将矩形和三角形bzIEr曲面的基于直线的细分推广到基于曲线的细分.运用多项式曲线细分矩形和三角形bzIEr曲面,并以参数变换和多项式开花为工具,计算出细分后每个子曲面片的bzIEr控制顶点.曲线细分使细分方式的选择更灵活,细分后的子曲面片及其边界的形状更丰富多彩,而且该方法能推广到有理情况.The subdivision of rectangular and triangular Bézier surfaces is generalized from with line to with polynomial curve in domain.By using of parameter transformation and blossoming of polynomial,each subpatch's Bézier control points are evaluated.The subdivision method based on curve makes more choices for the style of subdivision and the shape of the subpatches and their sides.This method is also working for rational cases.国家自然科学基金(10571145);安徽大学数学科学学院创新团队项

曾晓明

杨联强

Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics

Xiamen University Institutional Repository

第 21 卷 第 4 期2009 年 4 月计算机辅助设计与图形学学报JO U RN A L O F COM PU T ER AID ED D ESIG N & COM P U T ER G RA PH ICSVo l. 21, N o. 4A pr. , 2009收稿日期: 2008- 06- 13;修回日期: 2008- 10- 10.基金项目:国家自然科学基金( 10571145) ;安徽大学数学科学学院创新团队项目.杨联强,男, 1975 年生,博士研究生,讲师,主要研究方向为 CAGD. 曾晓明,男, 1955年生,博士,教授,博士生导师,主要研究方向为逼近论、CAGD.B zier曲面的广义细分杨联强1, 2)曾晓明2)1) (安徽大学数学科学学院 合肥 230039)2) (厦门大学数学科学学院 厦门 361005)( ylqylq@ yah oo. cn)摘 要 将矩形和三角形 B zier 曲面的基于直线的细分推广到基于曲线的细分.运用多项式曲线细分矩形和三角形 B zier 曲面,并以参数变换和多项式开花为工具, 计算出细分后每个子曲面片的 B zier 控制顶点. 曲线细分使细分方式的选择更灵活, 细分后的子曲面片及其边界的形状更丰富多彩,而且该方法能推广到有理情况.关键词 B zier 曲面;细分; 参数变换;开花中图法分类号 T P391. 7Generalized Subdivision of B zier SurfacesYang Lianqiang 1, 2) Zeng Xiaoming2)1) ( School of Mathemati cal S ci ence s, Anhui Univ ersi ty , H ef e i 230039)2) ( School of Mathemati cal S ci ence s, X iamen Univ er si t y , X iamen 361005)Abstract T he subdivision o f rectang ular and triangular B zier surfaces is g eneralized f rom w ith lineto w ith po lynomial curve in domain. By using o f parameter t ransformat ion and blossoming ofpo lynomial, each subpatch s B zier co nt ro l points are evaluated. The subdivision method based oncurve m akes mor e choices for the sty le of subdiv ision and the shape of the subpatches and their sides.This metho d is also w or king for rat ional cases.Key words B zier surfaces; subdiv ision; parameter tr ansform ation; blo ssoming在 CAD& CG中, B zier 曲面占据着重要的基础性地位,有关它的研究内容已相当丰富 [ 1 2] . 曲面的细分在图形显示、计算、设计等方面有着重要的理论和实际应用价值, 有关 B zier 曲面的细分也已有很多有意义的成果. 如按对定义域的细分, 将矩形B zier曲面细分成多个子矩形片[ 3 4]、三角片 [ 3, 5]、子梯形片[ 5]等;将三角 B zier 曲面片细分成多个子三角片[ 3 4]、矩形片[ 6]或者它们的混合[ 3, 7]等.这些细分方法都是用直线细分定义域, 然后计算定义在相应的子区域上的子曲面片的 B zier 形式. 这种用直线进行的细分和裁剪定义域的问题可以用统一的方法解决[ 8] .显然,基于直线的细分对细分方式的选择、子曲面片及其边界的形状等都有着很大的约束. 更一般的基于曲线的细分, 将极大地丰富细分方式的选择,也会使细分后子曲面片及其边界的形状更加丰富.基于这种思想,本文以参数变换和多项式开花为工具,提出基于曲线的细分方法,并给出计算细分后子曲面片的 B zier控制顶点的具体步骤.1 曲线细分后子区域的重新参数化由于一般曲线的形状变化非常复杂, 甚至可能有尖点、自交、螺旋等现象,所以基于任意曲线的细分是一项非常复杂的工作. 本文仅限于讨论在参数域上能表达成显式 v = f ( u)的这类曲线(对能表达成 u= f ( v)的多项式曲线可以依此类推) , 其中 f 是多项式函数.设有矩形B zier 曲面 R( u, v)和三角 B zier 曲面T( u, v ) ,分别定义在参数平面 u v= 2 的子矩形域 D 1( u, v ) = { ( u, v ) | 0 u, v 1}和子三角域D 2( u, v) = { ( u, v ) | 0 u, v 1, 0 u+ v 1}上,曲线 C: v= f ( u)是 2上的一条多项式曲线, 且曲线 C将D 1( u, v)和 D 2( u, v)细分成多个(2个或以上)子区域. 由于曲线 C 具有显式形式,所以每个子区域总属于或能分解成如图 1~ 3所示的几种类型.1) 曲边四边形图 1 曲边四边形2) 曲边三边形图 2 曲边三边形3) 曲边两边形图 3 曲边两边形图 4 多项式曲线细分参数域例 1. 如图 4所示, D 1( u, v)和 D 2( u, v )被多项式曲线细分成多个相应的子区域.记上述任意一种子区域为 D( u, v) , 并统一地把围成 D( u, v )的上部曲线记为 v= f ( u) ,下部曲线为 v= g( u) , u  [ a, b] .引入参数变换 : D( s, t ) !D(u, v ) ,u = u( s, t ) = L ( s)v = v( s, t) = f ( L ( s) ) t + g( L ( s) ) (1- t)(1)其中, L ( s) = (1- s) a+ sb, D( s, t )= [ 0, 1] [ 0, 1] .定理 1. 映射式( 1)将曲边四边形、曲边三边形和曲边两边形区域变换到矩形域 D( s, t )= [ 0, 1][ 0, 1]上,并且对曲边四边形区域, 该变换是正则参数变换;对曲边三边形区域, 该变换有奇异点集 s=0或 s= 1; 对曲边两边形, 该变换有奇异点集 s= 0和 s= 1.证明. 因为 f ( u) , g( u)都是多项式函数, 易知是连续可微映射,且将边界映向边界,区域内部映向区域内部,所以该参数变换将上曲边多边形区域变换到矩形区域 D( s, t)= [ 0, 1] [ 0, 1] . 又因为J = ( u, v) ( s, t)=b- a 0 v s f ( L ( s) ) - g( L ( s) )=( b- a) ( f ( L ( s) ) - g( L ( s) ) ) ,1) 对图 1所示曲边四边形, 由于 f ( L ( s) ) >g( L( s) ) , s  [ 0, 1] , 所以 J> 0.因此 是正则参数变换.2) 对图 2 a, 2 c所示的曲边三边形, 由于f ( L ( s) ) > g ( L ( s ) ) , s  [ 0, 1) , f ( L ( 1 ) ) =g( L( 1) ) . 此时, 边界 s= 1 是奇异点; 对图 2 b, 2 d所示的曲边三边形,由于 f ( L ( s) ) > g ( L ( s) ) , s  (0, 1] , f ( L ( 0) ) = g ( L (0) ) . 因此边界 s= 0 是奇异点.3) 对图 3所示的曲边两边形, 由于 f ( L ( s) )>g( L( s) ) , s  (0, 1) , f ( L (0) )= g( L (0) ) , f ( L (1) )=g( L( 1) ) ; 因此边界 s= 0和 s= 1是奇异点. 证毕.通过上述参数变换,使得矩形域和三角域经曲线细分后形成的曲边四边形、三边形和两边形区域都重新参数化到矩形域上, 这样就可以借助开花( Blossom ing)这一工具, 方便地求取定义在每个子区域上的子曲面片的 B zier 控制顶点.2 多项式在矩形域上的 Blossoming及对偶泛函性质Blossom ing 已是研究样条理论的基本工具.B zier 和 B spline曲线曲面的几乎所有性质和算法550 计算机辅助设计与图形学学报 2009 年都可以统一在 Blossom ing 这一工具下进行研究, 深入应用 Blosso ming 原则已成样条研究领域的共识[ 1] , 多种关于曲线曲面几何造型方面的专著都已将理论框架直接建立在 Blosso ming 原则之上 [ 2, 4] .关于 Blossom ing 的详细原始文献请参考文献[ 9] .本文要运用到关于 Blossom ing 的 2条重要结论, 这里直接引用已有的 2个定理[ 4]. 定理 2 是如何构造二元多项式在矩形域上的 Blossom ing ;定理 3介绍Blo sso ming 的 对 偶 泛 函 性 质, 即 如 何 运 用Blo sso ming 计算多项式的 B zier 系数( B zier 控制顶点) .定理 2. 二元多项式在矩形域上 Blo sso ming 的生成.图 5 矩形 B zier 曲面的曲线细分对二元双( m, n)次多项式P ( s, t) = ∀( i, j )cij sitj, 0 i m, 0 j n ( 2)其在矩形域上的 Blo sso ming 为b( s1 , #, sm; t1 , #, tn) =∀( i, j )cij bij ( s1 , #, sm ; t1 , #, tn) ( 3)其中bij ( s1 , #, sm ; t1 , #, t n) =∀{1,2, #,i} !Ms 1 s 2 #s imi∀{ 1,  2, #,  j} !Nt  1 t 2 #t jnj,这里 M = {1, 2, 3, #, m } , N = {1, 2, 3, #, n} .定理 3. Blossom ing 的对偶泛函性质.对定义在矩形域[ a, b] [ c, d]上的二元双( m,n)次多项式曲面片式( 2) , 该曲面片的 B zier 系数P kl为Pkl = b( a, #, am- k, b, #, bk; c, #, cn- l, d , #, dl) (4)3 算法及实例本节以第 1, 2节提供的参数变换和 Blossoming为工具,给出解决本文提出问题的算法步骤.问题 1. 给定定义在 D 1( u, v)上的矩形 B zier曲面 R( u, v)或定义在 D 2( u, v)上的三角 B zier 曲面 T ( u, v) , uv 平面上多项式曲线C : v= f ( u)细分D 1( u, v)或 D 2 ( u, v)成多个形如图 1, 2, 3 的子区域,设 D(u, v)是其中任意一个子区域, 求定义在该子区域上的子曲面片的 B zier控制顶点.算法 1. B zier曲面细分算法Step1. 运用参数变换式(1)将 D( u, v )重新参数化到矩形域 D( s, t) .Step2. 函数复合得 P ( s , t) = R( u ( s, t) , v ( s, t) ) (或=T ( u( s, t) , v( s, t) ) ) .Step3. 运用式( 3)生成 P ( s, t) 的 Blo sso ming b( s1 , #,sm ; t1, #, tn ) .Step4. 运用式(4)生成 P ( s, t)的 B zier控制顶点Pk l = b( 0, #, 0m- k, 1, #, 1k; 0, #, 0n- l, 1, #, 1l) .例 2. 给定双(2,1)次矩形 B zier曲面 R( u, v)={2u, 2v, 2u- 2u2} , 如图 5 a所示,其定义域[ 0, 1]5514 期 杨联强等: B zier 曲面的广义细分[ 0, 1]分别被图 5 b 所示曲线 v =12+ 3u- 9u2+6u3 ,图 5 c 所示曲线 v = u3 , 图 5 d 所示曲线 v =- 3u2+ 3u, u  [ 0, 1]细分. 曲面相应地被细分成图 5 e, 5 f, 5 g 所示图形.每张子曲面片都是双( 3, 1)次 B zier 曲面, 相应的 B zier 控制顶点分别如下,且均按 { P00 , P10 , P20 , P30 , P01 , P 11 , P 21 , P 31 }顺序排列:图 5 e黑色: ( {0, 0, 0} , {2 3, 0, 2 3} , {4 3,0, 2 3} , {2, 0, 0} , { 0, 1, 0} , { 2 3, 3, 2 3} , {4 3,- 1, 2 3} , {2, 1, 0} ) ;图 5 e白色: ( {0, 1, 0} , {2 3, 3, 2 3} , {4 3,- 1, 2 3} , {2, 1, 0} , { 0, 2, 0} , { 2 3, 2, 2 3} ,{4 3, 2, 2 3} , { 2, 2, 0} ) ;图 5 f黑色: ( {0, 0, 0} , {2 3, 0, 2 3} , {4 3,0, 2 3} , {2, 0, 0} , { 0, 0, 0} , { 2 3, 0, 2 3} , {4 3,0, 2 3} , {2, 2, 0} ) ;图 5 f白色: ( {0, 0, 0} , {2 3, 0, 2 3} , {4 3,0, 2 3} , {2, 2, 0} , {0, 2, 0} , {2 3, 2, 2 3} , {4 3,2, 2 3} , {2, 2, 0} ) ;图 5 g 黑色: ( {0, 0, 0} , {2 3, 0, 2 3} , { 4 3,0, 2 3} , {2, 0, 0} , {0, 0, 0} , {2 3, 0, 2 3} , {4 3,10 3, 2 3} , {2, 0, 0} ) ;图 5 g 白色: ( {0, 0, 0} , {2 3, 0, 2 3} , { 4 3,10 3, 2 3} , {2, 0, 0} , { 0, 2, 0} , { 2 3, 2, 2 3} ,{4 3, 2, 2 3} , {2, 2, 0} ) .例 3. 给定图 6 a 所示的 2 次三角 B zier 曲面T ( u, v)= {3- 4u+ u2 - 4v + 2uv + v 2 , 3- 6u +3u2- 4v + 6uv + 5v 2 , - 4 + 8u- 7u2+ 8v- 8uv-6v2} . 定义域被图 6 b所示曲线 v=14(1+ 2u- 3u2)细分,曲面相应地被细分成如图 6 c 所示. 2张子曲面片都是双(4, 2)次 B zier 曲面, 相应的 B zier 控制顶点分别如下, 且均按{ P 00 , P10 , P20 , P 30 , P40 ,P 01 , P 11 , P 21 , P 31 , P41 , P02 , P12 , P22 , P32 , P 42 }顺序排列:图 6 三角 B zier 曲面的曲线细分图 6 c黑色: ( {3, 3, - 4} , {2, 3 2, - 2} , {7 6,1 2, - 7 6} , { 1 2, 0, - 3 2} , { 0, 0, - 3} , { 5 2,5 2, - 3} , {21 16, 15 16, - 3 4} , {5 8, 3 8, - 1 2} ,{1 4, 1 4, - 3 2} , { 0, 0, - 3} , { 33 16, 37 16,- 19 8} , { 3 4, 1, - 1 4} , {1 4, 13 12, - 5 6} ,{0, 1 2, - 3 2} , {0, 0, - 3} ) ;图 6 c 白色: ( { 33 16, 37 16, - 19 8} , { 3 4,1, - 1 4} , {1 4, 13 12, - 5 6} , { 0, 1 2, - 3 2} ,{0, 0, - 3} , {3 4, 7 4, - 1 2} , {3 8, 7 4, - 5 8} ,{1 8, 29 24, - 5 6} , {0, 1 2, - 3 2} , { 0, 0, - 3} ,{0, 4, - 2} , { 0, 5 2, - 1} , {0, 4 3, - 5 6} , { 0,1 2, - 3 2} , {0, 0, - 3} ) .4 结 论本文以参数变换和 Blossom ing 为工具, 将B zier 曲面的直线细分推广到更一般的曲线细分,增加了细分方式的选择, 也使得细分后的子曲面片及其边界的形状更多样, 并且能方便地求出每个子曲面片的 B zier控制顶点.借助文献[ 10]中介绍的Grassmann 坐标, 本文方法很容易推广到对有理B zier 曲面的曲线细分, 而且细分曲线可以是有理曲线.另外, 本文中将细分后的每个子曲面片都以矩形 B zier 曲面片的形式表示出来. 实际上, 有的细分后的子曲面片本质上是三角 B zier 曲面片(例如图 5 f , 5 g 的黑色部分, 图 6c) ,在需要把它们表示成三角 B zier曲面片的情况下,可以借助文献[ 11]的方法.参 考 文 献[ 1] Farin G. Curves and su rfaces in computer aided g eometricdes ign [ M ] . Beijing: Science Press, 2006 ( in C hinese)552 计算机辅助设计与图形学学报 2009 年( Farin G. CAGD曲线与曲面[ M ] . 李双喜译. 北京:科学出版社, 2006)[ 2] Gallier J . Curves and surfaces in geomet ric m od eling: theoryand algorithms [ M ] . San Fran cisco: M organ Kau fmann,2000[ 3] Feng J Q, Peng Q S . Fun ct ional com posit ions via sh ift ingoperators for B zier patch es and th eir applicat ions [ J] .J ournal of Softw are, 1999, 10( 12) : 1316 1321[ 4] Goldman R. Pyram id alg orith ms: a dynam ic programmingapproach to curves and surfaces for geomet ric m odeling [ M ] .Beijing: Pu blish ing Hous e of Elect ronics Indu st ry, 2004 ( inC hines e)( Goldman R . 金字塔算法 ∃ ∃ ∃ 曲线曲面几何模型的动态编程处理[ M ] .吴宗敏,刘剑平,曹 沅,等译. 北京: 电子工业出版社, 2004)[ 5] H u S M , Wang G Z, Jin T J . Gener aliz ed sub divi sion ofB zier su rfaces [ J] . Graphical M odels and Image Processing,1996, 58( 3) : 218 222[ 6] H u S M . 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Generalized Subdivision of Bézier Surfaces

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