Neste trabalho descreve-se uma implementacao numCrica de Análise de Sensibilidade de Estruturas, utilizando um programa comercial de elementos finitos. STO consideradas variáveis de projecto de dimensionaménto e de forma. E apresentado um resumo de alguns resultados de uma formalacs de Análise de Sensibilidade pelo método da estrutura adjunta. Como funcionais da resposta da estrutura consideraram-se deslocamentos e tensoes pontuais. A implementacao é realizada fora do programa comercial, utilizando resultados da analise das estruturas actual e adjunta. Aplicaçoes a um problema de estado plano de tensao apresentadas e analisadas sob o ponto de vista da precisao numérica.Peer Reviewe

Barros, A. F. Melão

Soares, C. A. Mota

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

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Revista internacional de métodos numkricos para cálculo y diseño en ingenierfa. Vol. 3,1,53-60(1987) ANALISE DE SENSIBILIDADE DE ESTRUTURAS UTILIZANDO UN PROGRAMA COMERCIAL DE ELEMENTOS FINITOS A. F. M E L ~ O  BARROS1 e C. A. MOTA SOARES2 l Assistente d o  1 S. T., investigador do  CEMUL (Centro de  Mecánica e Materiais da Universidade Técnica de  Lisboa) Professor Catedrático do  1 S. T., investigador d o  CEMUL RESUMO Neste trabalho descreve-se uma implementacao numCrica de Análise de Sensibilidade de Estruturas, utilizando um programa comercial de elementos finitos. STO consideradas variáveis de projecto de dimensioname'nto e de forma. E apresentado um resumo de alguns resultados de uma formalacs de Análise de Sensibilidade pelo método da estrutura adjunta. Como funcionais da resposta da estrutura consideraram-se deslocamentos e tens%s pontuais. A implementacao é realizada fora do programa comercial, utilizando resultados da analise das estruturas actual e adjunta. Aplicac<es a um problema de estado plano de ten& sao apresentadas e analisadas sob o ponto de vista da precis% nurnCrica. SUMMARY A nwnerical implementation of Design Sensitivity Analysis using a comerciidly available finite element code is described in this paper. Both distributed pararneter and shape design variables are considered. Some results from a specific design sensitivity formulation, using the adjoint structure method, are presented. Performance functionals considered were local displacement and stress. The implementation is performed outside the finite elements code, using analysis results of the real and adjoint structures. Numerical results in aplane stress case are provided, and checked for accuracy. Existem actualmente numerosos programas comerciais de elementos finitos que permitem analisar virtualmente gualquer estrutura. Nos aspectos de concepq20, porém, tais programas fomecem pouca ou nenhurna informac20. Dependem inteirarnente da experiencia e intuiq2o do projectista a concepqzo inicial e eventuais al tera~ces necessá- rias, o que conduz normalmente a soluq5'es sub-óptimas. Recibido: Noviembre 1986 QUniversitat Politecnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 O desenvolvimento de esquemas iterativos de optimizaqTs estrutural, baseados em programas de elementos finitos, exige a implementacZo numérica da sensibilidade da resposta estrutural as variáveis de projecto. E numerosa a literatura relacionada com variáveis de projecto de dimensionamento, tais como espessura de placas ou dimensóes transversais de vigysl* 2, 4. . Mais recente- mente teem-se concentrado esforcos na análise de sensibilidade a variáveis de projecto de forma, ou geometria3: . Embora outros tratamentos sejam equivalentes, a formulaqTo e notaqTo utiliza'das STO as apresentadas por DEMS e MRÓZ, que apresentam um tratamento bastante completo da análise de sensibilidade da resposta estática de estruturas2. 33 4 .  A sensibi- lidade da resposta estrutural í? obtida explicftamente das variáveis de projecto e das variáveis de estado da estrutura inicial e de uma estrutura análoga, designada estrutura adjunta. No presente artigo .descreve-se a implementacTo da análise de sensibilidade, de dimensionamento e de forma, para csnstrangimentos de deslocamento e de tenszo, em estru turas de resposta linear utilizando o programa ADINA (AUTOMATIC DYNAMIC INCREMENTAL NONLINEAR ANALY SIS)lO* l1 . SENSIBILlDADE DE DIMENSIONAMENTO Apresentam-se alguns resultados da análise de sensibilidade de dimensionamento. A deducZo dos mesmos pode ser encontrada en2. 4 .  Seja B um sólido ocupando o dominio V, de fronteira S ,  com tensoes T0 em S, e deslocamentos prescritos u0 em S,, e forcas voliímicas f, (Fig. 1). Sejam u, gr, g, os deslocamentos, tensoes e extensoes no s6lido. As tensoes e extensoes estZo relacionadas pelas equaqoes constitutivas: Senda D o tensor da rigidez, E o tensor da flexibilidade e y, uma variável de projecto de dhensionainento ; Yk = Yk ( x )  Considere-se o funcional: que depende das tensoes e deslocamentos em V, das tensoes em S,, dos deslocamentos em S, e das variáveis de projecto. A primeira varia@ de G e dada por4 : (*) Um ponto entre dois tensores indica contraccTo de todos os fndices do tensor de ordem inferior. ANALISE DE SENSIBILIDADE DE ESTRUTURAS em que 6yk es uma pequena perturbaqzo da variável de projecto. ua e z r  STO OS desloca- mentos e extensoes residuais na estrutura adjunta (Fig. 2), estrutura com a mesma geometria e propriedades da estrutura inicial, as condiqses fronteira: e um campo de extensoes iniciais: As extensoes e tensoes na estrutura adjunta STO: E a = E 1 + C r  - g r = D . E r  N ' N No caso singular de o funcional G ser a tensa0 o,, no ponto x, G = 6(x - x,) U, dV 1 (8) em que 6 (x  - x,) t? o delta de Dirac, a estrutura adjunta tem a extensTi inicial: em que 6,, ,6,, STO sfmbolos de Kronecker. Para o deslocamento u, no ponto x, de S, : G = G(x-x,)u,dS, 1 a solicitaqTo na estrutura adjunta urna forca unitária aplicada em x, : Figura 1. Estrutura inicial Figura 2. Estrutura adjunta SENSIBILIDADE DE FORMA Por efeito das solicitac8es, o corpo sofre urna deformaqZo c + C d ,  definida pelo campo de deslocamento u(x), xd = x + u. Considere-se adicionalmente um processo de transformacZo do dominio V, C+ Ct, definida por uma varidvel de projecto de forma y: Limitaremos a análise a situaczo em que o processo de transformacTo nao afecta a fronteira apoiada, i. e. (Fig. 3). y = O em S,, (13) Considere-se o funcional: A primeira variaczo de G e dada por3 : em que a estrutura adjunta 6 identica a anteriormente definida e n e H s z  a normal exterior e a curvatura media em S,. Quando a variacao do dominio apenas afecta a frsnteira livre sem tens5es So, nao há forcas voldmicas e para o funcional G tensa0 pontuai: G = 6 ( x - x o ) a q s  dV J (1 6 )  Ainda nas mesmas condiqEes, considerando um funcional G deslocamento em xo : (18) Figura 3. Perturbac% da geometria Figura. 4. Perturbaczo da forma do furo ANALISE DE SENSIBILIDADE DE ESTRUTURAS 57 A implementaqzo numerica da análise de sensibilidade é realizada pelo seguinte algoritrn o : 1. Análise da estrutura inicial. 2. Cálculo da condiqEes fronteira e extensoes iniciais da estrutura adjunta; segundo as equaqEes ( 5 , 6 , 9 ,  1 l ) ,  conforme apficável. 3 .  Análise da estrutura adjunta. Esta análise é efectuada utilizando a matriz de rigidez da estrutura inicial factori- zada, pelo que envolve um volume de computaqi%o reduzido. 4. Cálculo da sensibilidade, segundo as equaqoes (4, 17, 19), conforme aplicável. Note-se que toda a implementaqzo pode ser efectuada exteriormente ao programa de elementos finitos, utilizando dados de p6s-processamento. Uma placa em estado plano de tens3'0, com um furo central, e uma t e n s z  de 100 MPa distante do furo foi analisada utilizando elementos triangulares de ten& constante. O m6dulo de Young e coeficiente de Poisson STO, respectivamente, E = 200 MPa, v = 0,3. A placa inicial é de espessura constante igual a 10 mm e o furo circular de raio 200 mm. Consideraram-se urna perturbaqzo da espessura de 0.2 mm de uma Coroa circular de raio exterior 340 mm (área sombreada na fig. 5 )  e uma pesturbaqzo da geometria do furo, sob a forma de uma elipse de semi e k o s  204 mm e 196 mm. (Fig. 4). Considerararn-se os seguintes funcionais: (20) (21) G, =/6(x - [ 1 0 0 d 2 , 1 0 ~ 2 P )  o, dV (22) Os resultados obtidos STO apresentados nas tabelas 1 e 2 ,  para as variáveis de projects de dimensionamento e de forma, respectivamente. GO e o valor do fuincional na placa inicial, G1 na placa de variável de projecto perturbada e 6G a sensibilidade calculada por (4), (17) ou (19), conforme aplicave1 (desl~camentos em mm e tensoes em MPa). G2 é O valor do funcional para uma perturba920 das variáveis de projecto dupla da indicada. AG1 = G1 - G0 e AG2 = G2 - G0 SZO as diferenqas finitas dos funcionais. Os coeficientes (6G/AG1) x 100 e (2AG1/AG2) x 100 STO uma medida da precisa0 dos resultados da análise de sensibilidade e da validade da linearizaqzo no intervalo das perturbaqoes consideradas. Note-se que o termo convectivo de (17), impsssivel de representar com elementos de tensa0 constante se anula no ponto demedida de tensa' considerado no funcional G ,  . Tabela 1. Perturbaqyo do dirnensionamento Tabela 2. Perturbaqzo da forma Os resultados obtidos confirmam a precisz numerica da irnplementaqa"~ em elementos finitos do metodo da estnitura adjunta em análise de sensibilidade de estruturas, particularmente com variaveis de projecto de dimensionamento. O procedimiento de integraqzo na fronteira, utilizado em análise de sensibilidade de forma, diminui a precisa0 dos resultados, o que e agravado pela utilizacTo de elementos de contorno linear, facto que tem sido notado por diversos autores5. 7* '. Note-se ainda que a sensibilidade ,da tensa0 pontual c0m variáveis de projecto de forma pode ser calculada com suficiente precisa0 utilizando elementos de tensa0 constante desde que o ponto de medida nao seja afectado pela pesturbaqzo de geome- tria. A implementacZo e computacionalrnente eficiente, e pode ser realizada exteriormente ao programa de elementos finitos utilizando dados de pos-processamento. bI Figura 5. Modelo de elementos finitos de 114 da placa 11 1 elementos. 72 116s. 126 graus de liberdade. ANALISE DE SENSIBILIDADE DE ESTRUTURAS 1. E. J. Haug. "A Review of Distributed Parameter Structura Optimization Literature", Optimiza- tion of Distributed Parameter Structures, Ed. by E. J. ~ a u g  and J. Cea, Sijthoff & Noordhoff, Alphen aan den Rijn, Netherlands, (198 1). 2. K. Dems, Z. Mróz. "Variationai Approach by means of Adjoint Systems to Structural Optimiza- tion and Sensitivity Anaiysis, 1. Variation of Material Parameters Within Fixed Domain", Int. J. Solids Structures, Vol. 1 9 ,  n? 8, pp. 677-692, (1983). 3. K. Dems, Z. Mróz, "Variationai Approach by means of Adjoint Systems to Structural Optimiza- tion and Sensitivity Analysis, 11, Structure shape Variation", Int. J. Solid Structures, Vol. 20, n? 6, pp. 527-552, (1984). 4. K. Dems, Z. Mróz. "Variational Approach to First, and second, Order Sensitivity Analysis of Elastic Strutures", International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol. 21, pp. 637- 661, (1985). 5. E. J. Haug, K. K. Choi and V. Konkov. "Design Sensitivity Analysis of Structural Systems". Academic Press, New York, N. Y., (1986). 6. K. K. Choi, J. L. T. Santos, M. C. Frederick. "Implementation of Design Sensitivity Analysis With Existing Finite Element Codes", to appear. 7. R. J. Yang, K. K. Choi, E. J. Haug. "Numerical Considerations in Structural Component Shape Optimization", The American Society ofMechanica1 Engineers, 84 - DET - 219. 8. R. J. Yang, K. K. Choi. "Accuracy of Finite Element Based Shape Design Sensitivity Analysis". Journal of Structural Mecanics, to appear. 9. R. J. Yang, K. K. Choi, e. J. Haug. "Finite Element Computation of Structural Design Sensitivity Analysis", tech. report 84-3, CCAD, Univ. of Iowa, (1984). 10. ADINA: "System Theory and Modeling Guide", Report AE 83-4, ADINA Idngineering, (1983). 11. ADINA: "User Manual", Report AE 81-1, ADINA ~ n ~ i n i e r i n ~ ,  (1981). 

Análise de sensibilidade de estruturas utilizando un programa comercial de elementos finitos

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