Esta segunda parte comienza describiendo como pueden tratarse varias funciones objetivo dentro de un mismo proceso de optimización, a fin de acercar el modelo matemático a situaciones más reales del diseño en la ingeniería. En esta optimización multiobjetivo una vez más debe tratarse con el inconveniente de la no convexidad del problema; por ello se comentan métodos que pueden tratar con esta situación y se aporta un ejemplo estructural. El trabajo termina comentando los métodos existentes para abordar la modificación de la solución óptima cuando se cambia alguno de los parámetros fijos de un problema de optimización y se resuelve una situación de este tipo mediante uno de ellos.Peer Reviewe

Hernández, Santiago

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Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 9, 3, 259-270( 1993) DEL DISEÑO CONVENCIONAL AL DISENO OPTIMO. POSIBILIDADES Y VARIANTES Parte 11. Optimización multiobjetivo y sensibilidad de la solución Ópt ima SANTIAGO HERNANDEZ Departamento de Ingeniería Mecánica, Centro Politécnico Superior de Ingenieros, Universidad de, Zaragoza, María de Luna, 3, 50015 Zaragoza, España RESUMEN Esta segunda parte comienza describiendo como pueden tratarse varias funciones objetivo dentro de un mismo proceso de optimización, a fin de acercar el modelo matemático a situaciones más reales del diseño en la ingeniería. En esta optimización multiobjetivo una vez más debe tratarse con el inconveniente de la no convexidad del problema; por ello se comentan métodos que pueden tratar con esta situación y se aporta un ejemplo estructural. El trabajo termina comentando los métodos existentes para abordar la modificación de la solución óptima cuando se cambia alguno de los parámetros fijos de un problema de optimización y se resuelve una situación de este tipo mediante uno de ellos. SUMMARY This second part starts describing how to deal with severa1 objective functions in an optimization problem. This means a step forward in order to close up mathematical models of optimization and real life engineering problems. This approach, called multicriteria optimization, presents big inconvenients when nonconvexity arises, and methods to cancel out this situation are analyzed. This work ends explaining what happen when fixed parameters in the optimization problem change and how a new optimal solution for the new parameter values may be obtained without starting again the optimization procedure. The different techniques are presented and a structural problems is solved to show one of these methods performance. Recibido: Septiembre 1988 OUniversitat Politkcnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 260 SANTIAGO HERNANDEZ METODOS DE OPTIMIZACION MULTIOBJETIVO Muchas veces la tarea del ingeniero es encontrar un diseño en el que se quiere optimizar más de una función objetivo. A consecuencia de ello aparece un vector F cuyos componentes son las distintas propiedades a optfmizar. Este planteamiento se denomina optimización mult i~bjet ivo '~~ y se escribirá: min = Ifl (X), ., f~ (X)I sujeto a gj (X)  5 0 j = l , . . . , m  ( 1 4  La intención del diseñador sería encontrar un vector de variables X tal que: f k  (X*) = min fk(X) k = 1, ..., Ii (2) Sin embargo esto no suele producirse y habitualmente las funciones objetivo varían de forma contraria. En la Figura 1 se observa un problema de una variable y dos funciones objetivo. El mínimo de cada uno de ellos se produce en un punto distinto y el objetivo de (2) no es alcanzable. Figura 1. Optimización con una variable y dos funciones objetivo. En estos casos resulta necesario acudir a los puntos definidos como mínimos de Pareto3 que son aquellos puntos xP para los que no existe ningún punto X tal que: a) fk(X) L f k G P )  k = 1, ..., K (3 .4  b) fk(X) < fk(xP) para una función objetivo, al menos. (3.b) La característica de este tipo de mínimo es que al separarse de él para disminuir el valor de alguna función objetivo, se incrementa, al menos, una de las restantes funciones objetivo. En la Figura 1 todos los valores de la variable que cumplen xl 5 x 5 2 2  son mínimos de Pareto. En los problemas con varias variables los mínimos de Pareto son numerosos y se encuentran en el contorno, o en los puntos del dominio donde son tangentes dos o más funciones objetivo. En la optimización multiobjetivo resulta muy importante representar el problerria en el espacio de las funciones objetivo. Ello puede hacerse eliminando las variables de diseño a partir de las condiciones activas. El resultado es una o varias curvas que definen un contorno cerrado del que formarán parte los mínimos de Pareto existentes. En la Figura 2 se presenta un caso con dos variables y dos funciones objetivo. Los mínimos de Pareto aparecen dibujados con línea discontinua. Figura 2a. Región de diseño en el Figura 2b. Región de diseño en el espacio de las variables de espacio de las funciones diseño. objetivo. La línea horizontal de la Figura 2b está compuesta por mhimos débiles de Pareto que son aquellos puntos xP, para los que no hay ningún punto X que cumpla: Supóngase que en la estructura de tres barras de la Figura 3 se plantea una optimización considerando dos funciones objetivo, el volumen V y el movimiento vertical u2 del nudo. Si se incluyen limitaciones en las variables y se escriben únicamente las condiciones activas, el problema podrá escribirse como: min V = ( 2 6 x 1  + x2)l SANTIAGO HERNANDEZ Figura 3. Ejemplo de estructura de tres barras. El espacio de diseño resultante aparece en la Figura 4, y los mínimos de Pareto se encuentran entre los puntos XE, XA, XB del contorno. Figura 4. Región de diseño de la optimización multicriterio de la estructura de tres barras. DEL DISENO CONVENCIONAL AL DISEÑO OPTIMO 263 Al representar el problema en el espacio de las funciones objetivo se obtiene la Figura 5. Comparando ambas figuras se observa que el diseño que hace mínimo a u2 es X B  y el de menor volumen es X E .  Figura 5. Región de diseño en el espacio de las funciones objetivo de la estructura de tres barras. Dado que habitualmente no existirá un mínimo común para todas las funciones objetivo no existe una minimización en sentido estricto en este tipo de problemas. Por ellos la tarea de un diseñador será intentar identificar el mayor número de mínimos de Pareto posible y a la vista de ello elegir aquél que le parece que satisface de forma mis  adecuada el conjunto de funciones objetivo. Por ello el diagrama de flujo del proceso será el mostrado en la Figura 6: Existen diferentes métodos4 para obtener el conjunto de mínimos de Pareto. Uno muy común consiste en definir un vector X de coeficientes de ponderación y linealizar así la función objetivo. habitualmente los componentes de X están normalizados SANTIAGO HERNANDEZ DISENO INICIAL P ESTRUCTURAL ANALISIS OPTIMO DE PARETO CON MULTICRITERIO 1 DISENO FINAL 1 Figura 6. Diagrama de flujo en la optimización multicriterio. En la Figura 7a) se puede observar que al cambiar los coeficientes de A se obtienen los puntos comprendidos entre f; y fz. Sin embargo si el contorno de las soluciones no es convexo, como sucede en la Figura 7b) no es posible obtener los puntos situados entre A y B. Otro inconveniente es que si los órdenes de magnitud de las funciones objetivo es muy distinto resulta difícil encontrar mínimos de Pareto suficientemente diferentes, incluso haciendo grandes cambios en los componentes del vector A. Para evitar estas desventajas existe una técnica denominada min-maa: en que las funciones objetivo se normalizan en el rango [0,1]. f k  - min fk fíc = k = 1, ..., K max fk - min fk el nuevo vector de funciones objetivo es - - F = l f i , . . . , f~ I  (9) A continuación se asigna un coeficiente Xk a cada función y se procede a resolver el problema. DEL DISENO CONVENCIONAL AL DISENO OPTIMO 265 f 2 f 2 A f~P \1 f2* - f, 1 - f l  Figura 7a. Región de diseño convexa en Figura 7b. Región de diseño no convexa el espacio de las funciones en el espacio de las funciones objetivo. objetivo. min(max XkTk) k = 1, . . . , Ii (10) Todos los mínimos de Pareto pueden ser obtenidos de esta forma. El problema de (10) se resuelve definiendo una variable y y estableciendo la siguiente formulación. min y (11.a) sujeto a X k f k  < y k = 1, ..., K (1l.b) gj(X) < O j = 1, ..., m (11.c) La interpretación geométrica del problema puede observarse en la Figura 8 donde para cada vector X se obtiene un vector que une el origen de coordenadas con el recinto de soluciones. - f2 A - * f l  Figura 8. Justificación gráfica del método min-max. 266 SANTIAGO HERNANDEZ SENSIBILIDAD DE LA SOLUCION OPTIMA Se recordará que el planteamiento habitual del diseño óptimo con una función objetivo F es de la forma min(omax) F ( X , p )  la solución es función del vector de parámetros fijos p y en consecuencia el valor de la función objetivo es En ocasiones la obtención de la solución óptima lleva a meditar sobre la conveniencia de modificar alguno de los valores de p fijados previamente y a considerar cual hubiera sido la solución para otros valores distintos. Dado que habitualmente las variables de diseño son funciones implícitas de p no es posible obtener la nueva solución directamente de (13) y si se modifica algún parámetro pk el proceso de optimización debe reiniciarse. Sin embargo otra alternativa sería linealizar las expresiones (13) y (14) y escribir: Las expresiones dF(X*)/dpk y dX*/dpk son las sensibilidades de primer orden de la función objetivo y las variables de diseño respecto al parámetro pk. Los métodos propuestos para obtener estas sensibilidades son varios y pueden destacarse los siguientes, propuestos por Vanderplaats5, Sobieszcanski-Sobieski6 y Bart helemy7 : - Métodos basados en aplicación de las condiciones de Kuhn-Tucker. - Métodos en utilización de la función penalty. - Métodos basados en las direcciones eficientes. En las referencias indicadas se desarrollan cada uno de esos métodos. A modo de ejemplo se desarrollará cómo funciona el método basado en las condiciones de Kuhn- Tucker y se aplicará el conocido ejemplo8 de celosía de tres barras de la Figura 3. Las condiciones de Kuhn-Tucker expresan que en e'' óptimo existe un conjunto de condiciones activas con las que se cumple. DISENO OPTIMO 1 PARA VECTOR p 1 - VECTOR DE PARAMETROS MODIFICADO p+Ap ANALISIS ESTRUCTURAL MODIFICADO 1 METODOS DE NO OPTIMO LINEARIZACION DEL DISENO OPTIMO i METODOS DE OBTENCION DE SENSIBILIDADES Figura 9. Diagrama de flujo de las alternativas en diseño óptimo de estructuras, en caso de modificaciones en el vector p de parámetros. siendo X el vector de multiplicadores de Lagrange y VG una matriz cuyas columnas son los gradientes de las condiciones gj(X). Derivando (17.a) y (17.b) respecto a un parámetro pk  y escribiendo matricialmente la expresión se tiene: los elementos de cada matriz son: l 268 SANTIAGO HERNANDEZ c; = dx; dpk El vectorX puede obtenerse de la expresión: La solución del sistema (19) proporciona las sensibilidades dX y dX. Por su parte la sensibilidad de la función objetivo será: Este método presupone que aunque se modifique el valor de algún parámetro se mantiene el subgrupo de condiciones activas, pero eso será cierto únicamente en un entorno del valor inicial del parámetro pk. Como al hacerse pasiva la condición el multiplicador de Lagrange asociado se anula, ello nos da la pauta para obtener el incremento necesario del parámetro, que resultará de: Si el método anterior se aplica a la celosía de tres barras de la Figura 3 las expresiones (17) resultan: siendo DEL DISENO CONVENCIONAL AL DISENO OPTIMO 269 Los elementos de las matrices ( 2 0 )  son: as1 - -  - - x: + \ /ZZ1x2  + x i p  - a g l  - - f i x ;  2 P (26 .b )  8 x 1  ( x :  + J Z X ~ X ~ ) ~  d x 2  ( f i x :  + 2x122)  ag1 - = -1 ( 2 6 . e )  dfJM La solución resultante es y la sensibilidad de la función objetivo En consecuencia la solución óptima asociada a otro valor de la tensión admisible se puede aproximar a: dx* x i  = x t  + -AoM i = 1 , 2  daM Supóngase que La tabla adjunta presenta los resultados correspondientes a la solución exacta y a la obtenida por esta aproximación lineal para los incrementos AuM = f 10% y AaM = f 20%. 270 SANTIAGO HERNANDEZ Tabla 1. REFERENCIAS r A ~ M  -20% -10% 10% 20% 1. A. Osyczka, "MuHicriterion Optimization in Engineering with FORTRAN Programs", Ellis Herwood, (1984). 2. H. Eschenauer, J .  Koski y A. Osyczka (ed.), "Multicriteria Design Optimizations. Procedures and Applications", Springer Verlag, (1990). 3. V. Pareto, "Cours D'Economie Politique", Vol 1 y 11, F. Rouge, (1886). 4. L. Duckstein, "Multiobjective Optimization in Structural Design: The Model Choice Problem", New Directions in Optimum Design, Atrek, E. y otros (ed.) John Wiley, (1984). 5. G.N. Vanderplaats, y H. Yoshida, "Efficient Calculation of Optimum Design Sensitivity", AIAA Journal, Vol. 23, pp. 1798-1803, (1985). 6. J .  Sobieszczansky-Sobieski, J .F.M. Barthelemy y K.M. Riley, "Sensitivity of Optimum Solutions of Problem Parameters", AIAA Journal, Vol. 20, pp. 1291-1299, (1982). 7. J.F.M. Barthelemy y J .  Sobieszczansky-Sobieski, "Sensitivity Derivatives of Objective Functions in Nonlinear Programming", AIAA Journal, Vol. 21, pp. 913-915, (1983). 8. S. Hernández y J .  Mata, "Multicriteria Optimization and Global Optimization for Training in Structural Design", CATS'SO, Congreso Internacional en Computer Aided TrQining in Science and Technology, E. Oñate y otros (ed.), CIMNEPineridge Press, pp. 685-628, (1990). 2 1 0.94 0.86 0.71 0.63 21 0.98 0.87 0.72 0.66 2 2  0.49 0.45 0.37 0.32 2 2 0.51 0.45 0.37 0.34 F 316.6 290.3 237.5 211.1 F 329.9 293.2 239.9 219.9 error 4% 1% 1% 4% 

Del diseño convencional al diseño óptimo. Posibilidades y Variantes. Parte II. Optimización multiobjetivo y sensibilidad de la solución óptima

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