, "An equal-order velocity-pressure formulation that does not exihibit spurious pressure modes", Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., Vol. 58, pp. 135-149, (1986). 15. M. A.R. Sharif and A. A. Busnaina, "Evaluation and comparison of bounding techniques for convection-diffusion problems", Journal of Fluids Engineering, Vol. 115, pp. 33-40, (1993). 16. R.M. Smith and A.G. Hutton, "The numerical treatment of advection: performance comparasion of current methods", Numerical Heat Transfer, Vol. 5, pp. 439-461, (1982). 17. D.B. Spalding, "A novel finite difference formulation for differencial expressions involving both first and second derivatives", Int. Journal Numerical Methods in Engineering, Vol. 4, pp. 551-559, (1972). 18. O.C. Zienkiewicz and R.L. Taylor, "The Finite Element Method' ', Vol. 2 ,4 th  Ed., London, pp. 807, (1991). 

Uma formulação de volumes finitos para a solulção de problemas convectivos-difusivos, para quaisquer números de Peclet

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC