Hace algo más de un siglo Lord Rayleigh sugirió el uso de un parámetro de optimización en las funciones coordenadas polinómicas a ser utilizadas en la aplicación de su actualmente famoso método, teniendo como meta el minimizar el autovalor determinado. Tres décadas después el célebre analista y diseñador de sistemas mecánicos, Stodola, utilizó este enfoque al deteminar la frecuencia fundamental de un álabe. Linus Pauling y Bright-Wilson implementaron el enfoque utilizando funciones exponenciales en problemas de mecánica cuántica y Timoshenko y Goodier también lo hicieron, utilizando también funciones exponenciales, en un problema de torsión de barras elásticas. En este trabajo se presentan aplicaciones del criterio de Rayleigh, pero difiriendo del enfoque de los autores citados, se usan funciones trigonométricas que contienen parámetros de optimización en su argumento, tomando como sistemas mecánicos vibrantes casos de placas o losas rectangulares con un borde libre.Peer Reviewe

Bambill, Diana V.

Díaz, P.

Laura, Patricio

Rossi, R. E.

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 13,4, 415-422(1997) DETERMINACION DE AUTOVALORES USANDO EL METODO OPTIMIZADO DE RAYLEIGH-RITZ Y "PSEUDO" DESARROLLOS DE FOURIER P.A.A. LAURA D.V. BAMBILL R.E. ROSSI P. DÍAZ V.A. JEDERLINIC Instituto de Mecánica Aplicada (CONICET) Departamento de Ingeniería, Universidad Nacional del Sur 8000 Bahía Blanca, Argentina Faz: + 54-91-551447 E-mail: dbambill@criba.edu.ar RESUMEN Hace algo más de un siglo Lord Rayleigh sugirió el uso de un parámetro de optimización en las funciones coordenadas polinómicas a ser utilizadas en la aplicación de su actualmente famoso método, teniendo como meta el minimizar el autovalor determinado. Tres décadas después el célebre analista y diseñador de sistemas mecánicos, Stodola, utilizó este enfoque al deteminar la frecuencia fundamental de un álabe. Linus Pauling y Bright-Wilson implementaron el enfoque utilizando funciones exponenciales en problemas de mecánica cuántica y Timoshenko y Goodier también lo hicieron, utilizando también funciones exponenciales, en un problema de torsión de barras elásticas. En este trabajo se presentan aplicaciones del criterio de Rayleigh, pero difiriendo del enfoque de los autores citados, se usan funciones trigonométricas que contienen parámetros de optimización en su argumento, tomando como sistemas mecánicos vibrantes casos de placas o losas rectangulares con un borde libre. EINGENVALUE DETERMINATION USING THE OPTIMIZED METHODS OF RAYLEIGH-RITZ AND PSEUDO FOURIER DEVELOPMENTS SUMMARY Over 100 years ago Lord Rayleigh suggested the inclussion of a parameter y,  as an exponent in one of the terms of the expression which constitutes the proposed coordinate function. Minimization of the desired eigenvalue with respect to y allows for its optimization. Recibido: Febrero 1997 OUniversitat Polit&cnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 Well known authors like Stodola, the Nobel Laureate Linus Pauling and his eminent associate Bright-Wilson and Timoshenko and Goodier have employed the approach in the first half of the XX century and in recent years, severa1 researchers from the USA and Argentina, have used it extensively. The present paper reports numerical experiments performed by the authors where the optimization parameters y, are contained in the argument of a trigonometric expansion. The method is applied in the case of a vibrating rectangular plate with a free edge and other combinations of boundary conditions in the other three edges. Finally a few situations where rectangular holes are practiced in the plate, are considered. Hace más de 120 años que Lord Rayleigh propuso su actualmente famoso método, piedra basa1 de una de las metodologías más utilizadas en la solución aproximada de problemas de la mecánica del continuo, tanto en lo que se refiere a enfoques analíticos como en lo que concierne a técnicas numéricas que discretizan el sistema. Con posterioridad, y ya hace más de un siglo, Rayleigh siigirió el uso de un parámetro exponencial en las funciones coordenadas polinómicas que permitiese optimizar el autovalor buscado. Varias décadas después Stodola utilizó esta técnica de optimización en la determinación de la frecuencia fundamental de un álabe; Linus Pauling y Bright- Wilson la aplicaron en problemas de mecánica cuántica y Timoshenko y Goodier en un problema de torsión de barras elásticas. Estos tres últimos autores emplearon el enfoque incluyendo el parametro de optimización en el exponente de funciones exponenciales. Más recientemente Schmidt y Bert, independientemente utilizaron la técnica, desconociendo la sugerencia de Lord Rayleigh, en diversos problemas de vibraciones y pandeo*. Su enfoque fue luego utilizado por varios investigadores argentinos habiendo sido implementado también en algunos códigos de elementos finitos. En este trabajo se presentan autovalores determinados en el caso de una placa rectangular vibrante con un borde libre y diversas combinaciones de apoyos en los tres restantes, habiéndose incluido los parámetros de optimización y, en los argumentos de funciones sinusoidales (Figura 1). Por último se considera la situación en que se han practicado orificios rectangulares en los sistemas estructurales mencionados habiéndose determinado también los autovalores, en forma independiente, mediante el método de elementos finitos (Figura 2). * La referencia 1 describe en detalle aspectos históricos de método y contiene un listado exhaustivo de la bibliografía existente. DETERMINACI~N DE AUTOVALORES USANDO EL MÉTODO OPTIMIZADO 417 FORMULACION DE LA TEORÍA PROPUESTA En el caso de una placa delgada, de un material caracterizado por la ley de Hooke, y que ejecuta oscilaciones de pequeña amplitud W vibrando en uno de sus modos normales, el problema queda definido por minimización de la conocida funcional a2w +- 8 2 ~ ) ~  w w  ( a 2 ~ ) ~ ] }  ax2 ay2 - 2 ( 1 - ~ )  g a y z -  ajcay (1) dxdy - Ew2 J J w2dzdy 2 La función W(x, y) debe satisfacer las condiciones prescriptas en el contorno. Si se busca una solución aproximada Wa (x, y)  es conveniente expresarla en la forma N w 2 wa = A,f, (x, Y) ,=1 (2) donde cada función coordenada f, (x, y) satisface, al menos, las condiciones esenciales de borde. La metodología de Rayleigh-Ritz requiere d J  -(W) = O; j = 1,2 ... N (3) y en definitiva resultará un determinante ecuación en los autovalores. En el caso de los elementos estructurales mostrados en la Figura 1, donde se tiene un borde libre, satisfacer las condiciones naturales en x = a se torna una tarea complicada ya que se deberían construir funciones coordenadas que satisfagan (S + "q) ay lx=a = 0 ( 4 4  (4b) Un criterio utilizado frecuentemente en la literatura ha sido el de construir funciones coordenadas en base a la condición aproximada a2 w a3 w ="=a = =IX=a = O ( 5 )  El enfoque, sumamente sencillo, desarrollado en2 ha sido tomar como "función base", en la dirección x, y cuando x = O está simplemente apoyado lrx sen-; y1 > 1 y1a ( 6 )  -- - - - 418 P.A.A. LAURA, D.V. BAMBILL, R.E. ROSSI, P. DÍAZ, V.A. JEDERLINIC Y K. RODRÍGUEZ Obviamente, el parámetro yl será ahora el parámetro de optimización de Rayleigh (contenido ahora en el argumento de una función trigonométrica). Al obtener el coeficiente de frecuencia fundamental 0 = @ua2 mediante el planteo clásico del método de Rayleigh-Ritz, resulta dado que R1 es una cota superior se requerirá lo cual permitirá optimizar el autovalor buscado. El procedimiento podrá ser planteado en términos de una expresión similar a la (2), donde cada función coordenada contendrá un yj y en definitiva la optimización de Rl logrará mediante la condición Por supuesto, autovalores de orden superior también pueden ser optimizados3. Los casos en que la rigidez flexional D es variable o que el material de la placa es ortótropo no ofrecen dificultad conceptual. A título de experimentación numérica en el presente trabajo se utilizaron - Figura l a  3 T Y Irx Wa = sen - E A, sen2 - j=l 'yja - Figura l b  3 2 TY 2 TX Wa = sen - E Ajsen -b 3=1 "lja Es fácil verificar que cada función coordenada satisface idénticamente las condiciones esenciales de borde. También es posible, y en algunos casos conveniente, utilizar otro tipo de funciones (por ejemplo polinómicas) para representar la variación del modo de vibración en la dirección y. Por último se consideró el caso en que la placa posee una perforación rectangular (al x bl), tal que 2 = habiéndose utilizado la expresión (Figura 2) para el caso en que la placa posee tres bordes empotrados y uno libre. Se obtuvo una solución independiente mediante el método de elementos finitos mostrándose una razonable concordancia. La Tabla 1 contiene valores de R1 para el caso de la placa o losa rec-tangular mostrada en la Figura la.  Se observa una buena convergencia en los valores de R1 a medida que el número de términos N es incrementado. Las diferencias con los valores determinados por A.W. Leissa4, quien los obtuvo de un determinante-ecuación de 36 x 36, son del orden del 0.1 % para N = 3. Tabla 1. Valores de R1 en el caso del sistema mostrado en la Figura l a  Apoyados (a) Borde Libie + Bordes Em~otrodos Figura 1. Placas o losas rectangulares con un borde libre En el caso del sistema de la Figura l b  se observa en la Tabla 11 una diferencia mayor con los valores de4, si bien la convergencia de la técnica propuesta es razonablemente adecuada. Las máximas diferencias con los valores determinados en4 son del orden del 2 %. 420 P.A.A. LAURA, D.V. BAMBILL, R.E. ROSSI, P. DÍAZ,~V.A. JEDERLINIC Y K. RODRÍGUEZ Tabla 11. Valores de R1 en el caso del sistema mostrado en la Figura lb  La Tabla 111 muestra valores de fll en el caso en que la placa posee una perforación rectangular de dimensiones (ai x bi) cuyo centro está ubicado sobre y = %. Se consideran tres posiciones del orificio, tal como se señala en la Figura 2. La Tabla 111 contiene también los valores de obtenidos mediante un algoritmo sumamente preciso de elementos finitos5. Si bien la máxima diferencia es del orden del 6 % ( f  = S; a = 0.30) puede concluirse que la concordancia entre ambos conjuntos de autovalores es buena, sobre todo teniendo en cuenta la simplicidad del enfoque analítico por un lado y el hecho de que el número de grados de libertad del sistema varió entre 580 y 760 cuando se utilizó el método de elementos finitos. Figura 2. Placa rectangular empotrada en tres bordes y libre en el cuarto con orificio rectangular DETERMINACIÓN DE AUTOVALORES USANDO EL MÉTODO OPTIMIZADO 42 1 Se observa también en la Tabla 111 el hecho de que en varios casos la frecuencia fundamental aumenta cuando se ha  practicado un orificio. Estas situaciones encuadran dentro del fenómeno conocido como "rigidización dinámica". Una ventaja del criterio propuesto lo constituye el hecho de que puede ser implementado fácilmente en un lenguaje computacional orientado como "Mathematica" '. 141,7742 145,6150 157,0902 Tabla 111. Valores de 01 en el caso del sistema mostrado en la Figura 2: placa rectangular con tres bordes empotrados y uno libre y un orificio rectangular de igual relación de lados ( 2  = %) ubicado sobre b Y =  para posiciones: borde izquierdo, centro y borde libre NOTA: las posiciones (l), (2) y (3) están definidas en la Figura 2 51,9370 54,3464 65,9426 23,6371 25,2488 36,3783 10,9838 12,0263 22,1260 4,5302 5,1193 12,9375 (1) (2) (3) 0,5 E.F. E.F. E.F. 422 P.A.A. LAURA, D.V. BAMBILL, R.E. ROSSI, P. DÍAZ, V.A. JEDERLIWIC Y K. RODRÍGUEZ AGRADECIMIENTOS Los autores expresan su reconocimiento al Prof. Ing. C.A. Rossit por su valiosa cooperación y crítica constructiva. El presente estudio es auspiciado por el CONICET (PIA 6002196) y la Secretaría General de Ciencia y Tecnología de la Universidad Nacional del Sur (Proyecto: 1996- 1997, Director: Ing. R.E. Rossi). Los coautores Pablo Díaz, Verónica Jederlinic y Karina Rodríguez son estudiantes de las carreras de ingeniería industrial, ingeniería civil y física, respectivamente, y cursan sus estudios en la Universidad Nacional del Sur. La Srta. Jederlinic cuenta con una beca de la Comisión de Investigaciones Científicas de la Pcia. de Bs. As. REFERENCIAS 1. P.A.A. Laura, " Optimization of Variational Methods", Ocean Engineering, Vol. 22, pp. 2235-2250, (1995). 2. P.A.A. Laura, D.V. Bambill, V.A. Jederlinic, K. Rodríguez y P. Díaz, "Rayleigh's Optimization Concept and the Use of Sinusoidal Coordinate Function" , Institute of Applied Mechanics (CONICET, Bahía Blanca), Publication IMA No. 96-34, (1996). 3. P.A.A. Laura y V.H. Cortínez, "Optimization of Eigenvalues when Using the Galerkin Method", American Institute of Chemical Engineers Journal, Vol. 32,  pp. 1025-1026, (1996). 4. A.W. Leissa, "The Free Vibration of Rectangular Plates", Journal of Sound and Vibration, Vol. 31, pp. 257-593, (1973). 5. F.K. Bogner, R.L. Fox y L.A. Schmit, "The Generation of Inter-Element-Compatible Stiffness and Mass Matrices by the Use of Interpolation Formulas", Matriz Methods in Structural Analysis, AFFDL-TR-66-800, pp. 397-443, (1996). 6. S. Wolfram, "Mathematica. A System for Doing Mathematics by Computer", Addison- Wesley Publishing Company, (1993). 

Determinación de autovalores usando el método optimizado de Rayleigh-Ritz y "pseudo" desarrollos de Fourier

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