Al abordar la resolución de problemas no lineales mediante tecnicas de Lagrangiano aumentado es usual utilizar algoritmos del tipoPeer Reviewe

Elorza, Jorge

Ferragut, Luís

Winter, Gabriel

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

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Revista internacional de métodos numbricos para cálculo y diseño en ingeniería. Vol. 3,  1 , 3 -  14(1987) ALGORITMOS DE LAGRANGIANO AUMENTADO PARA PROBLEMAS DE FLUJO NO LINEAL L. FERRAGUT,* J. ELORZA* Y S. WINTER*" *Departamento de Cálculo Numérico e Informática de la Escuela Tkcnica Superior de Ingenieros de Minas de Ma~lrid Rios Rosas, 21 - 28003 Madrid ** Departamento de Matemdticas de la Escuela. Técnica Superior de Ingenieros Industriales de Las Palmas. Tarifa Alta - 3501 7 Las Palmas RESUMEN Al abordar la resolución de problemas no lineales mediante tecnicas de Lagrangiano aumentado es usual utilizar algoritmos del tipo "Uzawa" para e l  cálculo de la solución; uno de los inconvenientes de tales algontmos es la adecuada elecci6n de parámetros que aseguren una convergencia rápida. En este trabajo presentamos diversas variantes de los algoritmos antes citados que permiten un cálculo automático de los parámetros y los aplicamos al cálculo de flujo no lineal en medio poroso. SUMMARY While studying'the resolution of nonlinear problems by Lagrangien augrnented methods theuzawa- Like algorithms are usual to find the solution; the key point in these algorithms is the selection of an optimal value of the parameters to assure a high-speed convergence. In this woi:k we present an appli- cation of these algorithms to the nonlinear flow problem through porous media and we propose a way to select the values of the parameters mention'ed a bove. INTRODUCCION Los metodos de Lagrangiano aumentado fueron introducidos por   es ten es' y Powe112 en 1969, para resolver problemas de optirnización. Mds recientemente (1974), Glowinski y Marrocco3 utilizan tales metodos en la resolución nurnerica de problemas de contorno regidos por ecuaciones en derivadas parciales; finalmente Ferragut y E10rza4 estudian su aplicación a problemas de flujo no lineal en medio poroso. Recibido: Septiembre 1986 o Universitat Politecnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 4 L. FERRAGUT, J. ELORZA Y G. WINTER Muchos problemas de la ffsica se pueden formular de la manera siguiente: F(Bv)+L(v) V E  V (1)  V ,  H espacios vectoriales normados B E L (V,H),  operador lineal continuo de V en H. F, L, funciones convexas, propias, semicontinuas inferiormente sobre H y V respectivamente. El principio de los metodos de Lagrangiano aumentado, vease Fortin, Glowinski5 consiste en desacoplar las dificultades inherentes al operador lineal B del carácter no  lineal del problema introduciendo una nueva variable y una nueva ecuación. Asf reformulamos (1) de la manera siguiente: Min 1 Fíq)  + Lív)  fv,q) E W ( 2 )  w = / ( v , ~ ) E  V X H ;  B V = ~ /  La restricción Bv = q se elimina mediante un multiplicador de Lagrange p E H' (dual de H); el problema a resolver es entonces el cálculo de un punto silla de la funcional 2 fv,q,p) = Fíq)  + L ív)  + <p, Bu - q > (3) o bien de la Lagrangiana aumentada s , (v ,q ,p)  = & f ~ , q , p )  + L. I I B v - q ~ P  2 (4) siendo <- 9 .> y I I  . I I  el producto de dualidad (o equivalente) entre H' y H y la norma en H respectivamente, o una norma equivalente. ALGORITMOS GENERALES DE RESOLUCION NUMERICA Un punto silla de la Lagrangiana &, definida en (4) viene dado por el triplete (u,p,h) E WX  tal que verifique: &,fu,p,p) b £,(u,p,h) G£, fv ,q ,h)  ( 5  cualquiera que sea (u, q )  E V x H y p E H. El clásico algoritmo de Uzawa para la b6squeda del punto silla de &, se expresa asf. Dado hO arbitrario y una vez conocido el valor aproximado hi de h 1 .O) Calculamos (ui+', pi+') soluci6n de i + i  ' &,(U'+', , h l )  b &,(v ,~ ,A ' )  ALGORITMOS DE LAGRANGIANO AUMENTADO 5 para todo (v,q) E V x  H 2 O )  Actualizamos el valor de X X i + l  = A' + p i ( ~ u i + l  - p i + i )  siendo pi > O convenientemente elegido. 3.') Si llBui" -pi+' l l  < E paramos el proceso, en caso contrario tomamos i + 1 en lugar de i y volvemos al punto lo). Bajo hipdtesis bastante generales se puede demostrar (Fortin, Glowinski5) la conver- gencia del algoritmo anterior para O < < pi < al < 2r en el siguiente sentido: Lim u' = u en la topologia fuerte de V j '" Lim pi = p en la topologia fuerte de H i ' m  Lirn (A'+'- ii) = O en la topologia fuerte de H i'" La sucesión 1 A'/ " está acotada en H. i= 1 En la práctica la parte la) del algoritmo anterior se descompone en una relación por bloques de la siguiente forma: 1 a) Conocido el valor de p r l  calculamos u:: t soluci6n de Sr (u:; , pi t l  , Xi) < Sr(,, p F 1  , Xi) para todo v E V 1 b) ~alculamos p::: solución de i+i i+i ' &(un+, , pn+i , ' 1  r ,S. A') para todo q E H i+i i 1 c) Si Ilpn+, - pn II G E' pasar al punto 2.' con ui+ 1 = i+i y pi+l = i + i  un+ i Pn+ i En caso contrario tomar n+ 1 en lugar de n y volver a 1 a). h L. FERRAGUT, J. ELORZA Y G. WINTER Si nos limitamos a una sola iteración de relajación el algoritmo que obtenemos es el siguiente : Dado p0 y hO arbitrarios y una vez conocido el valor aproximado de pi y p) Calculamos ui+' solucibn de para todo v E V. 7.') Calculamos pif '  solucidn de £,(ui+', pi+' hi) < £,(ui+', q, hi) para todo q E H 3.') Actualizamos el valor de 4.') Si , I IB~ '+ '  -pi+' I I  < e paramos el proceso, en caso contrario tomamos i + 1 en. lugar de i y volvemos al punto lo) .  Para este dltimo algoritmo se tienen los mismos resultados de convergencia que el ' ' p  r (Vease Fortin, ~ l o w i n s k i ~ ) .  primer caso si p verifica O < p < --- 2 En general y como se verá en la aplicación que se expone a continuaci6n la resoluci6n del paso 1 a en el primer algoritmo o del ler. paso en el 2? algoritmo, se reducen a la resolución de un problema lineal y los otros cdlculos en los dos algoritmos anteriores, o bien son cálculos explfcitos, o la resoluci6n de un problema no lineal donde las incógnitas están desacopladas y la resolución se reduce finalmente a cálculos explfcitos. FLUJO NO LINEAL EN MEDIO POROSO Para velocidades relativamente altas del flujo a travls de un medio poroso se producen desviaciones significativas de la ley de Darcy, por lo que resulta necesario utilizar otras expresiones maternaticas para representar la relaci6n no lineal, existente en muchos casos, entre el gradiente hidráulico y la velocidad de flujo, véase por ejemplo Nazeer6. Las expresiones de uso másvgeneralizado son las de tipo bin6mico y las de tipo expo- nencial; esta i1Itima consiste en sustituir la ley de Darcy v = -k V u,  donde v es la velocidad del fluido, u la altura piezometrica y k la conductividad hidráulica por la siguiente : donde I . 1 designa el módulo de un vector en R d  (d= l ,  2 Q 3) y kn es una constante que depende del exponente n que a su vez depende del valor de 1 Vu 1. En regimen lineal n= 1 y en regimen turbulento puro ~ 0 . 5 .  Las ecuaciones que gobiernan el flujo esta- cionario en un medio isótropo, S2 C R~ serán: - V ( k , I ~ u l " - ~ ) ~ u = f  e n a  U = u0 sobre Po (1 4) a~ -kn I v u I " - ~  - an = g  sobre I',siendo r=F, UP, el contorno de 52 y u, y g funciones conocidas que representan respectivamente el caudal volumetrico aportado en cada punto de S2, la altura piezomé- trica conocida en y el flujo conocido en r, . FORMULACION VARIACIONAL Es bien conocido que la soluci6n u de (14) es tarnbien soluci8n del siguiente problema de optimizaci6n : J(u) = Min J(v) VEK donde J(.) viene dada por (s=n+l): y siendo K = 1 v E W ( a )  ; = U, y w'*' el espacio de Sobolev 1 v E Ls ( a ) ;  - E L. ( a ) ,  1 + i < d /  < axi Aquf desacoplamos el operador gradiente O(.) de la ley no lineal de flujo; asf la lagrangiana (3)  toma en este caso la forma: y elegimos como lagrangiana aumentada: siendo kd la conductividad de Darcy. En la practica hallamos el punto silla de la versión discretizada de (18) mediante el metodo de elementos finitos. ALGORITMOS DE LAGRANGIANO AUMENTADO 7 8 L. FERRAGUT, J. ELORZA Y G. WINTER ALGORI'TMOS DE RESOLUCION Algoritmo de Uzawa El algoritmo utilizado en Ferragut y Elorza4 para la bdsqueda de un punto silla de (18) es el algoritmo descrito por las expresiones ( lo) ,  (1 1) y (12) para el caso general, es decir, el de Uzawa combinado con una relajaci6n por bloques en cada itera- ci6n : Se eligen p0 y h0 arbitrarios 1 .O) Conocido pi y 8 calculamos u'+' resolviendo: V v E V, (Subespacio de dimensión finita). 2: ) Calculamos p'+ ' resolviendo el problema no lineal local en cada punto de integra- ción : 3 P )  Calculamos k+ mediante el calculo explicito en cada punto de integraci6n (p>O): Ai+l = i - h + p(vui+l  - pi+') (21) Si I I vui+' -pi+' l l > E l l vui+' l l hacemos i igual a i+ 1 y volvemos al paso 1, O .  Estirnacibn de parámetros Los valores 6ptimos de r y p en el algoritmo anterior dependen de cada tipo de problema y de los datos del mismo. Experimentalmente se observa que el tomar p=r conduce a resultados satisfactorios, por otra parte si utilizamos el algoritmo anterior para la resolución del caso lineal obtenemos la convergencia de la-variable u en una sola iteración si elegimos p=r= 1 ; en efecto, supongamos s=2, @'=XO=O, la resolución de (20) y (2 1) en la primera iteración proporciona los valores en consecuencia, al calcular u2 mediante (19) obtenemos u2 = u1 ssluci6n de: ALGORITMOS DE LAGRANGIANO AUMENTADO 9 que es el problema lineal en su forma variacional cldsica. Observemos sin embargo que la convergencia de p i  + Vu no se obtiene en una iteraciídn sino que de (20) y (21) deducimos pi = y asi: de donde teniendo en cuenta que Vui = VuO = Vu para todo i resulta: existe pues un desacoplamiento entre la convergencia en u y la de p. Para trasladar estos resultados al caso no lineal habrd que tomar r = p de forma que rk, = k, I Vu I "-' que es la conductividad en el caso de la ley exponencial, estimaremos el valor de r con la soluci6n obtenida en la aproximación anterior y la expresión (19) del algoritmo de Uzawa se sustituye por: Obtenemos asi un algoritmo que recuerda al clásico de Newton con la ventaja que este conserva la simetrfa inicial del problema, con lo cual para la resoluci6n de (25) podemos utilizar un metodo iterativo tipo SOR o gradiente conjugado precondicionado (GCP) con el fin de evitar la factorizaci6n de la matriz del sistema en cada paso. APLICACIONES Acuífero confinado Se ha aplicado el nuevo algoritmo a la resolución del ejemplo ya expuesto en Ferragut y Elorza4, de un acuffero que ocupa una región rectangular, con dos pozos y una corriente de aporte de agua que la divide. La convergencia medida con II p-Vu II < E II Vu 1 1  se obtenfa para un valor de E = en 11 iteraciones utilizando el algoritmo de Uzawa con pZr=l que se demostr6 que eran los valores óptimos en este ejemplo. Con la modificación introducida (expresión (25)) la convergencia se obtiene en 8 iteraciones; además si se utiliza un metodo iterativo en la resolución del sistema lineal un error del 10% es permisible con lo cual el ndmero de iteraciones internas (SOR 6 GCP) disminuye considerablemente sin afectar por ello al nlLmero de iteraciones externas (Uzawa modificado). Los datos del problema, mallado y la soluci6n correspondiente han sido expuestas en Ferragut y Elorza4 y por ello no los reproducimos aqui. Explotación minera a cielo abierto En este ejemplo (Elorza y Ferragut7) presentamos un cálculo realizado sobre una mina a cielo abierto con un sistema de pozos paralelos al eje mayor de la corta destina- dos a impedir la inundación de la mina. En la Figura 1 se muestra la sección media con 10 L. FERRAGUT, J. ELORZA Y G. WINTER Figura 1. Sección de la mina las condiciones de contorno; hemos dibujado con llnea punteada la futura posición de los pozos. Las condiciones de contorno impuestas se indican en la Figura 2. El ccllculo de las reacciones nodales en el pozo permite conocer el caudal de extracción necesario para mantener la superficie frecltica por debajo de' la superficie de la mina. El valor de la permeabilidad de Darcy, k,, tomado, es de 2000m/dfa y la relacidn k /k ,  figura en la tabla 1. El niodelo realizado evita parte de la zona seca estimada mediante un modelo más grosero que el aquf utilizado (Figura 3) correspondiente a unainterpolaci6n lineal en cada triángulo, con 1022 nodos y 1886 elementos. u=150 Y Figura 2. Modelo y condiciones de contorno ALGORITMOS DE LAGRANGIANO AUMENTADO 11 Figura 3 .  Mallado Tabla 1 .  Descripcibn de la ley no lineal de flujo El tratamiento de la superficie libre se describe en Ferragut y Eloirza4 y en Elorza y Ferragut7 y el ci4lculo de la soluci6n realizado mediante el algoritmo de Uzawa implica un niimero de iteraciones igual a 50 para una tolerancia de error de ; con el algo- ritmo modificado aqui propuesto el niimero de iteraciones necesario es de 10. La importante reduccibn en el numero de iteraciones necesarias para alcanzar la conver- gencia hace que el ahorro en tiempo de cálculo sea significativo, aproximadamente a la mitad en este ejemplo, a pesar que el costo positeracidn seamayor csri el nuevomdtodo. Figura 4. Superficie libre y lfneas de igual altura piezomdtrica En la Figura 4 se representa la posición de la superficie libre una vez alcanzado el equilibrio y tambien se han representado las llneas de igual altura piezomdtrica. Figura 5 .  Distribución de zonas no lineales Finalmente, en la Figura 5 se señalan las zonas con diferente caracter no lineal en funci6n del vaIsr del gracliente, asi tenemos: Tabla 2 .  Indicativo de las zonas de no linealidad Intervalo de I Vu 1 o - lom2 - 10-l 10-l - 10" 10" - lo1 lo1 - lo2  REFERENCIAS Tipo de marca + # * $ 1. M.  Hestenes. "Multiplier and gradient methods". J. Optimization theoly and Applications 4, 303-329 (1969). 2. M. J. D. Powell. "A method for nonlineal constraints in minirnization problems". En: Optimiza- tion, ed. R. Fletcher, Editorial Academic Press, London, U. K. (1969). 3.  R. Glowinski y A. Marrocco. "Sur l'approximation par élCments finis d'ordre un, et la résolution par pénalisation-dualite d'une classe de problBmes de Dirichlet non linéaires" Rapportde Recherche, 115, I.R.I.A. (1975). ALGORITMOS DE LAGRANGIANO AUMENTADO 13 4. L.  Ferragut y J .  Elorza. "Un metodo de Lagrangiano aumentado para la resoluci6n de problemas de flujo no lineal en medio poroso" Revista internacional de métodos numéricos para cdlculo y diseño en ingeniería, 1,3,27-35 (1985). 5. M .  Fortin y R. Glowinski. "Méthodes dé Lagrangien augrnenté", Editorial Dunod, París, Francia (1982). 6. A. Nazeer y D. K. Sunada. "Nonlinear flow in porous media". Journal of the Hidraulics Divisiói~ HY6, 1847-1857 (1969). 7. J. Elorza y L. ~ e r r a ~ u t .  "A finite element approximation of nonlinear flow in porous media". II Congreso Internacional del agua en la minería. Ed. R. Fernández Rubio,Gr.anada, España(1985). 

Algoritmos de lagrangiano aumentado para problemas de flujo no lineal

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