We define the type of a periodic orbit of a graph map. We consider the class of ‘train-track’
representatives, that is, those graph maps which minimize the topological entropy of the
topological representatives of a given free group endomorphism. We prove that each type of
periodic orbit realized by an efficient representative is also realised by any representative
of the same free group endomorphism. Moreover, the number of periodic orbits of a given
type is minimized by the efficient representatives

Alseda Soler, Lluís

Gauteuro, François

Guaschi, J.

Los, J.

Mañosas Capellades, Francesc

Mumbrú i Rodriguez, Pere

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C. R. Acad. Sci. Paris, t. ???, Se´rie I, p. 1–4, 2001 - PXMA????.TEX -Syste`mes dynamiques (22)/Dynamical Systems (22)Types d’orbites et dynamique minimale pour lesapplications continues de graphesLl. Alseda`(1), F. Gautero(2), J. Guaschi(3), J. Los(4), F. Man˜osas(1) et P. Mumbru´(5)(1) Universitat Auto`noma de Barcelona, Departament de Matema`tiques, Edifici Cc, 08913 Cerdanyola del Valle`s,Barcelona, Espagne(2) Universite´ Lille I, Laboratoire AGAT (Baˆt. M2), 59655 Villeneuve d’Ascq, Franceadresse actuelle : Universite´ de Gene`ve, Section de Mathe´matiques, CP 240, 2-4 rue du Lie`vre, 1211 Gene`ve,Suisse(3) Universite´ Toulouse III, Laboratoire de Mathe´matiques E. Picard, 118 route de Narbonne, 31062 ToulouseCedex 4, France(4) Universite´ Aix-Marseille I, Centre de Mathe´matiques et Informatique, 39 rue F. Joliot Curie, 13453 MarseilleCedex 13, France(5) Universitat de Barcelona, Departament de Matema`tica Aplicada i Ana`lisi, Gran Via 585, 08071 Barcelona,EspagneCourriel : alseda@mat.uab.es, Francois.Gautero@math.unige.ch, guaschi@picard.ups-tlse.fr,los@cmi.univ-mrs.fr, manyosas@mat.uab.es, mumbru@mat.ub.es(Rec¸u le jour mois anne´e, accepte´ apre`s re´vision le jour mois anne´e)Re´sume´. On de´finit une notion de type d’orbite pour les applications continues sur les graphes.Parmi elles, on conside`re la classe des repre´sentants efficaces. Ce sont des applicationscontinues de graphe minimisant l’entropie topologique parmi l’ensemble des paires (f,G)repre´sentant le meˆme endomorphisme de groupe libre. On de´montre que tout type d’or-bite pe´riodique pre´sent dans un repre´sentant efficace existe dans tout autre repre´sentant decet endomorphisme. De plus, le nombre d’orbites pe´riodiques d’un type donne´ dans unrepre´sentant efficace est minimal. c© 2001 Acade´mie des sciences/E´ditions scientifiques etme´dicales Elsevier SASOrbit types and minimal dynamics for graph mapsAbstract. We define the type of a periodic orbit of a graph map. We consider the class of ‘train-track’representatives, that is, those graph maps which minimize the topological entropy of thetopological representatives of a given free group endomorphism. We prove that each type ofperiodic orbit realized by an efficient representative is also realised by any representativeof the same free group endomorphism. Moreover, the number of periodic orbits of a giventype is minimized by the efficient representatives. c© 2001 Acade´mie des sciences/E´ditionsscientifiques et me´dicales Elsevier SASNote pre´sente´e par Pre´nom NOMS0764-4442(00)0????-?/FLAc© 2001 Acade´mie des sciences/E´ditions scientifiques et me´dicales Elsevier SAS. Tous droits re´serve´s. 1Ll. Alseda` et al1. IntroductionDans l’esprit du the´ore`me de Sharkovskii [14] pour les applications continues de l’intervalle, et sui-vant une ide´e de Bowen [6], Boyland [7] a introduit la notion de type d’une orbite pe´riodique pour leshome´omorphismes de surfaces compactes. Le type d’une orbite pe´riodique d’une application continue del’intervalle e´tant simplement sa pe´riode (dans la version Sharkovskii) ou la permutation induite sur les pointsde l’intervalle, tandis que le type d’une orbite pe´riodique d’un home´omorphisme de surface compacte est laclasse de conjugaison de sa classe d’isotopie relative aux points de l’orbite. Dans un cas comme dans l’autre,il existe des mode`les (applications monotones line´aires par morceaux entre les points de l’orbite pe´riodique,home´omorphismes pseudo-Anosov) dans la classe d’homotopie relative a` une orbite pe´riodique donne´e, quiont la proprie´te´ de ne pre´senter que les types d’orbite ne´cessaires, et aucun autre (voir [2], [3], [5], [7] ou [9]par exemple). C’est-a`-dire que tout type d’orbite pe´riodique (a` un nombre fini pre`s) d’un tel mode`le existedans toute autre application de la classe d’homotopie.L’objectif de cette Note est de ge´ne´raliser la notion de type d’une orbite pe´riodique aux applicationscontinues de graphes, puis de de´montrer que les repre´sentants efficaces, ou ‘train-track’, de [4] ou [13](voir la De´finition 1) satisfont les proprie´te´s ci-dessus. Plus pre´cise´ment, appelons repre´sentant d’un endo-morphisme O du groupe libre Fn toute paire (f,G) ou` G est un graphe avec pi1(G) ∼= Fn et f : G → Gune application continue de G telle que la classe de f# : pi1(G, x)→ pi1(G, f(x)) dans End(Fn)/Inn(Fn)est conjugue´e a` celle de O. Nous montrons que tout type d’orbite pe´riodique (a` un nombre fini pre`s) d’unrepre´sentant efficace deO existe pour tout autre repre´sentant deO. De plus, le nombre d’orbites pe´riodiquesd’un type donne´ est minimal dans les repre´sentants efficaces. Ces re´sultats sont une continuation naturelledes travaux actuels qui concernent d’une part les applications continues des arbres ([1] par exemple), d’autrepart les home´omorphismes de surfaces compactes ([9], [10], [13] par exemple). Nous pre´sentons ici seule-ment une esquisse des re´sultats et preuves, une version comple`te apparaıˆtra dans un article a` venir.2. E´nonce´ du the´ore`meDE´FINITION 1. – ([4, 13]) Un repre´sentant efficace d’un endomorphisme de groupe libre O est unrepre´sentant (ψ,Γ) de O tel que pour toute branche e de Γ :1. Pour tout entier naturel k ≥ 1, la restriction de ψk a` l’inte´rieur de e est localement injective.2. Il existe un entier n ≥ 1 tel que ψn(e) recouvre Γ.Tout endomorphisme (ou meˆme tout automorphisme) de groupe libre n’admet pas ne´cessairement unrepre´sentant efficace. Par contre, c’est vrai pour tout automorphisme irre´ductible de groupe libre (voir [4]).La condition 2 (transitivite´) ci-dessus n’est pas absolument ne´cessaire ; nous l’utilisons pour simplifier lese´nonce´s et les de´monstrations.Si f : G → G est une application continue d’un graphe G, on de´notera par P(f,G) l’ensemble desorbites pe´riodiques de l’application f .DE´FINITION 2. – Soit Σ l’ensemble de tous les triplets (G,P, f), ou` G est un graphe, f : G → G uneapplication continue de G et P ∈ P(f,G).1. On note∼ la relation d’e´quivalence surΣ de´finie par (G,P, f) ∼ (G′, P ′, f ′) s’il existe une e´quivalenced’homotopie r : G→ G′ telle que :1. La restriction r|P : P → P ′ est une bijection de P sur P ′.2. Le diagramme suivant :Gr→ G′f ↓ ↓ f ′Gr→ G′est commutatif, a` homotopie pre`s respectant P ,c’est-a`-dire qu’il existe une homotopie (ht)t∈[0,1] telle que h0 = f′ ◦ r, h1 = r ◦ f et ht|P ≡h0|P .2. On appelle type de l’orbite pe´riodique P la classe d’e´quivalence de (G,P, f) pour la relation ∼.2Types d’orbites pour les applications de graphesTHE´ORE`ME 1. – Soit (ψ,Γ) un repre´sentant efficace d’un endomorphisme de groupe libre O. Ilexiste un sous-ensemble fini S de P(ψ,Γ) et, pour tout repre´sentant (f,G) de O une application injec-tive if,G : P(ψ,Γ)− S → P(f,G) telle que if,G(P ) et P ont meˆme type.3. Strate´gie de la preuveNotons que dans la De´finition 2 ci-dessus, on peut prendre P = ∅, et en particulier on e´crira alors(f,G) ∼ (f ′, G′). Il est important de remarquer que (f,G) ∼ (f ′, G′) est e´quivalent a` ce que (f,G) et(f ′, G′) soient les repre´sentants d’un meˆme endomorphisme de groupe libre (a` conjugaison pre`s).Toujours dans la De´finition 2, si l’on demande seulement que la restriction r|P soit surjective, alors ondira que (G′, P ′, f ′) est une re´duction de (G,P, f), et on notera (G′, P ′, f ′)  (G,P, f). Si r|P n’estpas injective, on note (G′, P ′, f ′) ≺ (G,P, f). Si (G,P, f) n’admet pas de re´duction (G′, P ′, f ′) avec(G′, P ′, f ′) ≺ (G,P, f), alors (G,P, f) est dit irre´ductible.DE´FINITION 3. – ([11]) Soit f : G → G une application continue d’un graphe G. Deux points n-pe´riodiques x et y de f sont dans une meˆme classe de Nielsen s’il existe un chemin c dans G d’extre´mite´sx et y tel que fn(c) est homotope a` c par une homotopie qui fixe les extre´mite´s x et y. Un tel cheminlocalement injectif s’appelle un chemin de Nielsen.Pour la notion d’indice de classe de Nielsen, nous renvoyons le lecteur a` [11] ou [8]. Si x est un pointd’une orbite pe´riodique P de pe´riode n, l’indice de Nielsen de P , de´note´ parN (P ), est l’indice de la classede Nielsen de x pour fn. Cet indice est bien de´fini car les indices des classes de Nielsen de tous les pointsde l’orbite sont e´gaux. De plus, si P et Q sont deux orbites pe´riodiques, alors soit chaque point de P estdans la meˆme classe de Nielsen qu’un point de Q, soit aucun ne l’est. Dans le premier cas on dira que Pet Q sont Nielsen-e´quivalentes. On montre facilement que si P et Q sont Nielsen-e´quivalentes et de meˆmepe´riode, alors elles sont de meˆme type, la re´ciproque e´tant fausse.PROPOSITION 2. – Soient (f,G) ∼ (f ′, G′) deux repre´sentants d’un meˆme endomorphisme de groupelibre. Il existe une application j : {P ∈ P(f,G) | N (P ) 6= 0} → {P ′ ∈ P(f ′, G′) | N (P ′) 6= 0} telleque :1. Pour tout P ∈ P(f,G) avec N (P ) 6= 0, (G′, j(P ), f ′)  (G,P, f).2. Si P,Q ∈ P(f,G) satisfont N (P ) 6= 0, N (Q) 6= 0 et ne sont pas Nielsen-e´quivalentes, alors j(P )et j(Q) ne sont pas Nielsen-e´quivalentes.Cette proposition implique la perpe´tuation des types d’orbites pe´riodiques d’indice de Nielsen non nul(e´ventuellement a` re´duction pre`s) a` travers l’ensemble des repre´sentants d’un endomorphisme de groupelibre.PROPOSITION 3. – Soit (ψ,Γ) un repre´sentant efficace. A` un nombre fini pre`s, tout point pe´riodique deψ est seul dans sa classe de Nielsen, et d’indice non nul.Preuve de la Proposition 3 : On ne conside´rera pas les points pe´riodiques situe´s aux sommets de Γ, iln’y en a qu’un nombre fini. Par de´finition d’un repre´sentant efficace, tous les ite´re´s de l’application ψ sontlocalement injectifs en restriction aux branches de Γ. Si un point pe´riodique distinct d’un sommet est seuldans sa classe de Nielsen, alors son indice est non nul. Conside´rons donc les points pe´riodiques distinctsd’un sommet qui ne sont pas seuls dans leur classe de Nielsen. Comme ψ est transitive, tout chemin deNielsen c pour un ite´re´ quelconque ψk contient au moins un point de non locale injectivite´ de ψk|Int(c). S’ilen contient plus, il admet un sous-chemin qui est indivisible. C’est-a`-dire que ce sous-chemin joint deuxpoints fixes de ψk, et contient un seul point de non locale injectivite´ de ψk|c. Puisque (ψ,Γ), et donc (ψk,Γ),est un repre´sentant efficace, si deux points fixes de ψk sont joints par un chemin de Nielsen indivisible, ilsuit de [4] que leurs indices sont infe´rieurs ou e´gaux a` −1. L’indice de leur classe est donc infe´rieur oue´gal a` −2. Le The´ore`me 1 de [12] assure que le nombre de telles classes est fini. On en de´duit la finitudedu nombre de chemins de Nielsen indivisibles pour l’ensemble de tous les ite´re´s de ψ. Ce qui implique lafinitude des points pe´riodiques qui ne sont pas seuls dans leurs classes de Nielsen, d’ou` la Proposition 3. 3Ll. Alseda` et alCOROLLAIRE 4. – Soit (ψ,Γ) un repre´sentant efficace. A` un nombre fini pre`s, toute orbite pe´riodiquede (ψ,Γ) est de type irre´ductible.Preuve du Corollaire 4 : Si une orbite pe´riodique d’un repre´sentant efficace est de type re´ductible, onprouve que plusieurs points de cette orbite sont dans une meˆme classe de Nielsen. A` un nombre fini pre`s,d’apre`s la Proposition 3, les classes de Nielsen d’un repre´sentant efficace ne contiennent qu’un point. Ceciprouve le corollaire. Preuve du The´ore`me 1 : Soit P une orbite pe´riodique d’un repre´sentant efficace (ψ,Γ). Par le Corollaire 4,si P est choisie en dehors d’un ensemble fini S1 ⊂ P(ψ,Γ), son type est irre´ductible. De plus, par laProposition 3, si P est choisie en dehors d’un ensemble fini S2 ⊂ P(ψ,Γ), son indice de Nielsen est nonnul. Donc, par la Proposition 2, si P est choisie en dehors de S1 ∪ S2 ⊂ P(ψ,Γ), tout autre repre´sentant(f,G) du meˆme endomorphisme de groupe libre a une orbite pe´riodiqueQ du meˆme type que P . On obtientainsi un ensemble fini S = S1 ∪ S2 ⊂ P(ψ,Γ) et une application if,G : P(ψ,Γ)− S → P(f,G) telle quepour tout P ∈ P(ψ,Γ)− S, if,G(P ) a meˆme type que P .Si P est choisie en dehors de l’ensemble fini S2 ⊂ P(ψ,Γ) donne´ par la Proposition 3, alors tout pointde P est seul dans sa classe de Nielsen. Ceci implique que si P ′ est une autre orbite pe´riodique de (ψ,Γ) dumeˆme type que P , alors les classes de Nielsen des points de P ′ sont distinctes de celles des points de P . Or,l’application j : P(ψ,Γ)→ P(f,G) donne´e par la Proposition 2, si P est choisie en dehors de l’ensemblefini S1 ⊂ P(ψ,Γ) donne´e par cette proposition, n’identifie pas des orbites pe´riodiques dont les pointsappartiennent a` des classes de Nielsen diffe´rentes. Donc j(P ′) est une orbite pe´riodique de (f,G) du meˆmetype que P , distincte de j(P ). Ceci prouve l’injectivite´ de l’application if,G : P(ψ,Γ)− S → P(f,G). Remerciements. Cette collaboration a e´te´ soutenue par l’Action Integre´e franco-espagnole no HF 1999-0046, leDGES no PB96-1153, le projet ‘Analyse complexe et dynamique’ dans le cadre de la ‘Communaute´ de Travail desPyre´ne´es’, et le projet PICS ‘Analyse complexe : the´orie des fonctions et dynamique’. Ll. Alseda` et F. Man˜osas ontaussi rec¸u le soutien du CONACIT no 1999SGR-00349, et P. Mumbru´ celui du CIRIT no 2000SGR-00027. Franc¸oisGautero remercie le Centre de Recerca Matema`tica et l’Universitat Auto`noma de Barcelona pour leur accueil pendantle de´veloppement de ce travail, accueil soutenu par une Bourse Europe´enne Marie Curie.Re´fe´rences bibliographiques[1] Ll. Alseda`, J. Guaschi, J. Los, F. Man˜osas et P. Mumbru´ Canonical representatives for patterns of tree maps,Topology 36, 1123–1153 (1997).[2] Ll. Alseda`, J. Llibre et M. Misiurewicz Combinatorial dynamics and entropy in dimension one, World Scientific,Advanced series in non linear dynamics vol. 5 (1993).[3] D. Asimov et J. Franks Unremovable closed orbits, pre´-publication. (Ceci est une version re´vise´e d’un article quiest paru dans Springer Lecture Notes in Mathematics 1007, Springer-Verlag, Berlin, 1983).[4] M. Bestvina et M. Handel Train-tracks and automorphisms of free groups, Annals of Math. 135, 1–51 (1992).[5] J. Birman et M. Kidwell Fixed points of pseudo-Anosov diffeomorphisms of surfaces, Advances in Math. 46,217–220 (1982).[6] R. Bowen, Entropy and the fundamental group, Springer Lecture Notes in Mathematics 668, Springer-Verlag,Berlin, 21–29 (1978).[7] P. Boyland Topological methods in surface dynamics, Topology and its Applications 58, 223–298 (1994).[8] R. F. Brown The Lefschetz fixed point theorem, Scott-Foresman, Chicago (1971).[9] T. Hall Unremovable periodic orbits of homeomorphisms, Math. Proc. Phil. Soc. 110, 523–531 (1991).[10] M. Handel The forcing partial order on the three times punctured disk, Ergodic Theory and Dynamical Systems17, 593–610 (1997).[11] B. Jiang Lectures on Nielsen fixed point theory, Contemporary Math. 14 (1983).[12] B. Jiang Bounds for fixed points on surfaces, Mathematische Annalen 311, 467–479 (1998).[13] J. Los On the forcing relation for surface homeomorphisms, Publ. Math. IHES 85, 5–61 (1997).[14] A. N. Sharkovskii On the coexistence of cycles of a continuous map of a line into itself, Ukr. Math. Z. 16, 61–71(1964).4

Types d'orbites et dynamique minimale pour les applicationes continues de graphes

We define the type of a periodic orbit of a graph map. We consider the class of ‘train-track’

representatives, that is, those graph maps which minimize the topological entropy of the

topological representatives of a given free group endomorphism. We prove that each type of

periodic orbit realized by an efficient representative is also realised by any representative

of the same free group endomorphism. Moreover, the number of periodic orbits of a given

type is minimized by the efficient representatives

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