Neste artigo sáo apresentadas as formulaçóes integral e diferencial para a modelizacão matemática do problema reológico do concreto, assim como a correspondencia entre as duas formulaçoes. Sáo então apresentados exemplos numéricos visando uma comparacáo da eficiencia computacional de algoritmos baseados nos dois tipos de modelizaçao.Peer Reviewe

Fairbairn, Eduardo M.

Longo, Henrique I.

Pereira, Geraldo L.

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

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Aspectos computacionais da implementaçao da formulaçao diferencial aplicada à análise reológica de barragens de concreto

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Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 7, 1, 45-53( 1991) ASPECTOS COMPUTACIONAIS DA IMPLEMENTACÁO DA FORMULACÁO DIFERENCIAL APLICADA A ANÁLISE REOLOGICA DE BARRAGENS DE CONCRETO EDUARDO M.R. FAIRBAIRN HENRIQUE 1. LONGO Y GERALDO L.C. PEREIRA COPPE/UFRJ, Cidade Unive~sitária, C.P. 68506, CEP 21945 Río d e  Janeiro, BRASIL Neste artigo sáo apresentadas as formulacóes integral e diferencial para a modelizaciio matemática do problema reológico do concreto, assim como a correspondencia entre as duas formulacóes. Sáo entiio apresentados exemplos numéricos visando uma comparacáo da eficiencia computacional de algoritmos baseados nos dois tipos de modelizacao. SUMMARY In this paper the integral type and the differencial type mathematical modeliing for the creep problem of concret material are presented, so as the correlation between both formulation. There are then presented some numerical examples in order to  compare the computational efficiency of the algorithms based on integral type and differencial type modells. O desenvolvimento de programas de computador para resolucáo de problemas relativos ao cálculo de tensóes de origem térmica em barragens deve comportar a implementacáo de algoritmos que prevejam a modelizacáo numérica do fen8meno reológico do concreto como consideracáo do envelhecimento. Isto se deve ao fato de que o campo térmico originado pela elevacáo adiabática da temperatura do concreto tem seus máximos por volta dos 3 dias após a concretagem, idade em que a variacáo de características do material é bastante i m p ~ r t a n t e l * ~ ~ ~ .  O problema reológico encontra entáo duas formas básicas de ser modelizado, a saber, a formulacáo integral e a formulacáo diferencial. A formulacáo integral surge diretamente da aplicacáo do princípio da superposicáo originando a relacáo : Recibido: Octubre 1989 @Universitat Politkcnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 E. FAIRBAIRN, H. LONGO y G .  PEREIRA onde T = { E ,  b y  E x y )  é o vetor de deformacóes (o superíndice T indicando ("Transposto"), O 0 0  &OT = { E ,  E y  E , ~ )  é o vetor de deformacóes inelásticas independente de tensóes (corresponde a deformacóes por temperatura, retracáo , etc), é o vetor de tensóes, R(t, t') é uma familia de funcóes de relaxacáo , e para o estado plano de deformacóes, onde u, coeficiente de Poisson, é considerado constante com o temp0'>~9~. Os modelos numéricos baseados na relacáo ' dáo origem a algoritmos cuja eficiencia computacional é comprometida pela necessidade de armazenamento de toda a história de deformacóes7 o que tende a sobrecarregar a memória computacional, ou ocasionar grande perda de tempo para leitura e impressáo de arquivos em disco. Recorre-se entáo & formulacáo diferencial, que requer o armazenamento de apenas algumas tensóes e variáveis permitindo maior eficiencia computacional. As proposicóes básicas da formulacáo diferencial assim como a correspondencia entre esta e a formulacáo integral sáo apresentadas no item a seguir. Se o núcleo da integral de Stieltjes de equacáo (1) pode ser degenerado por urna série de Dirichlet: n t - t' R(t, t') = Ei(t1)exp(- -) i=l 7; entáo podemos provars que o problema expresso por (1) é equivalente ao conjunto de equacóes diferenciais: com condicóes de contorno: ANALISE R E ~ L O G I C A  DE BARRAGENS DE CONCRETO ~ i ( t ó )  = D*E;(tó)[~(tó) - eo(tó)], onde Ti = 7; ( t ) / Ei ( t ) é suposto constante no tempo e: com . . A expressáo (4) (acompanhada de (5) e (6)) representa entáo o conjunto de equacóes constitutivas diferenciais correspondentes A equacáo integral dada por (1). A recíproca da proposicáo anterior é demonstrada ems, dendo provado que a integral das equacóes (6) é a relacáo constitutiva dada por (1). As proposicóes demonstradas acima só sáo válidas, conforme foi visto, se a relacáo (3) é correta, ou seja, se é possivel a representacáo da functío de relaxacáo através de uma série de Dirichlet com número finito n de termos. Conforme já ficou demonstrado em outros trabalhos4q7 o desenvolvimento de funcóes de relaxacáo por séries de Dirichlet permite uma boa correlactío para urn número limitado de termos de série. Particularmente, no que diz respeito a exemplos relativos a grandes obras em concreto massa no Brasil (Usina Hidroeléctrica de Itaipú, Usina Nuclear de Angra 11, etc) coeficientes de correlacáo da ordem de 0.99 foram encontrados para séries com 5 termos, o que indica excelentes ajustess. Fica entáo provada a justeza da relacáo (3) e demonstrada a correspondencia entre as formulacóes integral e diferencial. ALGORITMO UTILIZADO PARA FORMULACÁO DIFERENCIAL DO PROBLEMA REOLOGICO COM ENVELHECIMENTO - DESENVOLVIMENTO PARA O MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS As equacóes (4) a (6) dáo origem a relacóes tensáo-deformacáo pseudo-elásticas do tipog : Au(tT) = D*El1(tT)[A~(tT) - A&"(t,)] onde E. FAIRBAIRN, H. LONGO y G .  PEREIRA At, u i ( t , )  = ~ ~ ( t , - l ) e ~ p ( - - )  + D * x ~ , & ( ~ , ) [ A & ( ~ , )  - A E ~ ( ~ , ) ]  Ti ( 7 . 4  At, = t ,  - t,-l (7.f e t ,  = t ( r )  é um tempo discreto. Podemos observar que as equacóes ( 7 )  sáo todas relacionadas ao tempo t , ,  dependendo apenas das tensóes ~ ~ ( t , - ~ )  relacionadas ao tempo Cabe agora organizar um programa baseado no Método dos Elementos Finitos onde é implement ado o algoritmo descrito pelas equacóes ( 7 ) .  Entáo, para um dado "time-step" t ,  , podemos montar a equacáo "overall": K ~ ~ A u ~ ~  = A R ~ ~  ( 8 )  Estas matrizes "overall)' sáo montadas a partir das matrizes dos elementos: ARFe é um incremento do vetor de forcas no elemento e EU(t , )  e AaU(t,) sáo dados pelas equacóes ( 7 ) .  A solucáo da equacáo ( 8 )  permite a avaliacáo do vetor Ae(t,)  para um elemento: A&(t,)  = BAu, ( 1 1 )  Agora é possível calcular as tensóes u;(t , )  e u(t , )  por meio das equacóes ( 7 )  e (5) respectivamente. Pode-se entáo eliminar as tensóes ~ ~ ( t , - ~ ) ,  guardar na memória ui( t , )  e ir para o próximo "time-step". Para a formulacáo integral, o algoritmo utilizado é do tipo daquele proposto por Bazantg adaptado ao problema bidimensionallO. Neste caso, os termos E'' e A! da relacáo constitutiva pseudo-elástica (7)  dependem de toda a história de tensóes na estrutura e dos diversos valores de funcáo de fluencia ao longo do tempo, conforme as fórmulas a seguir: Para os exemplos apresentados abaixo, utilizaram-se programas baseados nos algoritmos descritos anteriormente1' além do sitema SISTER" para o cálculo de temperaturas. Os exemplos para o caso unidimensional utilizaram-se de algoritmos semelhantes Aqueles utilizados para o Método dos Elementos Finitos. Bloco de Concreto - Comparacáo dos Resultados Numéricos - Área de Memória Utilizada Neste exemplo seráo calculadas as tensoes térmicas em um bloco de concreto quadrado com 3m de lado e comprimento infinito e. impedido de se deslocar na direcáo longitudinal. Para analisar este bloco de concreto pelo Método dos Elementos Finitos iremos considerar apenas o quadrante de coordenadas positivas. Na Figura 1 está desenhada a malha de elementos finitos, com a numeracáo dos elementos, bem como os apoios para se levar em consideracáo simetria da estrutura. Figura 1. Malha de Elementos Finitos do bloco de concreto. A temperatura de lancamento do concreto foi considerada igual A temperatura do concreto endurecido, estimada em 38" C. Na Figura 2 estáo indicadas algumas curvas de temperaturas nodais ao longo do tempo. E. FAIRBAIRN, H.  LONGO y G .  PEREIRA TEMPO (UIASI Figura 2. Temperaturas nodais. Nas figuras 3 i 5 estáo indicadas as tensóes nas direcóes z, y e z do ponto de integracáo A do elemento 3 pela formulacáo integral e a curva calculada pela formulacáo diferencial, em funcáo do tempo decorrido após a idade de 3 dias. Por estes gráficos podemos observar que a curva calculada fica bastante próxima aos pontos obtidos pela formulacáo integral. Desta maneira, fica demonstrada a equivalencia entre as duas formulacóes através de aplicacóes bidimensionais do Método dos Elementos Finitos, corroborando a demonstracáo matemática reportada na referencia8. - ~IFERENCIAL "PO IUIAs) + INTEGRAL Figura 3. Comparacáo Sigma C .  5 ,  1 -6 ! l O 20 40 - DIFERENCIAL TEMPO + INTEMAL Figura 4. Comparacáo Sigma y. -10 4 O 20 40 - DIFERENCIAL (DIAsl + INTEGRAL Figura 5. Coinparac50 Sigma z .  Devemos observar que para o exemplo acima, a área de memória necessária para o armazenamento da história das tensóes relativas i formulacáo integral foi de 52 kbytes enquanto que para a formulacáo diferencial foram necessários 3 kbytes para armazenamento das tensóes. Neste exemplo náo foram feitas comparacóes de tempo de processamento visto que a estruturacáo do programa utilizadolo náo permitiria avaliacóes conclusivas quanto a este parámetro. Comparacáo de Tempos de Processamento A comparacáo de desempenho computacional 'entre as formulacóes integral e diferencial é obtida através da aplicacáo dos algoritmos apresentados nos itens 3 e 4 a um problema unidirecional com um único elemento, onde urna história da deformas50 é aplicada uniformemente ao longo deste elemento (ver Figura 6). É importante notar que nestes casos apenas as performances dos núcleos deste algoritmos é testada, nao sendo necessárias manipulacóes ao ~ v e l  de montagem de sistema de equacóes, matriz de rigidez de elemento, etc. Figura 6. História de deformaqóes. Para o exemplo aqui relacionado, foi utilizada a funcáo de fluencia: J ( t ,  t') = l /E(t l)  + ~ ~ ( t ' )  ln(1 + t - t') 52 E. FAIRBAIRN, H. LONGO y G .  PEREIRA onde E(tl)  = tt2/(c1 . tl2 + CI . t' + c3) (15) cl = 0.3800 E - 5; c;r = 0.3814 E - 4; c3 = -0.6109 E - 4. Fk(t1) = cl + c2/t1 (16) cl = 0.6275 E - 6; c2 = 0.4349 E - 5. J ( t ,  t') sendo dado em (kg/cm2)-' para t' dado em dias. O primeiro tempo de aplicac50 de carga t í  vale 28.5 dias e o intervalo de tempo foi tomado constante e igual a 0.5 dias. A Tabela 1 apresenta os tempos de processamento para as formulacóes integral e diferencial, funcáo do número de interacóes usadas na soluc5o do problema. Tabela 1. CONCLUS~ES Neste artigo forarn mostrados os princípios das formulacóes do tipo integral e diferencial, para representas50 do problema reológico do concreto com envelhecimento, tendo sido apresentada a correspondencia matemática entre as duas formulacóes. Além disto ficou demonstrado que os resultados obtidos pelo Método dos Elementos Finitos a partir dos programas elaborados com algoritmos baseados na formula~áo diferencial se ajustam muito bem aos resultados obtidos pela formulacáo integral para problemas bidimensionais. NÚMERO DE INTERACÓES 100 200 300 '400 500 600 700 800 900 1000 TEMPO DE PROCESSAMENTO (segundos) Diferencial 0.22 O .44 0.71 0.94 1.15 1.37 1.59 1.81 2.03 2.25 TEMPO DE PROCESSAMENTO (segundos) Integral 2.14 8.85 19.93 35.54 55.58 80.13 109.24 142.76 180.81 223.28 Finalmente podemos concluir que os exemplos m apresentados neste ar t igo ressal taram a superioridade computacional d a  formulacáo diferencial e m  relacáo A formulacáo integral. REFERENCIAS 1. G.L.C. Pereira, 'Efeitos térmicos em estruturas macicas de concreton, Tese de M. Sc., COPPE/UFRJ. (1986). 2. R. Gaiofatto, "Análise teórico experimental de concreto Jovemn, Tese de M. Sc., COPPE/UFRJ, (1988). 3. G.L.C. Pereira, E.M.R. Fairbairn, L.A. Souza e R.A. Diniz, "Análise Térmica de Estruturas Macicas de concreto7', MECOM' 88, Córdoba, Argentina, (1988). 4. Z.P. Bazant (editor), "Materials models for structural creep analysisn, preprints to  the 4th RILEM International Symposium, Northwestern University, Evanston, III., USA, (1986). 5. Z.P. Bazant, "Theory of creep and Shrinkage in concrete structures: a precis of recent developments", Mechanical Today, Vol. 2, pp. 1-93. 6. Z.P. Bazant e F. Wittman, "Creep and Shrinkage in concrete structuresn, John Willey and Sons, (1982). 7. Z.P. Bazant e S.T. Wu, "Rate type creep law of aging concrete based on Maxwell Chain", Materials and Structures, Vol. 7, no. 37, Paris, (1974). 8. E.M.R. Fairbairn, Q.M. Guedes e H.I. Longo, "Sobre as formulacóes integral e diferencial da  viscoelasticidade linear com envelhecimento: aplicacóes ao concreto massan, Revista Brasileira de Engeharia, Caderno de Engenharia Estrutural, Vol. 6, no. 1, (1989). 9. Z.P. Bazant, "Numerical determination of long-range stress history from strain history in concrete", Matériauz et Constructions, Vol. 7, no. 27, Paris, (1972). 10. H.I. Longo, "Efeitos do comportamento xeológico e das fases constructivas na análise estrutural de barragens de concreto", Tese de D. Sc., COPPE/UFRJ, (1989). 11. E.M.R. Fairbairn, G.L.C. Pereira e L.A. Souza, "Sistema SISTER para cálculo de tensóes térmicas em barragens de concreto", Manuais, Convenio COPPE/ELETRONORTE/SON- DOTÉCNICA, (1986), (1987), (1988). 

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