On comprend facilement que les analogues quadridimensionnels du triangle régulier, du carré et du pentagone régulier (dans cet article, ils sont tous composes uniquement d’arêtes et ne comportent aucun élément à deux dimensions) sont respectivement le tétraèdre régulier, le cube et le dodécaèdre régulier (dans cet article, ils sont tous composés uniquement de faces et ne comportent aucun élément à trois dimensions). Alors, quel polyèdre est l’analogue quadridimensionnel de
I’hexagone régulier, c’est-à-dire un hexagone régulier quadridimensionnel? Si nous résolvons cette énigme, nous pourrons représenter un flocon de neige, un nid d’abeille, un crayon, etc. quadridimensionnels.It is easily understood that the Cdimensional analogues of the regular triangle, square, and regular pentagon (in this paper, all are composed of only edges and have no portion of 2-space) are the regular tetrahedron, cube, and regular dodecahedron (in this paper, all are composed of only faces and have no portion of 3-space) respectively. Then, which polyhedron is the Cdimensional analogue of the regular hexagon, i.e. Cdimensional regular hexagon? If this riddle is solved, we can see a 4-dimensional snowflake, honeycomb, pencil, etc.Peer Reviewe

Miyazaki, Koji

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Four-Dimensional Regular Hexagon by Koji Miyazaki Rbumb Topologie structurale #lo, 1984 L’hexagone rbgulier quadridimensionnel On comprend facilement que les analogues quadridimensionnels du triangle rCgu- lier, du carrC et du pentagone rtgulier (dans cet article, ils sont tous composks uniquement d’arites et ne comportent aucun ClCment a deux dimensions) sont respectivement le tttrabdre rtgulier, le cube et le dodkcabdre rtgulier (dans cet article, ils sont tous composts uniquement de faces et ne comportent aucun ClCment a trois dimensions). Alors, quel polybdre est l’analogue quadridimensionnel de I’hexagone rtgulier, c’est-a-dire un hexagone rtgulier quadridimensionnel? Si nous rCsolvons cette Cnigme, nous pourrons reprksenter un flocon de neige, un nid d’abeille, un crayon, etc. quadri-dimensionnels. PropribtC ghmbtriques de I’hexagone rhulier. Les principales propriCtb gkomttriques de l’hexagone rkgulier se rapportant cet article sont les suivantes: I.  I1 possMe un cercle inscrit auquel toutes les arites sont adjacentes en leur milieu. 2. 11 possMe un cercle circonscrit auquel tous les sommets touchent. 3. Toutes les arites sont d’Cgale longueur. 4. Tous les angles internes sont Cgaux. 5.  I1 peut crier un pavage infini du plan. 6. Tous les sommets sont situes sur les axes isomktriques tridimensionnels qui se croisent 7. C’est un parallClogone. 8. Deux triangles rtguliers mutuellement duals peuvent y itre inscrits (Figure 2). 9. On I’obtient par l’intersection de deux triangles rtguliers qui sont mutuellement duals (Figure 2). 10. I1 est Ctroitement apparent6 a la juxtaposition dense de cercles. les uns les autres sur un plan a 120” (Figure 1). Abstract Structural Topology #lo,  1984 I t  is easily understood that the Cdimensional analogues of the regular triangle, square, and regular pentagon (in this paper, all are composed of only edges and have no portion of 2-space) are the regular tetrahedron, cube, and regular dode- cahedron (in this paper, all are composed of only faces and have no portion of 3-space) respectively. Then, which polyhedron is the Cdimensional analogue of the regular hexagon, i.e. Cdimensional regular hexagon? If this riddle is solved, we can see a 4-dimensional snowflake, honeycomb, pencil, etc. Geometrical Properties of Regular Hexagon. regular hexagon which relate to this paper are as follows: The main geometrical properties of the I.  It has an inscribed circle which all midpoints of edges contact. 2. It has a circumscribed circle which all vertices contact. 3. All edges have equal length. 4. All internal angles are equal. 5.  It can tessellate infinitely a plane. 6. All vertices are on the 3-dimensional isometric axes which intersect each other in the plane at 120” (Figure 1). 7. It is a parallelogon. 8. It contains two inscribed regular triangles which are mutually dual (Figure 2). 9. It can be obtained by the intersection of two regular triangles which are mutually dual (Figure 2). 10. It closely relates to the closest circle arrangement. 28 Topologie stmcrurale #lo, 1984 Figure 1 Propri6tb gkomktriques de I’hexagone rbgulier quadridimensionnel. Les propriitts gtomt- triques de l’hexagone rtgulier mentionntes ci-dessus peuvent &re transpostes a I’espace a quatre dimensions comme suit: 1. I1 possPde une sphtre inscrite a laquelle sont adjacentes chacune des faces de l’hexa- gone en leur milieu. 2. II possede une sphere circonscrite a laquelle tous les sommets touchent. 3. Toutes les faces sont identiques. 4. Tous les angles solides sont tgaux. 5. I1 peut remplir a I’infini un espace B trois dimensions. 6. Tous les sommets sont situes sur les axes isomttriques quadridimensionnels qui se 7. C’est un paralltloedre. 8. Deux polytdres rtguliers mutuellement duals peuvent y Stre inscrits. 9. On I’obtient par l’intersection de deux polytdres rtguliers qui sont mutuellement duals. 10. I1 est ttroitement apparent6 a la juxtaposition dense de sphtres. croisent les uns les autres dans un espace ti trois dimensions a 109028’ (Figure 3). Comparaison de certains poly6dres consider& comme des hexagones r6guliers quadridimen- sionnels. Certains polytdres peuvent &re considtris comme des hexagones rkguliers quadridimensionnels. Le Tableau 1 les compare en tenant compte des proprittts g h m L  triques mentionnks ci-haut. Les intersections marqu6es par des asttrisques indiquent que les proprittts gtomttriques ont Ctt satisfaites. Figure 1 Geometrical Properties of CDimensional Regular Hexagon. The above mentioned geo- metrical properties of the regular hexagon can be extended into 4-space as follows: 1. It has an inscribed sphere which all central points of faces contact. 2. It has a circumscribed sphere which all vertices contact. 3. All faces are identical. 4. All solid-angles are equal. 5 .  It can fill infinitely a 3-space. 6. All vertices are on the Cdimensional isometric axes which intersect each other in a 3-space at 109O28’ (Figure 3). 7. It is a parallelohedron. 8. It contains two inscribed regular polyhedra which are mutually dual. 9. It can be obtained by the intersection of two regular polyhedra which are mutually dual. 10. It closely relates to the closest sphere arrangement. Comparison of some Polyhedra as 4Dimensional Regular Hexagon. There are some polyhedra which can be thought of as the Cdimensional regular hexagon. Table 1 shows their comparison according to the above mentioned geometrical properties. The cross- ings having asterisk show that the geometrical properties are satisfied. Stmctural Topology #lo, 1984 29 Figure 3 Le cube consider6 comme hexagone rkgulier quadridimensionnel. D’aprts le Tableau 1, le cube posstde le plus grand nombre d’asttrisques. Par consequent, on peut penser que le cube est celui qui se rapproche le plus de I’hexagone quadridimensionnel rigulier. Feu David Brisson a dessini des flocons de neige quadridimensionnels inscrits dans des cubes comme on peut le voir B la Figure 4. I I  a d’abord compris que les flocons de neige tridimensionnels sont des ttoiles de David subdivistes selon la thtorie fractale de Mandel- brot. Ensuite, il a imagint des flocons quadridimensionnels produits par une subdivision similaire de la stella octangula de Kepler. II semble que, pour h i ,  I’hexagone rtgulier quadridimensionnel ttait le cube. Toutefois, le cube ne peut pas satisfaire aux proprittis gtomttriques 9 et 10, et de plus, il est de manitre certaine I’analogue du carrt. Le rhombidodkaMre considere comme hexagone rbgulier quadridimensionnel. Dans cet article, le rhombidodkcatdre dont toutes les faces ont des diagonales de rapport 1: J2 et son dual, le cuboctatdre, sont considtrts comme les hexagones quadridimensionnels riguliers. Ensemble, ils peuvent satisfaire ii toutes les proprittis giomitriques. En ce qui concerne les proprittts 8 et 9, la Figure 5 illustre comment elles sont satisfaites. De plus, toutes les ar&tes et les segments de droite reliant le centre du cubocta2dre a tous ses sommets sont mutuellement igales 1 la longueurdu rayon de la sphkre circonscrite, ce qui 6tait aussi le cas pour I’hexagone rigulier. Dtpendant des circonstances, l’on adopte le rhombidodtcakdre ou le cuboctakdre, bien que le premier soit satisfaisant dans la plupart des cas. 1 2  3 4 5 6 7 8 9 10 Cube * * * * * * * *  Cube Octakdre rigulier * * * *  * Regular Octahedron Titratdre tronqut * *  * Truncated Tetrahedron Prisme hexagonal * * *  * Hexagonal Prism Octatdre tronqut * *  * *  Truncated Octahedron Cuboctatdre Rhombidodtcatdre * * * * * * * Rhombic Dodecahedron * *  * Cuboctahedron Tableau 1 - Table 1 Cube as CDimensional Regular Hexagon. According to Table 1, the cube has the largest number of the asterisks. Therefore, it may be thought that the cube is closest to a Cdimensional regular hexagon. The late David Brisson designed 4-dimensional snow- flakes inscribed in cubes as in Figure 4. First, he grasped that 3-dimensional snowflakes are the stars of David subdivided according to the fractal theory of Mandelbrot. And next, he imagined Cdimensional snowflakes such that the Kepler’s stella octangula is subdivided. It seems that the Cdimensional regular hexagon for him was the cube. However, the cube can not satisfy the geometrical properties 9 and 10, and furthermore, it is surely the analogue of the square. Rhombic Dodecahedron as CDimensional Regular Hexagon. In this paper, the rhombic dodecahedron all of whose faces have the diagonals of the ratio 1: J2 and its dual, the cuboctahedron, are thought of as the Cdimensional regular hexagons. They can satisfy all of the geometrical properties by helping one another. Concerning properties 8 and 9, the situations are as in Figure 5. And moreover, all of the edges and lines connecting the body-center with all the vertices of the cuboctahedron are mutually equal to the  length of the radius of the circumscribed sphere, as in the condition for the regular hexagon. It depends upon circumstances which of the rhombic dodecahedron or cuboctahedron is adopted, though the former may be suitable in most cases. 30 Topoiogie structurale #lo, 1984 Figure 4 Figure 5 Flocon de neige quadridimensionnel. La Figure 6 prtsente des constructions de flocons de neige quadridimensionnels a partir de rhombidodtcatdres. Le 7 avril 1983, a la sugges- tion d’un japonais, la navette spatiale Khallenger,, a tente de faire des flocons de neige dans I’espace pour les soustraire a I’action de la gravitt. Malheureusement, cela n’a pas rtussi. Mais si cela avait rtussi, les flocons de neige seraient tels qu’a la Figure 6, parce qu’une goutte d’eau circulaire devient spherique dans I’espace, lorsqu’elle n’est pas soumise a l’action de la graviti. C’est la mZme chose dans I’espace a quatre dimensions. Nid d’abeille quadridimensionnel. La Figure 7 prtsente un nid d’abeille quadridimen- sionnel et une abeille quadridimensionnelle. Dans un espace tridimensionnel, un nid d’abeille est compose de tubes, chacun ayant la forme d’un rhombidodtcatdre, c’est-&dire la forme exttrieure d’un cube a quatre dimen- sions allongt le long d’un ensemble d’arites mutuellement paralltles. Et quand ce nid d’abeille a trois dimensions est coupt par un plan perpendiculairement aux arites allon- gtes, le pavage rtgulier qui apparait est compost uniquement d’hexagones riguliers; en d’autres mots, nous apercevons une juxtaposition dense de cercles. Dans ce cas, chaque hexagone rtgulier devient un parallilo-hexagone lorsqu’il est projett obliquement sur un plan. Au contraire, la base de chaque tube devient un hexagone rtgulier compost de trois losanges lo rsqu’il est projett orthogonalement sur un plan perpendiculaire aux arites allongtes. 4Dimensional Snowflake. Figure 6 shows Cdimensional snowflakes built according to the rhombic dodecahedra. On April 7 ,  1983, the space shuttle “Challenger” attempted to make snowflakes in space having no gravity according to a proposal by a Japanese. Regretfully, it ended in a failure. But, if it proved successful, the snowflakes might have become as in Figure 6 because a circular drop of water would become spherical in space, having no gravity. So also in 4-space. 4-Dimensional Honeycomb. Figure 7 shows a bdimensional honeycomb and a 4-dimensional bee. In 3-space, a honeycomb is composed of some tubes each of which has the shape of a rhombic dodecahedron, i.e. the outer shape of the Ccube, elongated along one set of mutually parallel edges. And when this 3-honeycomb is cut perpendicular to the elon- gated edges by a plane, the regular tessellation created uses only regular hexagons; in other words, the closest circle arrangement appears as the section. Here, each regular hexagon becomes a parallelo-hexagon when it is obliquely projected onto a plane. On the contrary, the base of each tube becomes a regular hexagon composed of three rhombi when it is orthogonally projected onto a plane which is perpendicular to the elongated edges. Structural Topology #lo, 1984 31 Donc, dans l’espace a quatre dimensions, un nid d’abeille peut itre composC de tubes ayant chacun La forme d’un rhombicosatdre, c’est-a-dire La forme exttrieure du cube B cinq dimensions allonge le long d’un ensemble d’arites mutuellement paralltles. Et lorsque ce nid d’abeille quadridimensionnel est coupe par un hyper-plan, perpendiculai- rement aux ar&tes allongees, le rtseau d’alvColes qui apparait posstde uniquement des rhombidodtcakdres; donc, nous apercevons une juxtaposition dense de sphtres. Ici, chaque rhombidodecatdre devient un parallklo-dodtcaedre, par exemple, le <<second rhombidodCcaedre,, de Bilinski, lorsqu’il est projett obliquement dans un espace B trois dimensions. Au contraire, la base de chaque tube devient un rhombidodecatdre compost de quatre rhomboides lorsqu’il est projett de faGon orthogonale dans un espace trois dimensions perpendiculaire aux arites allongees. Une abeille quadridimensionnelle posstde une tite et un corps, mais trois yeux, trois antennes et trois ailes tpaisses comme des carottes. Therefore, in Cspace, a honeycomb may be composed of some tubes each of which has the shape of a rhombic icosahedron, i.e. the outershape of the Scube, elongated along one set of mutually parallel edges. And when this Choneycomb is cut perpendicular to the elongated edges by a hyper-plane, the <<honeycomb,, has only rhombic dodecahedra; so the closest sphere arrangement appears as the section. Here, each rhombic dodecahedron becomes a parallelododecahedron, e.g. Bilinski’s .second rhombic dodecahedron*, when it is obliquely projected onto 3-space. On the contrary, the base o f  each tube becomes a rhombic dodecahedron composed of four rhomboids when it is orthogonally projected into a 3-space which is perpendicular to the elongated edges. A Cdimensional bee has one head and one body, but three each of eyes, antennae, and wings thick like carrots. Figure 6 Structural Topology #lo, 1984 33 Un crayon quadridimensionnel. La Figure 8 prtsente un crayon quadridimensionnel. Dans un espace a trois dimensions, un crayon a la forme d’un p r i m e  hexagonal regulier dont un des bouts est I’hexagone rtgulier ou n’importe quel parallilo-hexagone et dont I’autre bout est aiguisien forme d’un c6ne circulaire dont la base a six hyperboles comme arttes. Alors, dans un espace a quatre dimensions, un crayon a la forme d’un hyper- prisme hexagonal dont un  des bouts est le rhombidodtcakdre ou tout parallelo- dodecaidre et dont l’autre bout est aiguise en forme d’un hyper-c6ne circulaire dont la base posskde douze hyperboloides comme faces (des hyper-arites). &Dimensional Pencil. Figure 8 shows a Cdimensional pencil. In 3-space, a pencil has the shape of the regular hexagonal prism of which one end is the regular hexagon or any parallelo-hexagon and the other end is shaved in the form of a circular cone whose base has six hyperbolas as the edges. So, in Cspace, a pencil has the shape o f  the hyper- hexagonal prism of which one end is the rhombic dodecahedron or a n y  parallelo- dodecahedron and the other end is shaved in the form of a hyper-circular cone whose base has twelve hyperboloids as the faces (hyper-edges). Figure 8 34 Topologie smructurale #lo, 1984 Addendum. Lors de la seconde tentative, le le‘ septembre 1983, Challenger>> rCussit B fabriquer des flocons de neige dans l’espace, en ttat d’apesanteur. Bien que la dtfinition des images obtenues sur un Ccran de Braun l a h e  A dtsirer (Figure 9),  il est possible de constater la resemblance de celles-ci avec nos dessins par ordinateur de flocons de neige quadridimensionnels rhombidodtcatdriques (Figure 10). Addendum. On September 1,1983, “Challenger” proved successful in the second attempt to make snowflakes in space having no gravity, though the pictures on a Braun tube were not so clear (Figure 9).  They resemble our computer graphics of rhombic dodecahedra1 Mimensional snowflakes (Figure 10). Figure 9’ Adresse de I’auteur: Koji Miyazaki Kobe University 1-2-1 Tsurukabutu Nada-Ku Kobe-Shi 657 Japan * Une gracieusett du Journal Asahi Figure 10’ Address of the author: Koji Miyazaki Kobe University 1-2-1 Tsurukabutu Nada-Ku Kobe-Shi 657 Japan * By the courtesy of the Asahi Newspaper 

L’hexagone régulier quadridimensionnel

On comprend facilement que les analogues quadridimensionnels du triangle régulier, du carré et du pentagone régulier (dans cet article, ils sont tous composes uniquement d’arêtes et ne comportent aucun élément à deux dimensions) sont respectivement le tétraèdre régulier, le cube et le dodécaèdre régulier (dans cet article, ils sont tous composés uniquement de faces et ne comportent aucun élément à trois dimensions). Alors, quel polyèdre est l’analogue quadridimensionnel de

I’hexagone régulier, c’est-à-dire un hexagone régulier quadridimensionnel? Si nous résolvons cette énigme, nous pourrons représenter un flocon de neige, un nid d’abeille, un crayon, etc. quadridimensionnels.It is easily understood that the Cdimensional analogues of the regular triangle, square, and regular pentagon (in this paper, all are composed of only edges and have no portion of 2-space) are the regular tetrahedron, cube, and regular dodecahedron (in this paper, all are composed of only faces and have no portion of 3-space) respectively. Then, which polyhedron is the Cdimensional analogue of the regular hexagon, i.e. Cdimensional regular hexagon? If this riddle is solved, we can see a 4-dimensional snowflake, honeycomb, pencil, etc.Peer Reviewe

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