O trabalho apresenta a formulacáo geometricamente exata e a implementaçao computacional de um elemento finito de cabo que permite o escorregamento em presenca de atrito. O novo elemento fornece procedimentos naturais para simular o processo de montagem e a resposta aos carregamentos de estruturas de cabos em geral, além de ter campos promissores de aplicaçáo no modelamento de estruturas de concreto protendido e no estudo de oscilaçoes auto-excitáveis. Resultados de exemplos elementares sáo discutidos.Peer Reviewe

Pauletti, Ruy M.

Pimenta, Paulo M.

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

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Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 11,4, 565-576(1995) FORMULACÁO DE UM ELEMENTO FINITO DE CABO INCORPORANDO O EFEITO DO ATRITO (Elemento de cabos escorregando) RUY M. PAULETTI e PAULO M. PIMENTA Laboratório de Mec&nica Computacional Departamento de Estruturas e Fundacoes Escola Politécnica da Universidade de Sao Paulo Caixa Postal 61548, CEP 05424-930, SEO Paulo e-mail:pauletti@uspif.if.usp. br O trabalho apresenta a formulacáo geometricamente exata e a implementac50 computacional de um elemento finito de cabo que permite o escorregamento em presenca de atrito. O novo elemento fornece procedimentos naturais para simular o processo de montagem e a resposta aos carregamentos de estruturas de cabos em geral, além de ter campos promissores de aplicacáo no modelamento de estruturas de concreto protendido e no estudo de oscilacoes auto-excitáveis. Resultados de exemplos elementares sáo discutidos. SUMMARY This work presents a geometrically exact formulation as well as the computational implementation of a cable finite element allowing sliding with friction. The new element provides natural techniques to simulate the assembly and the structural response to loading, besides having promising applications for the modelling of prestressed concrete structures as well as self-induced oscillations. Results for elementary examples are discussed. Tenso-estruturas, em particular as estruturas de cabos, tGm uso nobre e emprego freqüente na engenharia civil. O modelamento matemático deste tipo de estruturas desperta o interesse de muitos pesquisadores (Krishnag, . . ., Makerl1). O problema envolve relasoes geometricamente niio lineares, tornando-se a estrutura um mecanismo, na ausencia de forqas de protensiio. Além disso, a própria configuraqao original da estrutura é incógnita, sendo o tratamento de tal particularidade um assunto em aberto. Recibido: Enero 1995 OUniversitat Politkcnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 566 R.M. PAULETTI  E P.M. PIMENTA Este trabalho apresenta a formulaciio de um elemento finito para estruturas de cabos que permite o escorregamento nao-ideal, isto é, em presenca de atrito. Ao incorporar o efeito do atrito, o novo elemento generaliza aquele apresentado por Aufaure4, onde se equaciona o problema de um cabo passando por uma polia, no contexto da simulacáo do icamento dos cabos das linhas de transmissiio de eletricidade. A representaciio usual dos cabos por um agrupamento de elementos finitos do tipo trelica introduz uma condiciio de solidariedade entre os cabos, em correspondencia aos pontos de cruzamento, que nao se verifica para todas as estruturas, nem para todos os estados de um particular arranjo construtivo. Mesmo nos casos em que a solidariedade possa ser garantida construtivamente, resta o problema matemático de se determinar em quais pontos materiais esta solidariedade se verifica, uma vez que niio se conhece a priori a configuraciio de equilíbrio. Além de contribuir para a resolueiio da classe de problemas acima, o novo elemento pode, em concomitiincia com outros elementos estruturais, representar o comportamento de estruturas esbeltas de concreto protendido, quando é importante a nao-linearidade geométrica. Finalmente, no contexto da análise diniimica, pode-se empregar este elemento para o estudo de oscilacoes auto-excitáveis, sempre que se tratar de cabos escorregando com velocidades nao-deprezíveis. O caso clássico é o da corda do violino2. ELEMENTO IDEAL DE CABOS ESCORREGANDO Considere-se inicialmente o e l emen to  de  cabo ideal (cabo escorregando sem atrito ou cabo passando por uma polia), conforme se mostra na Figura 1. Associados aos trechos 1 e 2 do elemento tem-se os vetores dados na equacáo (1) Figura 1. Elemento de cabo ideal (sem atrito) onde Xl ,  X2 sáo as coordenadas dos nós de extremidade e X3 aquelas do nó intermediário, na configuracáo inicial, e Ul ,  U2 e U3 siio OS deslocamentos destes nós desde a configuracáo inicial até a configuracáo atual. Os comprimentos atuais dos dois trechos podem ser calculados por meio de O comprimento total indeformado do cabo é e. = + e o comprimento inicial, admitindo-se uma protensáo inicial N,, é e, = (el), + (e2),. . A partir das equacóes (1) e (2) definem-se ainda os versores direcionais dos trechos 1 e 2 do elemento de cabo Como a tensáo é a mesma em ambos os trechos de cabo (propriedade da polia ideal), a deformacáo é E = (el + Q2 - e,) / Q o  Admitindo-se um material elástico linear, a forca normal em ambos os trechos do elemento é N = EA€ + N, , onde E é o módulo de elasticidade e A a área da secáo transversal do cabo. A combinacáo das equaqóes acima fornece as forcas nodais agindo no elemento, que podem ser agrupadas no vetor das forcas nodazs F Definido ainda o vetor de deslocamentos incrementais SU SU = [E,] pode-se procurar a matriz  de rigidez tangente K tal que SF = KSU (6) O vetor 6F é a derivada direcional do vetor das forcas nodais, dado pela derivada de Gateaux onde sáo indicadas com uma barra as grandezas calculadas na configuracáo ( U  + XSU), isto é, = Xl + Ul + X SUl - X3 - U3 - X SU3 e definicóes análogas para as demais grandezas. Convém particionar K segundo as componentes dos vetofes SF e SU, de modo que 6F, = KZJSUJ isto é, a derivada direcional da forca nodal agindo no nó i (Fi) na direcáo do deslocamento do nó j (Uj )  fornece a submatriz KZJ.  Procedendo-se portando A derivacáo de SFl, obtém-se a primeira linha de submatrizes KIJ .  AS outras F = lim F ( U  + XSU) - F (U)  d X = -F ( U  + XSU) A-o d X = LFI x=o dX x=o (7) 568 R.M. PAULETTI  E P.M. PIMENTA submatrizes obtém-se por equilíbrio de forsas e permutas50 de índices, o que ressalta a simetria de K (como se requer de um sistema conservativo5). Resulta onde se denota, por concisiio, Mil = vlvT ; Mz2 = v2vif ; M12 = vlvif ; Mi = 1 3  - Mil ; MP = 1 3  - MZ2 (13 é a matriz identidade de ordem 3). Considera-se agora a obtens50 da matriz de rigidez tangente nao ideal (isto é, incluindo o atrito entre cabos). Preliminarmente, recorde-se o problema clássico do equilíbrio de uma correia passando por um tambor cilíndrico fixo, Figura 2. Seja a o iingulo entre os trechos da correia nos dois lados do tambor e ,O o seu complemento. ,O é também a abertura angular do trecho do tambor em contato com a correia. Sendo p o coeficiente de atrito estático entre cabo e correia, as forcas normais Ni e N2 agindo nos trechos de cabo nos dois lados da correia guardam entre si a seguinte relas20 onde se admite que a f o r ~ a  agindo n o  primeiro trecho seja maior que n o  segundo, isto é, NI > N2. Observa-se que a relas50 (9) independe do diametro do cilindro, podendo portanto ser empregada no problema dos cabos escorregando com atrito. Figura 2. Correia passando por tambor cilindrico fixo Neste caso, o elemento de cabo deve representar dois diferentes regimes de comportamento ' - o 4% < =+ náo há escorregamento; N2 -7 - o 2 > 7 + a polia escorrega, e os cabos rearranjam-se até que a condicso de náo-escorregamento seja atingida, o que ocorre com 3 = 7.  Relasoes análogas valem para N2 > N I .  O problema é análogo ao da elastoplasticidade ideal. Náo havendo escorregamento, o elemento de cabo com polia nao-ideal comporta-se como o encadeamento de dois elemento de trelica. A montagem da matriz de rigidez do elemento para este caso é trivial. Para o caso em que o equilíbrio se dá após o escorregamento do cabo, considere-se a configuracáo de equilíbrio do elemento de cabo nao-ideal mostrada na Figura 3a. Os versores direcionais dos dois trechos de cabo sáo dados pelas equacoes (3) .  Sendo Ni e N2 as forcas normais nos dois trechos do cabo, o vetor de forcas nodais agindo num elemento em equilíbrio é: Fl, F2 e F3 sáo necessariamente coplanares. Porém, enquanto no caso da polia ideal F3 era necessariamente dirigida segundo a bissetriz do angulo a,  no caso náo ideal F3 terá uma componente paralela e outra componente normal ?i bissetriz. Convém decompor F3 nestas duas direcoes, conforme a equaciio (11) (Figura 3b) Figura 3. (a) Elemento de cabo nao ideal; (b) DecomposicZo de forcas no elemento nao ideal 570 R.M. PAULETTI E P.M. PIMENTA F& indica a componente de F3 segundo a bissetriz do iingulo a. Para atrito nulo, F: = F3, daí o índice superior i (de "ideal"). F?, por outro lado, é a componente de F3 sustentada pelo atrito, daí o índice superior ni (de "nao-ideal"). A parcela F3 é responsável por sustentar uma trae50 constante Ni  em ambos os trechos do cabo. Para um material elástico linear, existe uma deformacao e' associada a este elemento, tal que onde, analogamente ao que se definiu para o caso ideal, o comprimento total indeformado do cabo é lo = + ( t2)o e O comprimento inicial, assumindo lima protensao inicial Ni é ei = (el)i + Desta maneira, pode-se escrever, para as forcas normais totais agindo nos tlois trechos Ora, como F; é dirigida segundo a bissetriz do angula a,  F? deve ter a direqiio da bissetriz do iingulo ,O (Figura 3b), o que somente é possível se A N F ~  e A N ~  forem iguais em módulo. E como estas parcelas devem incrementar ou reduzir a parcela ideal nos dois trechos do cabo, AsT= -Ac? = Aen'. Substituindo-se A€"' cm (13) e estas em (9), obtérri-se Asn' = 5 s '  (sempre para Ni > N2). Como decorrencia, as forqas normais nos dois trechos de cabo podem ser postas em funqao de NZ Introduzindo-se as expressoes acima na equaciio ( lo) ,  pode-se obter a matriz de rigidez tangente do elemento de cabo escorregando por uma polia nao ideal, analogamente a quanto feito para a polia ideal. Considere-se as duas primeiras linhas da particiio 6Fi = Kij6Uj. Indicando com uma barra as grandezas calculadas na configuraqao ( U  + XSU), tem-se, levando erri conta (7) Procedendo-se As derivasties necessárias, chega-se As duas primeiras linhas de submatrizes de K .  A terceira linha de submatrizes obtém-se considerando o equilíbrio de forcas. O resultado final é onde o índice superior i foi acrescido aos termos da matriz de rigidez da polia ideal (isto é, K21, etc.), conforme determinados anteriormente, e além disso,  ni 2pq Ni 11 = -M12M1 (q + 1)' sin p ti  ni 2pq N~ 12 = -M11M2 (q + 1)' sin /3 -e2 K;; = - 2pq Ni -M21M2 (q + I ) ~  sin /3 -e2 As matrizes Mi, M2, Mil ,  M12 , e ML1 tem definicoes identicas Aquelas do caso ideal. Ressalta-se que, em funcáo da introduciio do atrito, K perde a simetria. Com deduciio análoga, conclui-se ainda que, para construir-se a matriz de rigidez para o caso em que N2 > Ni, basta inverter os coeficientes que multiplicam as parcelas ideais das submatrizes de K ,  e trocar o sinal das parcelas nao ideais. A formulacáo acima foi implementada no programa CABLE, em desenvolvimento no Laboratório de Meclinica Computacional  (LMCIPEF) da Escola Politécnica da USP. O algoritmo de soluciio utilizado foi o método incremental iterativo, com as iteracóes sendo efetuadas através do método de Newton exato, com busca unidimensional para acelerar a convergencia, quando necessário. A solugáo do sistema de equacóes lineares em cada iteraciio utiliza a decomposicáo de Crout para matrizes assimétricas. Na versáo atual o programa exclui casos patológicos, como a polia que escapa do elemento, o cabo que se retifica ou que se dobra completamente sobre si mesmo. Como primeiro exemplo considera-se um único elemento de cabo com polia náo ideal. As extremidades sáo fixas. O nó da polia está localizado no ponto médio do cabo. Os trechos, de comprimento f i  formam entre si um iingulo de 90'. Inicialmente O cabo, com E A  = 2 . 10' e p = 0,25, é tracionado em correspondencia ao nó intermediário por uma forca vertical Fz (isto é, segundo a bissetriz do angulo entre os trechos de cabo) de intensidade 2 . lo5. Em seguida aplica-se uma forca lateral Fx, crescente. A Figura 4a mostra as configuracóes de equilíbrio para diferentes valores de carga. A Figura 4b, por sua vez, mostra o valor do deslocamento lateral do nó de polia ao crescer de Fx. O escorregamento ocorre com 0,3875 . lo5 < Fx < 0,3890 . lo5. A partir daí, esgota-se a capacidade da polia equilibrar a componente de forqa normal 2, 572 R.M. PAULETTI E P.M. PIMEKTA bissetriz do angulo entre os trechos de cabo por meio do atrito, de modo que o cabo deve rearranjar-se até encontrar uma nova configuracáo de equilíbrio. Desprezando- se a deforma550 do cabo, a polia passa ocupar pontos de uma elipse cujos polos s5o as duas extremidades fixas do cabo. Ainda desprezando-se a deformacáo do cabo, é facil determinar analiticamente o valor máximo da forca lateral para o qual náo há escorregamento, resultando Fx = F' = 3,8773. lo4,  valor que concorda com os resultados obtidos pelo programa CABLE. Deslocamento do n6 intermedi8rio ao crscer de Fx 0 1  1 . I t m m Ñ o o o m l a m ~ a m o 7 o o a a m o o o o m t ~  Forp lateral Fx [N] Figura 4. (a) Elemento de cabo escorregando em sucessivas configuraqoes de equilíbrio; (b) Deslocamento do nó intermediário ao crescer de Fx Como segundo exemplo, considera-se a perda de tensáo em um cabo enrolado a um pilar cilíndrico rígido, conforme se mostra na Figura 5a. Uma das extremidades do cabo foi carregada com uma forca normal 2.  lo5, enquanto a outra foi fixada. A Figura 5b mostra a perda de tras50 ao longo do desenvolvimento do cabo, para coeficientes de atrito entre 0,01 e 0,lO. Os valores determinados pelo programa CABLE coincidem com os valores analíticos, dados por N (P) = ~ e p p ,  onde T é a tracáo aplicada A extremidade do cabo e ,O o seu desenvolvimento angular (isto é, Ptotal = 47r). O exemplo seguinte considera o cabo principal de uma ponte pensil com um váo de 80 m entre pilares. O cabo, com E A  = 2 . lo9, é fixado ao solo e escorrega pelo topo dos pilares, que se admite sejam rígidos. Por simetria, modela-se a metade da estrutura, conforme a Figura 6, que mostra a geometria inicial (retilínea) e a geometria de equilíbrio do cabo sob a acá0 do peso próprio (Pp = 300/nó). A Figura 7, por sua vez, mostra a deformacáo provocada por uma sobrecarga P, = 104/nó. No caso de escorregamento sem atrito, ocorre um incremento de 0,274m na flexa do váo central do cabo, em relaqáo A geometria de equilíbrio sob a acá0 do peso próprio. A Figura 8 mostra como este incremento se reduz, A medida que se consideram coeficientes de atrito crescentes, até um valor assintótico de cerca de O,  2m. Mostra-se ainda o crescimento da tracáo no cabo, em correspondencia ao apoio superior, até o valor assintótico de 0,2337 - lo6, igual ao valor que se obtém ao se considerar o cabo solidário ao pilar. FORMULACÁO DE UM E. F.  DE CABO INCORPORANDO O EFEITO DO ATRITO 5 73 Necessariamente, a trae50 na base do estaio (isto é, o ponto de fixaciio do cabo ao solo), tem comportamento inverso, tendendo a zero a medida que p cresce. Trapo no cabo com p=l%. 2% 4%. 8% e 10% eooo O 2 1 8 (0  12 (4 18 Desenvolvimento do cabo (n o do elemento) Figura 5. (a) Cabo enrolado a um pilar cilíndrico; (b) Tracáo no cabo para diversos coeficientes de atrito Figura 6. Cabo de ponte pensil. Geometria inicial (retilínea) e de equilíbrio sob a a550 do peso próprio Figura 7. Cabo de ponte pensil. Geometria deformada sob a ac5o da sobrecarga Como um último exemplo, sobre a configurac50 de equilíbrio do cabo sujeito ao peso próprio, extende-se um cabo secundário, ao qual se imp6e uma tracáo de 2 . lo5, Figura 9 ao mesmo tempo em que ambos os cabos siio carregados com P, = 104/nó. Considera-se ainda que o pilar seja flexível, com k:ilaT = lo5. A Figura 10 mostra a 574 R.M. PAULETTI E P.M. PIMENTA configurac5.o de equilíbrio obtida permitindo-se o escorregamento entre os cabos. O máximo deslocamento se dá correspondencia ao ponto de cruzamento. No caso ideal, este ponto desloca-se de 3,06m, enquanto que para p = 0 , l  o deslocamento cai para 3, OOm. Tnglo no abo. no ipoio aipnor 'n.Q(' - . 2.31ücMó 0.1 I 10 adtcicnte & Nilo ~ l i w  (p) Figura 8. Variacáo do deslocamento do nó central e da tracáo no cabo, em funcao do coeficiente de atrito Figura 9. Arranjo espacial de elementos de cabo As discrepancias de configuracáo para valores de usuais de p sáo visualmente imperceptíveis. Tal náo é o caso porém, quando se despreza o escorregamento (isto é, cabos solidários), conforme se pode ver na configuracáo mostrada na Figura 11, substancialmente diferente da anterior. Neste caso, o máximo deslocamento encontrado foi de 1, 175m, ainda em correspondencia ao ponto de cruzamento. FORMULACAO DE UM E. F. DE CABO INCORPORANDO O EFEITO DO ATRITO 575 Figura 10. Geometria deformada considerando o escorregamento dos cabos Figura 11. Geometria deformada impedindo o escorregamento dos cabos 1. F. Aboul-Ella, "New iterative analysis of cable stayed structures". Comp. Struct., Vol. 40, pp. 549-554, (1991) . 2. J.M. Adrien, R. Causse, X. Rodet, "Sound synthesis by physical models; application to strings", Proceedings of the 1987 ICMC, Univ. of Illinois, (1987). 3. S. Ahmad and T. K. Datta, "Nonlinear response analysis of marine risers", Comp. Struct., Vol. 43, pp. 281-295, (1992). 5 76 R.M. PAULETTI E P.M. PIMENTA 4. M. Aufaure, "A finite element of cable passing through a pulley ", Comp. Struct., Vol. 46, pp. 807-812, (1993). 5. H. Bufler, "Conservative systems, potential operators and tangent stiffness: reconsideration and generalization", Archive of Applied Mechanics, Vol. 63, pp 1-24, (1993). 6. N. A. 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Formulaçao de um elemento finito de cabo incorporando o efeito do atrito (Elemento de cabos escorregando)

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