En este artículo se presenta un niétodo para la obtención de soluciones numéricas precisas de problemas mixtos para sistemas acoplados de ecuaciones en derivadas parciales. Dichas soluciones aproximadas están expresadas en forma analítica finita y computable, obtenidas mediante la truncación de una serie infinita y la substitución de ciertas exponenciales de matrices mediante aproximantes de Padé. Dado un intervalo de interés y un error admisible E, indicamos un procedimiento para la obtención de soluciones aproximadas finitas computables y analíticamente expresadas, cuyo error está uniformenlente acotado por E.Peer Reviewe

Jódar, L.

Legua, Matilde

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

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Revista Internacionai de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 7, 3,  289-299( 1991) RESOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS ACOPLADOS DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES LUCAS JODAR Y MATILDE LEGUA Dpto. de Matemática Aplicada, Universidad Politécnica de Valencia, Apdo. 22.012, 46080 Valencia. RESUMEN En este artículo se presenta un niétodo para la obtención de soluciones numéricas precisas de problemas mixtos para sistemas acoplados de ecuaciones en derivadas parciales. Dichas soluciones aproximadas están expresadas en forma analítica finita y computable, obtenidas mediante la truncación de una serie infinita y la substitución de ciertas exponenciales de matrices mediante aproximantes de Padé. Dado un intervalo de interés y un error admisible E ,  indicamos un procedimiento para la obtención de soluciones aproximadas finitas computables y analíticamente expresadas, cuyo error está uniformenlente acotado por E .  SUMMARY In this paper a series solution of initial-boundary value problems for coupled systems of second order par t id  differential equations is given. Approximate accurate solutions obtained by truncation of the infinite series and substituting certain matrix exponentials by Padé approximants are constructed and error bounds of them in terms of the data are given. INTRODUCCION Muchos sistemas físicos no pueden ser descritos por una sola ecuación en derivadas parciales, siendo modelados por un sistema acoplado de ecuaciones. Así por ejemplo, en el estudio de propagación de señales en un sistema de cables eléctricos aparece un sistema de ecuaciones en derivadas parciales L i n e a l e ~ ~ ~ ~ * ~ * " .  Tales sistemas acoplados aparecen también en el estudio de la distribución de la temperatura en un conductor de calor compuesto3. Métodos numéricos para resolver tales sistemas han sido propuestos en las referencias [8,10,13], pero en ninguno de ellos se suministran cotas de error de las soluciones aproximadas. Otros métodos de resolución de sistemas acoplados de ecuaciones en derivadas parciales se basan en la transformación del sistema original en otro donde las incógnitas están d e s a ~ o p l a d a s ~ ~ ~ ~ ~ ~ ' ~ .  El objetivo de este artículo es Recibido: Marzo 1990 OUniversitat Politkcnica de Cataiunya (España) ISSN 0213-1315 L. JODAR Y M. LEGUA obtener soluciones aproximadas precisas de problemas mixtos para sistemas acoplados de ecuaciones en derivadas parciales del tipo donde la incógnita U(x, t) y el dato f (x) toman valores en Rm, y A, B son matrices en Rmxm, tales que A y B son invertibles y para todo valor propio z de la matriz AB-', tiene parte real positiva, Re(z) > 0. ( 5 )  La primera parte del artículo trata de la obtención exacta explícita del problema (1) - (4), en forma de serie, tal como ocurre en el caso escalar mediante el método de separación de variables. Posteriormente obtendremos soluciones aproximadas truncando la serie infinita y obteniendo cotas del error de aproximación en términos de los datos. Es interesante hacer notar, que la obtención de soluciones explícitas son de considerable importancia tanto para la interpretación fisica del fenómeno en estudio como para comprobar los resultados numéricos obtenidos por otros métodos, y como hacemos aquí, para la obtención de cotas de error que permiten construir soluciones precisas. , Si C es una matriz en IRmXm, denotaremos por llCll la norma deñnida coma la raíz cuadrada del mayor de los valores propios de C ~ C ,  donde cT es la matriz traspuesta de C, l~~p.41 . Denotaremos por llClloo la norma definida por El conjunto de los valores propios de C será denotado por a(C). Si I representa la matriz identidad en Rmxm y z un valor propio de C,  y N(z, n) = {x; (C - zI)"x = 0) entonces el índice v(z) de z es el menor entero v tal que N(z, u )  = N(%, v + 1). SOLUCION EXACTA EN FORMA DE SERIE Como B es una matriz invertible en R m x m ,  considerando el cambio de variable el problema (1) - (4) toma la forma RESOLUCION DE SISTEMAS ACOPLADOS DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES 291 u(0, t)  = o t > O  U(P, t)  = 0 u(", 0) = B f (x) = g(z), O < x < p, p > 0. Supongamos estamos interesados en obtener soluciones u(x, t )  del problema homogéneo (8) - (lo),  de la forma donde T(t) E Rmxm y X(x)  E IRm. Sea X un número complejo y consideremos las ecuaciones diferenciales X"(z) - XX(x) = O. (14) Nótese que si T( t ) ,X(z) ,  satisfacen (13) y (14)) respectivamente, entonces u(z, t )  definida por (12) satisface AB-~u, , (~ ,  t)  - U&, t)  = A B - ~ T ( ~ ) x ~ ~ ( x )  - T'(~)x(z)  = AB-'T(~)xx(x) - XAB-'T(~)X(X) = O. Además, es claro que si X(x)  satisface (14) y las condiciones de contorno entonces u(x, t)  definida por (12) satisface las condiciones (9) y(10). Se comprueba sin dificultad que un conjunto de autovalores y autofunciones del problema (14) - (15), viene dado por para n 4 1 y cualquier vector d en IRm. Considerando la ecuación (13) con X = A,, obtenemos la ecuación T1(t) f ( n a / p ) 2 ~ ~ - ' ~ ( t )  = O,  ( l7)  cuya solución general toma la forma Tn(t) = e ~ ~ ( - ( n ? r / ~ ) ~ t ~ ~ - ' ) Q ,  (18) donde Q es una matriz arbitraria en ( E m X m .  De aquí resulta que una familia de soluciones del problema de contorno homogéneo (8) - ( lo ) ,  viene dado por un(2, t)  = ~ X ~ ( - ( ~ T / ~ ) ~ ~ A B - '  )sen(n~zI/p)d,,  (19) d, es un vector arbitrario en IRm. L. JODAR Y M. LEGUA A continuación buscaremos soluciones del problema (8) - (ll), mediante la superposición de soluciones un(x, t) del problema (8) - ( l o ) ,  definidas por (19). Consideremos la serie formal donde los vectores dn se van a elegir de manera que u(x, 0) = B f (x) = g(x). Suponiendo que no hay  roblem mas de convergencia en la serie (20), la condición inicial (11) implica que Nótese que como sen(naxI/p) es una matriz diagonal, la condición (21) será satisfecha si cada componente de g(x) satisface cualquiera de las condiciones suficientes que garantizan que su serie de Fourier de senos converge al valor de la función en cada punto. En ese caso, los coeficientes dn están determinados por las ecuaciones Ahora tenemos que demostrar que la solución formal es en efecto una solución del problema buscado, es decir, que la serie (20) - (21) es convergerte y que se pueden calcular las derivadas parciales de u(x, t)  mediante la derivación término a término en la serie. La justificación de estos hechos se basará en una argumentación local. Sea to > O, y sea 6 tal que O < 6 < to y sea R(to, 6) el rectángulo [O,p] x [to - S, to + 61. Supongamos que o(AB-') = {Al, A2, . e ,  A,), donde y sea m; el índice del valor propio A;'. Para t > O, consideremos la función analítica de variable compleja z, definida por w(z) = exp(- ( n ~ / p ) ~ t z ) .  De la referencia [7], pp. 559, se sigue que donde E(Xk) es la proyección espectral asociada al valor propio Ak de AB-' y (20), (22) y(24), la serie vectorial definida por (20), (22), será convergente, si para cada k, j, con 15 k 5 S, O 5 j 5 mk - 1, la  serie RESOLUCION DE SISTEMAS ACOPLADOS DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES 293 - es convergente. Por el lema de Riemann-Lebesgue1\ si f (x) es una función continua, existe una constante positiva M tal que los coeficientes dn definidos por (22) satisfacen n 5 N n L 1. (27) Sea rkj = I I ( A B - ~   Xk~) j~(Xk) l1 / j ! ,  para z < k < S, O 5 j 5 rnk - 1, entonces para (x, t )  en R(to, u), de (23)-(25), se sigue que [~(AB-' - ~ ~ ~ ) j ~ ( ~ ~ ) ~ e n ( n i r ~ ~ / ~ ) ~ k ~ d ~ / j ! l l  5 ~ r k ~ ( n * / p ) ~ j ( t o  4- 6 ) j e ~ ~ ( - ( n * / ~ ) ~ ( t o  - 6)Xk). (28) Puesto que &(Ak) > O, es claro que la serie numérica con término general definido por (28) es convergente. Ahora, por el criterio mayorante de Weierstrass', se sigue que la serie defhida por (2.22) es convergente absoluta y uniformemente en R(to, 6). En consecuencia, la serie (2.20)) (2.22)) define una función continua u(z,  t). Nótese que las derivadas parciales de las funciones un(x, t)  definidas por (19) toman la forma ( u ~ ) ~ ( x ,  t)  = - ( ~ T / ~ ) ~ A B - '  e ~ ~ ( - ( n x / ~ ) ~ t ~ ~ - ~  )sen(nnzI/p)d, (29) (un),,(z1 t) = - ( n ~ / p ) ~  e ~(-(na/~)~t~~-')sen(n?rx~/~)d~, n 2 1. (30) Un razonamiento análogo a la demostración de la convergencia uniforme de la serie que define u(x, t)  en el rectángulo R(to, S), nos demuestra que mediante la aplicación del teorema 9.14 de la referencia [l], tenemos que ut(x, t )  = -AB-' C ( n ~ / p ) ~  exp(-(nx/p)2t~~-1)sen(nirxI/p)dn = n>l  = (a/at)(un(zi t))  n>l  uz2(xl t) = - E ( n ~ / p ) ~  e ~ ~ ( - ( n r / ~ ) ~ t ~ ~ - ~ ) s e n ( n ñ o ~ / ~ ) d ~  = n> 1 = C ( a ' / a ~ ~ ) ( ~ n ( ~ i t ) ) i  n>l  donde un(x,t)  está definida por (19). Como to > O es arbitrario, resulta que para cualquier t > 0, O < x < p, se verifica A B - ~ U ~ ~ ( X ,  t) - ut(z, t)  = { A B - ~ ( u ~ ) ~ ~ ( x ~  t) - (un)t(x, t))  = 0. n > l  Antes de enunciar el resultado demostrado, recordemos que si h(z) es una función escalar continua, entonces cualquiera de las dos condiciones que siguen garantizan la convergencia a h(x) de su serie de Fourier de senos: L. JODAR Y M. LEGUA (i) h(x) es localmente de variación acotada en un entorno [z - 5, z + 61 de cada punto x E [0,p]16*pp.67. (ii) h(x) admite derivadas laterales h:(x) y hd(x) en cada punto x E [0,p]4*pp.96. De aquí y de (7), el siguiente resultado queda demostrado: TEOREMA 1. Sea f = ( fl , S ,  f,)* una función continua en [O, p] ,  de modo que cada una de sus componentes f;, 1 5 i 5 m, satisface alguna de las condiciones ( i )  o (ii), indicadas anteriormente. Si A,  B son matrices que satisfacen la propiedad ( 5 ) ,  entonces una solución del problema (1) - (4), viene dada por U(z, t )  = B-'u(x, t), donde u(z, t) está definida por (2.20), (2.22). APROXIMACION NUMERICA DE LA SOLUCION Nótese que la solución U(x, t) del problema (1) - (4), suministrada por el teorema 1 tiene dos obvios inconvenientes desde un punto de vista numérico. En primer lugar, la serie que representa U ( z ,  t)  es infinita, y en segundo lugar, ésta involucra el cálculo de exponenciales de matrices, cuya computación presenta serios inconvenientes si no se dispone de una información espectral completa de la matriz cuya exponencial se quiere calc~lar '~.  Consideremos las hipótesis y la notación utilizadas anteriormente y sean qo, Q las constantes definidas por De (24)) (27) y (31)) resulta que donde vk(t) = ( k ~ / ~ ) ~ ~ ~ t ~ ~  exp(-tbk); bk = ( k ~ / ~ ) ~ ~ e ( X l ) .  (33) Supongamos estamos interesados en la obtención de soluciones aproximadas del problema (1) - (4) en el dominio [O,p] x [to, ti]. Teniendo en cuenta que vL(t) = (kn/p)2q0tq0-1 exp(-tbk)(qo - tbk) se sigue que, v(k(t) es negativa si y sólo si, qo < tbk. Sea entonces ko el menor entero positivo k tal que bk > 401t0. (34) Así, para k 2 ko, la función vk(t) es decreciente en el intervalo [to, ti] y de (32) se sigue que RESOLUCION DE SISTEMAS ACOPLADOS DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES 295 Sea Sn(z, t) la n-ésima suma parcial de la solución U(z, t) del problema (1) - (4), suministrada por el teorema 1, es decir, n Sn(z, t) = B-' exp(-(n~/~)'t~~-')sen(nrz~/~)d,,. j=l (36) Entonces, si n 2 kOy del teorema 1 y las expresiones (35) y (36), para n > ko se sigue que Sean To y Ti las constantes positivas definidas por To = ( ~ / ~ ) ~ t ~  ; TI = (t1ñ2/p2)qo Entonces, de (36) - (38) se sigue que Ilu(z,t) - sn(z,t)ll < ~oTIQNIIB-'II ktqO ev(-k2To). k>n+l (39) Con objeto de acotar el error en(z,t) = IIU(z,t) - Sn(z,t)ll en términos de los datos, consideremos la función discreta y(k) = (2qolog(k))/k -, kTl, k 2 1. (40) Un cálculo sencillo muestra que y (k )  decrece para k 5 3, y que y (E)  - m,  si k + m. De este modo, la constante = sup{y(k); k 2 3, ~ ( k )  < 01 está bien definida. Nótese que de (40) y (41) se verifica que kZq0 exp(-k2To) 5 exp(ak), k 2 3 y si denotamos por L a una cota superior de qoTillB-' IINQ, es decir Si estamos interesados en encontrar el menor valor de n tal que el error e,(x, t) esté uniformemente acotado por una cantidad prefijada e > O, para O 5 x 5 p, to 5 t 5 ti ,  entonces de (43) resulta que n debe ser mayor que max(2, kO) y verifique L. JODAR Y M. LEGUA Si llamamos b = exp(a), entonces la condición (44) es equivalente a la siguiente y si tomamos el menor entero positivo posterior al max(2, ko) tal que satisfaga (45)) entonces el error de truncación en(x, t) satisface de donde queda demostrado el siguiente resultado: TEOREMA 2. Consideremos las hipótesis y notación del teorema 1, sea E > O un número positivo prefijado y sean To,Tll qo y ko, definidos por (38), (31) y (34) respectivamente. Si n > max(2, ko) y satisface (45), entonces la función Sn(x, t)  definida por (36) es una aproximación de la solución exacta U(x, t) suministrada por el teorema 1, cuyo error en(x, t) 5 E, para todo (x, t)  E [O,p] x [to, ti]. El teorema 2 evita el inconveniente computacional de sumar una serie infinita pero involucro el cálculo de exponenciales de matrices. Para evitar esta inconveniencia, trataremos de aproximar estas exponenciales de matrices mediante aproximantes de Padé de un grado apropiado. Para hacer más clara la presentación de esta técnica, recordamos algunos resultados que pueden encontrarse en las referencias [12] y [9]. Si q es un entero q > 1 y si Nqq(z) es el polinomio sea la función de Padé R99(4 = (N99(-t.))-1~99(4. (46) Si C es una matriz en IRmXm y elegimos j de manera que 2j-l 2 llClloo y definimos entonces, de la referencia [9], pp.398, se sigue que I I  ..P(C) - Fqq(C)IIw I 7 l l C I l ~ e x ~ ~ ~ l l ~ l l ~ ) ~  Sea j tal que RESOLUCION DE SISTEMAS ACOPLADOS DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES 297 2j-l 2 (k~n/p)~tlllAB-'II,. (50) Entonces, para cada t E [to, tl], si definimos FQq(k, t) = ~ ~ ~ ( - ( k a / ~ ) ~ t ~ ~ - ~ )  = [ R ~ ( - ( R / ~ ) ~ ~ A B - ~  /2j)12', (5l)  de (46) - (48) se sigue que 1 1  ex~(-(kn/~)2tas-1)-~Qq(ki t ) l l ,  < 7(kñ/~)2tllAB-1)IIO0 e x ~ ( 2 ( k * / ~ ) 2 t l l A B - 1  11,). Considerando (51) para k = 1,2, . e ,  ko, de (52) se sigue que (52) ko IIFQQ(~, t) - e x ~ ( - ( k r / ~ ) ~ t A ~ - '  1100 llsen(k*zI/~)dkllca k = l  (53) 5 7 ~ k o ( k o s l ~ ) ~ t l l l A ~ - ~  /105 exP(2(konl~)~ti  IIAB-~II,). Sea q suficientemente grande para que la constante 7 deñnida por (48) satisfaga la condición ex~(-2(konlP)~tl  IIAB-' 1 1 , ) ~  < m 1 ~ 2 N k ~ ( k o ~ / p ) 2 t l  1 1  AB-l 11, ' (54) Si definimos por Sn(x, t, q,  j) la suma finita obtenida al substituir exp(- (k~/p)~tAB-l )  por Fqq(z, t), es decir, n Sn(x, t, q, j) = 8-l ~ Q q ( ~ 9  t)sen(k*z~/p)dk, k=1 (55) para n > max(2, ko) y n satisface (45). Ahora teniendo en cuenta las desigualdades - n 'I'll~lloo < IICll < m11211~lloo, válidas para cualquier matriz C E IRmXn, referencia [9], pp. 15, si q satisface (54), de (53) se sigue que IISn(x,t) - S n ( ~ , t ,  q,j)ll, < E, para (2, t)  E [O,PI x [to,tiI (56) De los comentarios anteriores y de los teoremas 1 y 2, el siguiente resultado queda demostrado: TEOREMA 3. Consideremos las hipótesis y notación de los teoremas 1 y 2, sea e > O un número positivo prefijado y sea O < to < tl. Sea n > max(2, ko) tal que satisface (45). Entonces si j satisface (50) y q satisface (54), la suma finita Sn(2, t, q, j)definida por (55) es una solución aproximada del problema (1) - (4), de modo que si U(2, t) -- - L. JODAH Y M. LEGUA es la solución exacta dada por el teorema 1, entonces IIU(z, t)  - Sn(z, t, q, j)ll 5 2s, uniformemente para (2, t)  E [O,p] x [to, ti]. Es claro que este teorema suministra una solución aproximada del problema (1) - (4) que es fácilmente computable porque está expresada en términos de los datos y que presenta la interesante propiedad de que el error está prefijado de antemano y además porque al ser una expresión analítica, es válida para todos los puntos (z,  t)  E [O,p] x [to, tl]. Podemos resumir el procedimiento para calcular soluciones aproximadas de precisión 2s en el dominio [O,p] x [to, tl], de la siguiente manera: (i) Determinar qo a través de (31) (en su defecto se puede tomar qo = m). (ii) Elegir ko como el menor entero positivo tal que la sucesión bk definida por (33) satisface (34). (iii) Calcular To, TI mediante (38), la constante a por (41) y obtener una estimación de L definida por (42). (iv) Elegir no como el menor entero positivo mayor que max(2, ko), tal que verifique (45). (v) Hallar el menor valor de j que verifique (50). Para este valor de j, tomar q de modo que la constante y definida por (48) satisfaga (54). (vi) La solución aproximada buscada viene dada por donde Fqq(z, t)  está definido por (51) y dk por (22). AGRADECIMIENTOS Este artículo ha sido parcialmente financiado por la Dirección General de Investigación Científica y Técnica, proyecto PS87-0064. REFERENCIAS 1. T.M. Apostol, "Mathematical Analysis", Addison-Wesley, Pub. Co., Reading MA. 2. F.H. Branin, Jr., "Transitient analysis of lossless transmission lines" , Proc. IEEE (letters), Vol. 55, pp. 2012-2013,(1967). 3. J.R. Cannon y R.E. Klein, "On the observability and stability of the temperature distribution in a composite heat conductor", SIAM J. Applied Math., Vol. 24 , pp. 569- 602, (1973). 4. R.V. Churchili y J.W. Brown, UFourie~ Series and Boundary Value ProblemsJJ, McGraw- HU, (1978). 5. Fung-Yuel Chang, "Transitient analysis of lossless coupled transmission lines in a nonhomogeneous dielectric medium, IEEE Trans. Mictrowave Theory and Techniques, MIT, Vol. 18, pp. 616-626, (1970). RESOLUCION DE SISTEMAS ACOPLADOS DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES 299 6. H.W. Dommel, "A method for solving transitient phenomena systems", Proc. 2nd Power Systems Computation Conference, Rep. 5.8, Stockholm, Sweden, (1966). 7. N. Dunford y J. Schwartz, "Linear Operators In, Interscience, New York, (1957). 8. B. Fornberg, "On a Fourier method for the integration of hyperbolic equations", SIAM J. Numer. Anal., Vol. 12, pp. 509-528, (1975). 9. G.H. Golub y C.F. Van Loan, "Matriz Computations", Johns Hopkins , Univ. Press, Baltimore, (1985). 10. H.O. Kreiss y J. Oliger, "Comparison of accurate methods for the integration of hyperbolic equations" , Tellus, Vol. 24, pp. 199-215, (1972). 11. P.I. Kuznetsov y R.L. Stratonovich, "The propagation of electromagnetic waves in multiconductor transmission lines" , Macmilian, New York, (1964). 12. C.B. Moler y C.P. Van Loan, "Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix", SIAM Review, Vol. 20, pp. 801-836, (1978). 13. S.A. Orszag, "Numericd simulation of incompresible flows within simple boundaries 1: Galerkin (spectral) representations", Sud. Appl. Math., Vol. 50, pp. 293-327, (1971). 14. E.C. Zachmanoglou y D.W. Thoe, "Int~oduction to partial diferential equations", William and Wilkins, (1976). 15. A. Zygmund, "Trigonometric Series", 2nd ed., Vols. 1 y 11, Cambridge Univ. Press, (1977). 16. K.S. Yee, "Explicit solutions of initial boundary vdue problems of a system of lossless transmission lines", SIAM J. Applied Math., Vol. 24, pp. 62-80, (1975). 17. J.M. Ortega y W.C. Rheinboldt, "Iterative solution of nonlinear equations in several variablesn, Academic Press, (1970). 

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