O tratamento do problema de contato entre corpos flexíveis foi implementado no módulo
METAFOR4, que permite o tratamento de problemas de conformacáo mecanica. O presente
algoritmo emprega o método da penalidade para o cálculo de forcas de contato. Os elementos de contato sáo percorridos duas vezes em cada passo de tempo para que seja assegurada a deteccáo de todas as formas de interpenetracao. O algoritmo apresentou-se extremamente robusto. Um exemplo de impacto entre um tubo e uma placa é mostrado.The treatment of the contact problem between flexible bodies has been implemented in the
METAFOR modulus4, which allows the treatment of metal forming problems. The described
algorithm uses the penalty method for the calculation of the contact forces. The contact elements are checked twice at each time step to assure the detection of al1 forms of penetration. The algorithm demonstrated to be extremely robust. An example of impact between a tube and a plate is given.Peer Reviewe

Bittencourt, E.

Creus, Guillermo J.

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 11,4, 615-623(1995) TRATAMENTO DO PROBLEMA DE CONTATO-IMPACTO ENTRE CORPOS FLEXÍVEIS EM GRANDES DEFORMAC~ES PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E. BITTENCOURT e G.J. CREUS Centro de Mecanica Aplicada e Computacional (CEMACOM) Curso de Pós-GraduaciTo em Engenharia Civil (CPGEC) Universidade Federal do Rio Grande do Su1 Av. Osvaldo Aranha, 99, 30 andar, Porto Alegre, RS, Brasil E-mail: Bitten@cesup.ufrgs.br ou Creus@vortex.ufrgs.br O tratamento do problema de contato entre corpos flexíveis foi implementado no módulo METAFOR4, que permite o tratamento de problemas de conformacáo mecanica. O presente algoritmo emprega o método da penalidade para o cálculo de forcas de contato. Os elementos de contato sáo percorridos duas vezes em cada passo de tempo para que seja assegurada a deteccáo de todas as formas de interpenetracao. O algoritmo apresentou-se extremamente robusto. Um exemplo de impacto entre um tubo e uma placa é mostrado. SUMMARY The treatment of the contact problem between flexible bodies has been implemented in the METAFOR modulus4, which allows the treatment of metal forming problems. The described algorithm uses the penalty method for the calculation of the contact forces. The contact elements are checked twice at each time step to assure the detection of al1 forms of penetration. The algorithm demonstrated to be extremely robust. An example of impact between a tube and a plate is given. Recibido: Enero 1995 OUniversitat Politecnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 616 E. BITTENCOURT E G.J. CREUS Os primeiros algoritmos de contato consideravam um dos corpos em contato como rígido. Esta é uma aproximaciio ainda muita usada e útil em problemas de conformacao mecanica, onde, de fato, a matriz é muito mais rígida que o corpo que se deforma. No entanto isto impede o cálculo de tensoes na matriz. Por outro lado, na maior parte dos casos de impacto os corpos em contato sofrem deformacoes importantes de sorte que a aproximacao de um corpo rígido nao é mais possível. Neste último caso é ainda possível o contato do corpo com ele mesmo (fenomeno normalmente denominado de auto-contato), sobretudo quando se chega até a pós-flambagem. Estas limitacoes motivaram o desenvolvimento de um modelo de elementos finitos capaz de considerar o contato entre dois ou mais corpos flexíveis. O desenvolvimento que foi feito é limitado ao caso bidimensional explícito (a solucao no tempo é obtida pelo método das diferencas centrais, empregando-se uma matriz de massa diagonalizada). Algoritmos de contato com objetivo similar foram propostos por Benson e Hallquist2, Belytschko e Neall, Zhong5, entre outros. Uma das superfícies em contato é denominda escrava (do ingles 'slave surface') e a outra é denominada alvo ('master surface'). As forcas de contato sao calculadas projetando os nós que pertencem A superfície escrava (ou nós escravos) sobre a superfície alvo. Este procedimento simples porém, pode levar A resultados falsos, como se ve na Figura 1 onde o contato nao é detectado já que os nós escravos nao tocam o elemento alvo. Figura 1. C-Superfície alvo; E-Superfície escrava Alguns trabalhos sugerem que a discretizacao mais fina entre as duas superfícies seja tomada como escrava2. Isto pode evitar problemas no início do cálculo, mas como se está trabalhando no domínio das grandes deformasoes, nao se pode prever qual será a malha mais fina no final do processo. O problema pode ser resolvido mudando a atribuicao de superfície alvo e escrava cada vez que se calcule as forcas de contato. Isto quer dizer que dois passos sao feitos: O elemento que é alvo num primeiro passo, será escravo no segundo e vice-versa. Este procedimento, nomeado duplo passe, será aqui empregado. ALGORITMO DE PESQUISA DO CONTATO Normalmente pode-se dividir o algoritmo de pesquisa do contato em duas partes: A pesquisa a nível global e a pesquisa a nível local. A primeira etapa é em geral aquela em que pode-se ter um maior ganho através do uso de algoritmos especiais. 1 'Pesquisa a nível global O objetivo da pesquisa a nível global é encontrar quais s5o os elementos alvos candidatos ao contato com um nó escravo pré-definido. A forma mais segura de fazk-lo é passar em revista todos os elementos (ou nós) alvos. Este tipo de algoritmo é chamado l do ingles de 'brute force algorithm'. Normalmente a pesquisa pode ser feita de duas 1 formas diferentes a) Calculando a distancia entre o nó escravo e os nós alvos ('nearest neighbour'). Os nós alvos candidatos ao contato s5o aqueles cuja a distancia calculada é menor. b) Definindo caixas em torno de cada elemento alvo. Estas caixas s5o calculadas utilizando as coordenadas máximas e mínimas dos nós associados ao elemento mais uma tolerancia (Figura 2). Se a caixa de um elemento contém o nó escravo, ent5o este elemento é candidato ao contato com este nó. É possível ainda definir esferas no lugar das caixasl. Figura 2. Elementos s and t sáo candidatos ao contato O nó escravo 1 pode entar en contato com o segmento alvo S ;  o nó 2 com os segmentos s e t .  O nó 3 náo pode entrar em contato. Neste trabalho, será empregado o algoritmo "brute force" devido A sua robustez e simplicidade. Pesquisa a nivel local Uma vez identificados os elementos alvos candidatos ao contato, deve-se agora confirmá-lo e calcular as forcas de contato. As conetividades dos elementos siio definidas de forma que o corpo fique A direita. Da Figura 3: s5o as coordenadas do nó escravo e 618 E. BITTENCOURT E G.J. CREUS siio as coordenadas do nó alvo do elemento alvo ( i  = 1,2), e é a tangente ao segmento alvo. al n Figura 3. C1, C2 definem elemento de contato Numa primeira etapa, deve-se determinar a projecáo P do nó escravo sobre o elemento. Sabe-se A priori que a diresso de projeqáo do nó é perpendicular a direcáo tangente ao elemento alvo. Assim a condiciio seguinte deve ser satisfeita (P - Xe) . T = O (4) onde P = aixci ai sáo as funcoes de forma associadas aos nós dos elementos e valem al = 1/2(1 - E) (6) a2 = 1/2(1+ E) (7) Substituindo equacoes 6 e 7 em 5 e o resultado em 4, obtém-se uma equaciio A uma só incógnita E = t i  (2xe - xci - xc2) + t2 (2ye - yci - ~ c 2 )  -xCiti + xc2ti - ycita + yc2t2 (8) Se - l < E < l  (9) o nó escravo e poderá ser projetado sobre o elemento. Esta é a primeira condic¿io de contato. Deve-se verificar ainda se o nó escravo está dentro do corpo alvo. Calcula-se entiio a normal exterior A cada elemento alvo candidato ao contato (Fig. 3). Evidentemente, se o nó penetrou o elemento, o produto escalar seguinte (10) é positivo, o que define a segunda condicio de contato. onde n é o vetor normal externo ao elemento alvo. Existem no entanto, dois casos particulares que devem ser previstos Primeiro caso particular: O nó escravo está dentro de uma regiiio concava (Fig. 4) Figura 4. Nó dentro de urna regiiío concava Aqui, apesar do nó escravo ter penetrado no corpo alvo, a primeira condiciio de contato niio é satisfeita para as dois elementos alvos candidatos. Duas soluciio podem ser aqui empregadas: projetar o nó sobre um prolongamento dos segmentos ou entiio projetá-lo sobre o nó alvo mais próximo. Esta segunda opciio, embora mais cara computacionalmente será aqui adotada devido a sua maior precisiio. Segundo caso particular: O nó escravo está dentro de uma regiiio convexa (Fig. 5) Aqui, ao contrário do caso precedente, existe duas opc6es de projeciio. Escolhe-se entiio a superfície mais próxima do nó. Figura 5. Nó dentro de urna regiiio convexa E. BITTENCOURT E G.J. CREUS A última etapa é o cálculo de forcas nos nós. Empregar-se-á aqui um procedimento simplificado no qual o contato é tratado como forcas nodais. Com o auxílio do método da penalidade, pode-se escrever entao que a forca de contato sobre o nó escravo e vale (Figura 6) Fne = kn Gn (11) onde Gné a distancia normal entre o nó escravo e a superfície alvo, calculada segundo a expressiio Gn =II Xe - P 1 1  (12) e 'kk é a penalidade. As reacoes sobre os nós do elemento alvo valem (Fig. 6) F n c ~  = -1/2Fn,(1+ E) (13) Fncz = -1/2Fne(1 - E) (14) onde E vem da expressao (8). Observa-se que o cálculo da forca normal de contato é feito de forma instantanea e em eixos locais, o que viabiliza o uso desta formulacao em grandes deformacoes. Na montagem global de forcas, é necessário ainda rotá-las aos eixos globais. Abaixo é apresentado um exemplo elasto-plástico de impacto entre dois corpos flexíveis. FNO El f -2 * Figura 6. For~as nodais EXEMPLO O exemplo que será aqui analisado, consiste no impacto de um tubo e uma placa em estado plano de deformacáo, como mostra a Figura 7 e foi originalmente proposto por Zhong (1990). A discretizacaio do problema é dada na Figura 8 e Figura 9. 40 elementos foram empregados para o tubo e 360 elementos foram utilizados para a placa. (Os elementos sáo isoparamétricos lineares de 4 nós). O material do tubo e da placa é o mesmo, e suas características sáo dadas abaixo E = 200 GPa (Módulo de Young) u = 0.3 (Coeficiente de Poisson) p = 7800 (Peso específico) ay = 100 MPa (Tensáo de escoamento) H = 50 GPa (Módulo de endurecimento) O cilindro tem uma velocidade inicial de -50 m/s na direcáo y, enquanto que a placa tem a mesma velocidade na direcgo oposta. A penalidade empregada vale k, = 3.5 x lo1'. Figura 7. Geometria da placa e tubo: R = 0.097 m; h = 0.006 m; L = 1.2 m; t = 0.003 m Figura 8. Discretizacáo erri eleiiieiitos finitos E. BITTENCOURT E G.J. CREUS Figura 9. "Zoom" da zona de contato As Figuras 10 e 11, demonstram a evoluciio da deformada das duas pecas. Um elemento de contato rígido (invisível na figura) foi colocado para que se evitasse que a placa ultrapassasse a linha de simetria. Assim foi possível simular o problema discretizando apenas a metade da estrutura. Figura 10. Deformada (tempo 0.001 sec.) Figura 11. Deformada (tempo 0.008 sec.) Observa-se que a deformacáo que o cilindro sofre no início do impacto é predominantemente elástica (Figura 12), pois nas etapas subsequentes existe uma - -- P CONTATO-IMPACTO ENTRE CORPOS FLEXÍVEIS EM GRANDES DEFORMACÓES 623 recuperaciio da sua forma circular. A Figura 12 compara a evolu@io dos pontos A e B (Figura 9). Observa-se que comeca a haver um rebote no impacto após um tempo de impacto de aproximadamente 0.0075 segundos. Ou seja, no final do impacto a energia cinética da placa torna-se predominante frente a do cilindro5. 0.02 6 -  -0.08 - -0.1 - O 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.001 0.008 0.008 t i m e  (se=) Figura 12. Posiqáo dos nós A e B (m) durante impacto CONCLUSOES O algoritmo de contato empregado, com duplo passe e prevendo situacoes em que o nó escravo situa-se próximo de arestas, demonstra ter uma característica fundamental: A robustez. Algoritmos menos elaborados, embora mais rápidos, normalmente apresentam casos particulares em que nao funcionam. Além disto a aplicaciio deste algoritmo ao caso de cascas é imediata. Outros casos, e sua extensa0 para o caso tri- dimensional, podem ser encontrados em Bittencourt3. REFERENCIAS 1. T .  Belytschko and M.O. Neal, "Contact-impact by the pinball algorithm with penalty and lagrangian methods", International Journal for Numerical Methods and Eng., Vol. 31, pp. 547-572, (1991). 2. D.J. Benson and J. O. Hallquist, "A Single surface contact algorithm for the post buckling analysis of shell structures", Computer Methods in Applied Mechanics Eng., Vol. 78, pp. 141-163, (1990). 3. E. Bittencourt, "Treatment of contact-impact problems in large deformations by the finite element method" ,Doctoral thesis, Curso de Pós-Graduacáo em Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Brasil (em portugues), (1994). 4. J.P. Ponthot and M. Hogge, LLThe use of Eulerian- Lagrangian FEM metal forming including contact and adaptive mesh", Proceedings ASME Winter Annual Meeting, pp. 1-16, (1991). 5. Z.H. Zhong, "Finite element procedures for contact- impact problems", Oxford University Press, New York, (1993). 

Tratamento do problema de contato-impacto entre corpos flexíveis em grandes deformações pelo método dos elementos finitos

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