Este trabajo presenta una formulación parametrizada de los principios variacionales de elasticidad lineal. La formulación incluye como casos especiales todos los principios variacionales clásicos en que el campo de desplazamientos varía independientemente. En artículos relacionados, esta formulación, conjuntamente con el tratamiento híbrido de interfases internas, se usa para justificar y desarrollar clases de elementos finitos de alto rendimiento.Peer Reviewe

Felippa, Carlos A.

Militello, Carmelo

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

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Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cáiculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 6, 3, 333-342( 1990) PRINCIPIOS VARIACIONALES PARAMETRIZADOS EN ELASTICIDAD LINEAL CARLOS A. FELIPPA Y CARMELO MILITELLO Department of Aerospace Engineering Sciences tY Center for Space Structures and Controls, University of Colorado, Boulder, Colorado 80309-0429, USA RESUMEN Este trabajo presenta una formulación parametrizada de los principios variacionales de elasticidad lineal. La formulación incluye como casos especiales todos los principios variacionales clásicos en que el campo de desplazamientos varía independientemente. En artículos relacionados, esta formulación, conjuntamente con el tratamiento híbrido de interfases internas, se usa para justificar y desarrollar clases de elementos finitos de alto rendimiento. SUMMARY This paper presents a parametrized formulation of the variational principles of linear elasticity. The formulation includes as special cases aii classical principles with independently varied displacement field. In related papers this formulation, in conjunction with the hybrid treatment of internal interfaces, is used as a basis for the variational justification and further development of high performance finite elements. INTRODUCCION El estudio clásico de métodos variacionales en elasticidad sigue generalmente dos caminos diferentes: generalización progresiva de principios especializados (por ejemplo, el principio de energía potencial total), o especialización creciente del principio más general (Hu-Washizu). La mayoría de las exposiciones didácticas siguen el primer camino, mientras que l a  mayoría de los tratados monográficos siguen el segundo. E n  ambos casos es tradicional presentar los principios clásicos uno por uno: energía potencial, energía complementaria, Hellinger-Reissner , Hu- Washizu, etc.. Este trabajo toma una ruta  distinta. Todos los principios variacionales de elasticidad lineal con variación independiente de desplazamientos se confluyen en una funcional parametrizada que provee los resultados clásicos para valores específicos de los parámetros. El resultado es una familia continua de formulaciones. El estudio de Recibido: Junio 1989 OUniversitat Politbcnice de Catalunye (España) ISSN 0213-1315 C. FELIPPA Y C. MiLITELLO la primera variación de esta funcional indica que el máximo numero de parámetros independientes es tres. Esta formulación parametrizada de principios variacionales en elasticidad ha sido útil como una base para desarrollar elementos finitos de alto ~endimiento. En particular este procedimiento variacional aclara varios puntos dudosos relacionados con la "formulación libre" de Bergan y Nyg&d'ta, y con la formulación de "deformaciones naturales'' estudiada recientemente por los autoresnJa. Un ingrediente importante de este método es la retención de los parámetros libres del principio general 'al nivel de 1'0s elementos finitos, es decir, a través de la discretización. Los valores de estos parámetros se ajustan con un método de balance de energía para mejorar la calidad de la aproximación numérica, y pueden variar de elemento a elemento. Aplicaciones de esta índole se describen en una serie de artículos recientes3-'O. EL PROBLEMA DE ELASTOSTATICA LINEAL Consideramos un cuerpo linealmente elástico bajo carga estática que ocupa el volumen V. El cuerpo está delimitado por una superficie S que descomponemos en S : Sd U St. Desplazamientos se especifican en Sd y tracciones de superficie en St. El vector normal exterior unitario en S es n S ni. Los tres campos de volumen incógnitos son los desplazamientos u S u;, deformaciones e S e,, y tensiones u u;j. Los datos incluyen: el campo de fuerzas volumétricas B - b; en V, desplazamientos conocidos d en S¿, y tracciones conocidas . .. t ~ t ;  en St. Las relaciones que ligan los campos de volumen son las ecuaciones de deformación- desplazamiento: las ecuaciones constitutivas y las ecuaciones de equilibrio donde D* = -div es el operador adjunto de D = 5 '(v + vT). El vector de tensión con respecto a una dirección d e h d a  por el vector unitario v se escribe u, = u.v, ó u,; = u;jvj. En la superficie S el vector de tracciones se define como Con esta deñnición la condición de contorno en las tracciones se escribe un = f ó ( ~ . . n .  13 3 = i; sobre St, ( 5 )  PRINCIPIOS VARIACIONALES EN ELASTICIDAD LINEAL mientras que la condición de desplazamientos de contorno es u = d ó u; = d; sobre S¿. NOTACION Dependencias Variacionales En métodos variacionales de aproximación no se trabaja por supuesto con los campos exactos que satisfacen las ecuaciones (1)-(3)) ( 5 ) - ( 6 ) )  sino con campos independientes (primarios) que están sujeto a variaciones, y campos dependientes (secundarios, asociados, derivados), que ' no lo están. Las aproximación se determina tomando variaciones con respecto a los campos independentes. Un campo variado en forma independiente será identificado con un guiño superpuesto, por ejemplo ú. Un campo dependiente se identifica escribiendo el campo independiente del que depende como superscripto. Por ejemplo, si los desplazamientos se varían independientemente, los campos de deformaciones y tensiones derivados son e" = +(v + vT)ú  = Dú, c" = EeU = EDú. (7) Una ventaja de esta convención es que u, e y u pueden reservarse para los campos exactos. Abreviación de Integrales Integrales de volumen y superficie se abreviarán poniendo paréntesis y corchetes, respectivemente, alrededor del integrando. Por ejemplo: Si f y g son funciones vectoriales y p y q funciones tensoriales, su producto interior en V se escribe de la manera usual: dzf (f, g)v dcf /y f.g dV = /y figi dV, (P, 9 ) ~  - /y p.qdV = /y Pij% d v )  (9) y similarmente para integrales de superficie, en cuyo caso se usarán corchetes. C. FELIPPA Y C. MILITELLO Interfases Interiores En las subsecciones siguientes se construyen principios variacionales hz%ridos en que desplazamientos de borde d se pueden variar independientemente de los desplazamientos internos u. Estos desplazamientos funcionan como multiplicadores de Lagrange que relajan la continuidad de los desplazamientos internos. Principios variacionales que contienen pd se llamarán de desplazamientos genemlizados, o d- generalizados. La selección de d como campo independiente no es variacionalmente admisible en Sd ó St. Por lo tanto debemos extender la definición de la frontera para incluir interfases internas designadas colectivamente como Si. Así En S; ni los desplazamientos ni las tracciones se especifican. Detalles adicionales sobre la definición de integrales de volumen y superficie en la presencia de S; pueden verse en6-8,11 La aparición de la frontera Si es una consecuencia natural del uso de elementos finitos de tipo híbrido. En efecto, la unión de bordes comunes a dos ó más elementos hííridos, constituye S;. Se nota que en general esta frontera es artificial pues depende de la discretización elegida*. LAS FUNCIONALES DE ELASTICIDAD LINEAL Los principios variacionales de elasticidad lineal se basan en funcionales de la forma donde U caracteriza la energía interna almacenada en el volumen y P incluye otras contribuciones como el trabajo de las cargas aplicadas y la energía de "dislocación" almacenada en S;. Llamaremos U la energia de deformación generalizada y P el potencial de solicitación. La Energía de Deformación Generalizada La energía de deformación generalizada (EDG) tiene la expresion general donde jll, . . . jS3 son coeficientes numéricos. Por ejemplo, la EDG del principio de HU: Washizu se obtiene poniendo j12 = -1, j13 = 1, j22 = 1, otros cero. La representación matricial del funcional (12) y las relaciones que deben existir entre los coeficientes se estudian en otro apartado. * Si hay interfaces naturaies interiores -por ejemplo un cambio brusco de material o de dimensiones- es práctica común disponer la malia de modo que las interfases naturales también sean interfases entre elementos. PRINCIPIOS VARIACIONALES EN ELASTICIDAD LINEAL Potenciales de Solicitación Hibridos .Principios variacionales de elasticidad lineal se construyen combinando la integral volumétrica (12) con P. Dos formas de este potencial de solicitación (PS), llamado pd y Pt en lo que sigue, son de interés en el tratamiento híbrido de discontinuidades en la interfase S;. El PS d-generalizado (desplazamiento generalizado) introduce uii campo independiente de desplazamientos d sobre S;: - . p d ( ~ , o , d )  = (B,Ú)v + [ün,ú - d]s d + [i > t  ÚlS + [ü n 9 ú- alS i' (13) El PS t-generalizado (tracción generalizado) introduce un campo independiente de tracciones i sobre S;: p t (ú ,ü , i )  = (B,+ + [ i , ú -  dls, + [ i , ~ ] ~ ,  + [i,úlsi. (14) La forma "convencional" PC del PS se obtiene si las integrales sobre S; se anulan y en adición se toma t S u,, sobre S. En este caso Pt y pd se convierten en Pc, que retiene sólo dos campos independientes: Pc(Ü, 6) = (B, Ú)v + [ü, ú - d]sd + [i, ÜISt. (15) PS Modificados La derivación de ciertas clases de elementos finitos de alto rendimiento ha sido basada primordialmente en el potencial pd. Estas derivaciones no se basan directamente en (13) sino en formas modificadas en la que la integral sobre S; se transforma en una integral sobre la frontera total (10). Estas modificaciones se pueden estudiar en7n8 y no son requeridas en el material que sigue. Funcionales Completos Las funcionales de elasticidad (11) se obtienen combinando la ETG (12) con uno de los potenciales (13)-(15). Por ejemplo, las versiones d y t generalizadas de la funcional de Hu-Washizu son r I & = U w - p d ,  r I b = u w - ~ t ,  (16) donde Uw se obtiene poniendo j22 = j13 = 1, j I 2  = -1, otros cero, en (12). REPRESENTACION MATRICIAL DE FUNCIONALES La EDG (12) se puede escribir en forma matricial como* [ j l l  j12 2 323 !1 ]  {TI d v .  s i m  333 eU * Para justificarla simetría de J nótese, por ejemplo, que j l3 (Ü,  ea)v = f j l 3 ( ü ,  ea)" + f j 1 3 ( e u , o u ) V ,  etc.. C. FELIPPA Y C. MiLITELLO La matriz simétrica . ili j12  j13 = [si, jz2 !=] caracteriza la EDG. Usando las ecuaciones t f  = Ee, a" = EDÚ, e" = E-'e, y eU = DY, la integral (17) se puede escribir en la forma alternativa La Primera Variación La primera variación de la EDG (17) es 6U = (Ae, 6 6 ) ~  + (Au, 6é)v - (divul, + [un, 6UIs, (20) donde Los dos términos últimos en (20) se combinan con contribuciones de la variación de P .  Por ejemplo, si P = PC la variación completa de lIc = U - Pc es Usando Pd ó Pt no cambialos términos volumétricos. Las ecuaciones de Euler-Lagrange que corresponden a pd y Pt se estudian en6~798910911 para una forma más restrictiva de las funcionales U. Por consistencia de las ecuaciones de Euler-Lagrange con las ecuaciones de campo debemos tener Ae = O,  Au = O y u' = u si los campos de tensiones y deformaciones se reducen a los exactos. En consecuencia Debido a estas condiciones de vínculo, el máximo número de parámetros independientes que d e h e  los elementos de J es tres. Un estudio más detallado de las condiciones (23) y del significado físico de las ecuaciones con relación al método de residuos ponderados Ae = O y Au = O se presenta en1". PRINCIPIOS VARIACIONALES EN ELASTICIDAD LINEAL 339 Funcionales Especificas Expresiones de J para ciertos principios clásicos y parametrizados se tabulan en lo que sigue. Los subscriptos de J sirven para identificar las funcionales, que aparecen mas ó menos en orden de complejidad creciente. Los campos indicados en paréntesis después del nombre de la funcional son aquellos que varían independientemente. Energia potencial total (ii): Tensión-desplazamiento Reissner, tambien llamada Hellinger-Reissner, (5, U): -1 O 1 J R = [  O O]. 1 0 0  Funcional tensión-desplazamiento "anónima" que aparece en Oden y Reddg3: (ü, ii): Deformación-desplazamiento Rei~sner'~ (6, ii): Hu- Washizu (ü, &, U): Familia de tensión-desplazamiento parametrizada (5, U) que incluye a U p ,  UR y UU como casos e ~ p e c i a l e s ' ~ ~ ~ ~  : Familia deformación-desplazamiento parametrizada (6, ú) que incluye a U p  y US como casos especiales7: 340 C.  FELIPPA Y C. MILITELLO Familia tensión-deformación-desplazamiento doblemente pammetrizada (ü, é, ií) que incluye a Up y U, como casos especiales': Familia tensión-deformación-desplazamiento thplemente panzmetrirada (6, 6 ,  ü) que incluye a Uw y Up, como casos especiales7: La última forma, que contiene tres parámetros independientes, provee todas las matrices J que satisfacen las condiciones (23). Nótese que Jap, da funcionales de tipo tensión-desplazamiento si a = p = O, de tipo deformación-desplazamiento si a = 7 = 0, y de tipo tensión-deformación-desplazamiento en caso contrario. Descomposición e n  Energía Una descomposición interesante de J como suma de cuatro matrices de rango uno es 1 donde ci = $ ( j11+ j22 - j33+1) ,  c2 = 2 ( - j l l + j 2 2 + j 3 3 - 1 ) ,  Y c3 = $(jll- j 2 2 t  j33-1). Para reinterpretar (33) como descomposición en energía, llamemos la habitual energía de deformación ("strain energy") asociada con el campo de deformaciones 6. (Si el tensor E is positivo definido, U(€) es no-negativa.) Entonces U = U(e") + c1U(eu - 6 )  + c2U(é - e") + c3U(eU - e"), (35) donde Up(eu) = Up es la energía de deformación que aparece en el principio clásico de energía potencial total. Descomposiciones de esta forma proveen la base para el "ajuste" de elementos finitos de alto rendimiento por el método de balance de energz'a considerando "parches7' de elementos sometidos a ciertos sistemas de deformaciones y  carga^*+^^*^. PRINCIPIOS VARIACIONALES EN ELASTICIDAD LINEAL CONCLUSIONES Hemos presentado una formulación parametrizada de las funcionales de elasticidad lineal, que incluye varios principios clásicos como casos especiales. Esta formulación ha probado su utilidad en la construcción y ajuste de elementos finitos de alto rendimiento. Debemos notar que la expresión (17) incluye solamente principios variacionales de elasticidad en que el campo de desplazamientos ú varía independientemente y excluye principios en que eso no ocurre; por ejemplo la funcional de energía complementaria. Una forma parametrizada más general que también incluye los principios de tipo tensión-deformación (sin desplazamientos independientes) se presenta enlo. AGRADECIMIENTOS El trabajo del primer autor ha sido financiado por NASA Lewis Research Center (Grant NAG 3-934). El trabajo del segundo autor ha sido apoyado por una beca del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET), Argentina. REFERENCIAS 1. P.G. Bergan y M.K. Nygird, "Finite elements with increased freedom in choosing shape functions," Int. J. Num. Meth. Engng., Vol. 20, pp. 643-664, (1984). 2. P.G. Bergan y M.K. Nygird,' "Nonlinear shell analysis using free formulation finite elements," Proc. Europe-US Symposium on Finite Element Methods for Nonlinear Problems, Trondheim, Norway, Springer-Verlag, Berlin, (1985). 3. P.G. Bergan y C.A. Felippa, "A triangular membrane element with rotational degrees de freedom", Comp. Methods Appl. Mech. Engng., Vol. 50, pp. 25-69, (1985). 4. C.A. Felippa y P.G. Bergan, "A triangular plate bending element based on an energy- orthogonal free formulation", Comp. Methods Appl. Mech. Engng., Vol. 61, pp. 129-160, (1987). 5. 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