引进一类修正Q-PHIllIPS算子,并研究该算子列的一些逼近性质.得到算子列的一个kOrOVkIn型收敛定理,给出了算子列收敛速度的估计和一个VOrOnOVSkAJA型结果.In this paper,a kind of modified q- Phillips operators is introduced,some approximate properties of the operators are studied.A convergence theorem of Korovkin type is established.Also,an estimate for the rate of convergence and a Voronovskaja- type result are given.国家自然科学基金资助项目(61170324); 福建省自然科学基金资助项目(2014J01021); 福建省教育厅科技资助项目(2012JA12324

任美英

曾亮

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书第 43 卷 第 1 期2015 年 2 月福州大学学报( 自然科学版)Journal of Fuzhou University( Natural Science Edition)Vol． 43 No． 1Feb． 2015DOI: 10． 7631 / issn． 1000 － 2243． 2015． 01． 0016 文章编号: 1000 － 2243( 2015) 01 － 0016 － 05修正 q － Phillips 算子的逼近性质任美英1，曾 亮2( 1． 武夷学院数学与计算机学院，福建 武夷山 354300; 2． 厦门大学数学科学学院，福建 厦门 361005)摘要: 引进一类修正 q － Phillips 算子，并研究该算子列的一些逼近性质． 得到算子列的一个 Korovkin 型收敛定理，给出了算子列收敛速度的估计和一个 Voronovskaja 型结果．关键词: q － Phillips 算子; Korovich 型定理; Voronovskaja 型结果; 收敛性; q － 积分中图分类号: O． 174． 41 文献标识码: AApproximation properties of modified q － Phillips operatorsREN Meiying1，ZENG Liang2( 1． School of Mathematics and Computer Science，Wuyi University，Wuyishan，Fujian 354300，China;2． College of Mathematical Sciences，Xiamen University，Xiaomen，Fujian 361005，China)Abstract: In this paper，a kind of modified q － Phillips operators is introduced，some approximateproperties of the operators are studied． A convergence theorem of Korovkin type is established． Also，an estimate for the rate of convergence and a Voronovskaja － type result are given．Keywords: q － Phillips operators; Korovkin type theorem; Voronovskaja type result; convergence;q － integral0 引言自 1997 年 Phillips［1］提出并研究 q － Bernstein 算子以来，q － 微积分在逼近论中的应用成为了一个研究热点，很多逼近论方向的专家学者致力于该领域的研究，获得了许多很好的结果，如文献［2 － 6］． 2011年，Yüksel［7］研究了 q － Phillips 算子的逼近性质． 提出修正的 q － Phillips 算子，并研究修正 q － Phillips 算子的逼近性质．首先，引入 q － 整数和 q － 微积分的若干概念，这里所述的概念详细可见文献［8 － 12］． 对任意固定的实数 q ＞ 0 和非负整数 k，q － 整数和 q － 阶乘分别定义为:［k］q =1 － qk1 － q ( q≠ 1)k ( q = 1{)，［k］q ! =［k］q［k － 1］q…［1］q ( k≥ 1)1 ( k = 0{ )对非负整数 n，k，n≥ k，q － 二项式系数定义为n[ ]k q =［n］q !［k］q! ［n － k］q !．两个 q － 模拟指数函数分别定义为:eq ( x) = ∑∞n = 0xn［n］q != 1( 1 － ( 1 － q) x) ∞q( x ＜11 － q， q ＜ 1)Eq ( x) = ∑∞n = 0qn( n－1) /2 xn［n］q != ( 1 + ( 1 － q) x) ∞q ( q ＜ 1)收稿日期: 2012 － 10 － 11通讯作者: 任美英( 1965 － ) ，教授，主要从事函数逼近论研究，npmeiyingr@ 163． com基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 61170324) ; 福建省自然科学基金资助项目( 2014J01021) ; 福建省教育厅科技资助项目( 2012JA12324)第 1 期 任美英，等: 修正 q － Phillips 算子的逼近性质http: / /xbzrb． fzu． edu． cnq － Jackson 积分和 q － 广义积分分别定义为:∫a0f( t) dq ( t) = a( 1 － q)∑∞n = 0f( aqn ) qn ( a ＞ 0) ，∫∞ /A0f( t) dq ( t) = ( 1 － q) ∑∞n = －∞f qn( )AqnA ( A ＞ 0)假设级数绝对收敛． 对 t ＞ 0，q － Gamma 函数定义为:Γq ( s) = K( A，s) ∫∞ /A( 1－q)0ts－1 eq ( － t) dq ( t)其中: K( A，s) = As1 + A( 1 +1A )sq ( 1 + A)1－sq ． 特别地，对s∈ N，K( A，s) = qs( s－1) /2，K( A，0) = 1，且Γq ( s + 1) =［s］qΓq ( s) ，Γq ( 1) = 1．1 算子的构造设 f∈ C［0，∞ ) ，q∈ ( 0，1) ，x∈［0，∞ ) ，n∈ N，文献［7］定义了如下 q － Phillips 算子:P qn ( f; x) = ［n］q∑∞k = 1pn，k ( x，q) ∫∞ /A( 1－q)0qk( k－1) pn，k－1 ( t，q) f( t) dq ( t) + eq ( － ［n］qx) f( 0) ( 1)其中: pn，k ( x，q) =( ［n］qx)k［k］q !eq ( － ［n］qx) ( 2)可以计算得到算子 P qn ( f; x) 的如下各阶矩量( 见文献［7］) ．引理 1［7］ 对式( 1) 给出的算子 P qn ( f; x) ，让 em ( t) = tm，m = 0，1，2，3，4，则( Ⅰ) P qn ( e0 ; x) = 1; ( Ⅱ) Pqn ( e1 ; x) =xq ; ( Ⅲ) Pqn ( e2 ; x) =x2q4+［2］qq3［n］qx;( Ⅳ) P qn ( e3 ; x) =x3q9+［2］qq + ［4］qq8［n］qx2 +［2］q［3］qq6［n］2qx;( Ⅴ) Pqn ( e4 ; x) =x4q16+［2］qq2 + ［4］qq + ［6］qq15［n］qx3 +［2］q［3］qq2 + ［2］q［5］qq + ［4］q［5］qq13［n］2qx2+［2］q［3］q［4］qq10［n］3qx．由引理 1 知，算子 P qn ( f; x) 只保持常数． 为了提高算子列{ Pqn ( f; x) } 的收敛速度，可以将它进行修正，使得修正后的算子能保持线性函数．设 f∈ C［0，∞ ) ，q∈ ( 0，1) ，x∈［0，∞ ) ，n∈ N，定义修正的 q － Phillips 算子如下:槇Pqn ( f; x) = ［n］q∑∞k = 1pn，k ( qx，q) ∫∞ /A( 1－q)0qk( k－1) pn，k－1 ( t，q) f( t) dq ( t) + eq ( － q［n］qx) f( 0) ( 3)其中: pn，k ( x，q) 由( 2) 式给出．引理 2 对( 3) 式定义的算子 槇Pqn ( f; x) ，让 em ( t) = tm，m = 0，1，2，3，4，则( Ⅰ) 槇Pqn ( e0 ; x) = 1; ( Ⅱ) 槇Pqn ( e1 ; x) = x; ( Ⅲ) 槇Pqn ( e2 ; x) =x2q2+［2］qq2［n］qx;( Ⅳ) 槇Pqn ( e3 ; x) =x3q6+［2］qq + ［4］qq6［n］qx2 +［2］q［3］qq5［n］2qx;( Ⅴ) 槇Pqn ( e4 ; x) =x4q12+［2］qq2 + ［4］qq + ［6］qq12［n］qx3 +［2］q［3］qq2 + ［2］q［5］qq + ［4］q［5］qq11［n］2qx2+［2］q［3］q［4］qq9［n］3qx．证明 比较( 1) 、( 3) 式给出的定义知，槇Pqn ( f; x) = Pqn ( f; qx) ，因此由引理 1 易得所述的结果．引理 3 设序列{ qn} 满足 qn ∈ ( 0，1) ，limn→∞ qn = 1 且limn→∞ qnn = c( c 是常数) ，则对x∈［0，∞ ) ，有( Ⅰ) limn→∞［n］qn槇Pqnn ( ( t － x)2 ; x) = 2x［( 1 － c) x + 1］;·71·福州大学学报( 自然科学版) 第 43 卷http: / /xbzrb． fzu． edu． cn( Ⅱ) limn→∞［n］2qn槇Pqnn ( ( t － x)4 ; x) = 12x2 + 28( 1 － c) x3 + 12( 1 － c) 2x4 ．证明 基于［n］qn =1 － qnn1 － qn． 根据 槇Pqn ( f; x) 的线性性和引理 2，有:limn→∞［n］qn槇Pqnn ( ( t － x)2 ; x) = limn→∞［n］qn1q2n－( )1 x2 + ［2］qnq2n［n］qn[ ]x = 2x［( 1 － c) x + 1］槇Pqnn ( ( t － x)4 ; x)=［2］qn［3］qn［4］qnq9n［n］3qnx + x2［n］2qn［2］qn［3］qnq2n + ［2］qn［5］qnqn + ［4］qn［5］qnq11n－4［2］qn［3］qnq5( )n+ x3［n］qn［2］qnq2n + ［4］qnqn + ［6］qnq12n－4( ［2］qnqn + ［4］qn )q6n+6［2］qnq2( )n +1q12n－ 4q6n+ 6q2n－( )3 x4= : An，qn + Bn，qn + Cn，qn + Dn，qn基于 qn ∈ ( 0，1) ，limn→∞ qn = 1 时，由 n→∞ 可得［n］qn →∞ ( 见文献［13］) 和［n］qn =1 － qnn1 － qn，易知，limn→∞［n］2qnAn，qn = 0，limn→∞［n］2qnBn，qn = 12x2，limn→∞［n］2qnDn，qn = limn→∞1 － qnn1 － q( )n2 1 － 4q6n + 6q10n － 3q12nq12nx4= limn→∞( 1 － qnn )2 － 3q10n － 6q9n － 3q8n + 3q6n + 6q5n + 5q4n + 4q3n + 3q2n + 2qn + 1q12nx4= 12( 1 － c) 2x4经类似计算可得，limn→∞［n］2qnCn，qn = 28( 1 － c) x3 ． 因此，limn→∞［n］2qn槇Pqnn ( ( t － x)4 ; x) = 12x2 + 28( 1 － c)x3 +12( 1 － c) 2x4 ．2 主要结果及其证明让 m ＞ 0，令 Bm［0，∞ ) = { f f : ［0，∞ ) → R， f( x) ≤ Mf ( 1 + xm ) } ，其中 Mf 为仅依赖于 f 的正常数． 构造 Cm［0，∞ ) = f f∈ Bm［0，∞ ) ∩ C［0，∞ ) ; f m = supx∈［0，∞ )f( x)1 + x{ }m ，C*m［0，∞ ) = { f f∈Cm［0，∞ ) ， limx→∞f( x)1 + xm＜ ∞ } ． 下面给出算子列{ 槇Pqn ( f; x) } 的 Korovkin 型定理．定理 1 设 qn∈ ( 0，1) ，则对任意 f∈ C*2 ［0，∞ ) ，序列{ 槇Pnqn ( f; x) } 在区间［0，A］上一致收敛于 f当且仅当limn→∞qn = 1．证明 设limn→∞qn = 1． 对固定的 A ＞ 0，考虑格同态 TA : C［0，∞ ) → C［0，A］，使得 TA ( f) = f［0，A］，则对 em ( t) = tm ( m = 0，1，2) ，有 TA ( 槇Pnqn ( em ;·) ) 在［0，A］上一致收敛于 TA ( em ( t) ) ． 由文献［14］中命题4．2． 5( 6) 的证明知，C*2 ［0，∞ ) 与 C［0，1］同构，且集合{ 1，t，t2 } 是 C*2 ［0，∞ ) 中的 Korovkin 集合． 因此，对 f∈ C*2 ［0，∞ ) ，由通常的 Korovkin 型性质［14］ 可知，对em ( t) = tm ( m = 0，1，2) ，TA ( 槇Pnqn ( em ;x) ) 在［0，A］上一致收敛于 TA ( em ( t) ) ，蕴含{ 槇Pnqn ( f; x) } 在［0，A］上一致收敛于 f．另一方面，若对 f∈ C*2 ［0，∞ ) ，序列{ 槇Pnqn ( f; x) } 在［0，A］上一致收敛于 f，则limn→∞qn = 1． 事实上，若不然，注意到 qn ∈ ( 0，1) ，则必存在一个子列{ qnk}  ( 0，1) ，使得 limk→∞ qnk = q0 ∈［0，1) ，这样，limk→∞1［nk］qnk= limk→∞1 － qnk1 － qnknk= 1 － q0 ． 从而，limk→∞ (槇Pnkqnk ( t2 ; x) － x2 ) = ( 1q20－ 1) x2 +1 － q20q20x≠ 0． 这表明序·81·第 1 期 任美英，等: 修正 q － Phillips 算子的逼近性质http: / /xbzrb． fzu． edu． cn列{ 槇Pnqn ( f; x) } 在［0，A］上非一致收敛于 f，与已知矛盾． 因此，limn→∞qn = 1． 定理证毕．由定理 1 可以得到算子列{ 槇Pqn ( f; x) } 的 Voronovskaja 型结果．定理 2 设序列{ qn} 满足 qn∈ ( 0，1) ，limn→∞ qn = 1 且limn→∞ qnn = c( c 是常数) ，则对任意 f∈ C*2 ［0，∞ )使得 f '，f ″∈ C*2 ［0，∞ ) ，有limn→∞［n］qn (槇Pqnn ( f; x) － f( x) ) = ［( 1 － c) x + 1］xf ″( x) ．证明 让 f，f '，f ″∈ C*2 ［0，∞ ) 且 x∈［0，∞ ) 固定． 利用泰勒公式，有 f( t) － f( x) = f '( x) ( t －x) + f ″( x)2 ( t － x)2 + ψ( t，x) ( t － x) 2，其中: ψ(·，x) ∈ C*2 ［0，∞ ) 且 ψ( t，x) → 0( t→ x) ． 从而由引理 2 可得:［n］qn (槇Pqnn ( f; x) － f( x) ) =f ″( x)2 ［n］qn槇Pqnn ( ( t － x)2 ; x) + ［n］qn槇Pqnn ( ψ( t，x) ( t － x)2 ; x) ( 4)由 Cauchy － Schwartz 不等式，有［n］qn槇Pqnn ( ψ( t，x) ( t － x)2 ; x) ≤ 槇Pqnn ( ψ2 ( t，x) ; x槡 ) · ［n］2qn 槇Pqnn ( ( t － x) 4 ; x槡 ) ( 5)又注意到 ψ2 ( x，x) = 0 且 ψ2 (·，x) ∈ C*2 ( ［0，∞ ) ) ，因此由定理 1 可得: limn→∞槇Pqnn ( ψ2 ( t，x) ; x) =ψ2 ( x，x) = 0． 这样，由( 5) 式和引理 3 可得: limn→∞［n］qn槇Pqnn ( ψ( t，x) ( t － x)2 ; x) = 0，从而由式( 4) 和引理 3 有limn→∞［n］qn (槇Pqnn ( f; x) － f( x) ) = ［( 1 － c) x + 1］xf ″( x) ． 定理证毕．最后，给出算子列{ 槇Pqn ( f; x) } 的局部逼近性质．令 CB［0，∞ ) = { f f 在［0，∞ ) 上连续有界} ，并赋予范数 f = supx∈［0，∞ ) f( x) ．设 W2 = { g∈ CB［0，∞ ) : g'，g″∈ CB［0，∞ ) } ，对 f∈ CB［0，∞ ) 和 δ ＞ 0，Peetre K － 泛函定义为K2 ( f，δ) = infg∈W2{ f － g + δ g″ } ． 对 f ∈ CB［0，∞ ) 和 δ ＞ 0， f 的 连 续 模 定 义 为 ω( f，δ) =sup0 ＜ h≤δsupx∈［0，∞ ){ f( x + h) － f( x) } ，f 的二阶光滑模定义为:ω2 ( f，δ) = sup0 ＜ h≤δ supx∈［0，∞ ) { f( x + 2h) － 2f( x + h) + f( x) }由文献［15］有:K2 ( f，δ) ≤ cω2 ( f，槡δ) ( 6)其中: c 是一个正常数．定理 3 设 q∈ ( 0，1) ，f∈ CB［0，∞ ) ，则对任意的 x∈ ( 0，∞ ) ，有:槇Pqn ( f; x) － f( x) ≤ cω2 f， 1q2－( )1 x2 + ［2］qq2［n］q槡( )x其中: c 是一个正常数．证明 设 g∈ W2，x∈ ( 0，∞ ) ，由泰勒公式知，g( t) = g( x) + g'( x) ( t － x) + ∫tx( t － u) g″( u) du ( t∈［0，∞ ) )从而由引理 2，有 槇Pqn ( g; x) = g( x) 槇+ P (qn ∫tx( t － u) g″( u) du; )x ，因此，槇Pqn ( g; x) － g( x) ≤ 槇P (qn ∫tx( t － u) g″( u) du; )x ≤ 槇P (qn ∫txt － u g″( u) du ; )x≤ 槇Pqn ( ( t － x)2 ; x) g″ = 1q2－ 1( )) x2 + ［2］qq2［n］q[ ]x g″因为对 f∈ CB［0，∞ ) ，n∈ N 和 x∈ ( 0，∞ ) ，由式( 3) 和引理 2 可得:槇Pqn ( f; x) ≤ f 槇Pqn ( 1; x) = f因此，有:·91·福州大学学报( 自然科学版) 第 43 卷http: / /xbzrb． fzu． edu． cn槇Pqn ( f; x) － f( x) ≤ 槇Pqn ( f － g; x) + 槇Pqn ( g; x) － g( x) + g( x) － f( x)≤ 2 f － g [+ ( 1q2 － 1) x2 +［2］qq2［n］q]x g″对上式右边关于 g∈ W2 取下确界，有:槇Pqn ( f; x) － f( x) ≤ 2K2 f，1q2－( )1 x2 + ［2］qq2［n］q( )x从而由式( 6) 知，存在常数 c ＞ 0，使得:槇Pqn ( f; x) － f( x) ≤ cω2 f， 1q2－( )1 x2 + ［2］qq2［n］q槡( )x定理证毕．参考文献:［1］Philips G M． Bernstein polynomials based on the q － integers［J］． Ann Numer math，1997，4( 1) : 511 － 518．［2］Agratini O，Nowak G． On a generalization of Bleimann，Butzer and Hahn operators based on q － integers［J］． Math ComputModel，2011，53 ( 5 /6) : 699 － 706．［3］Dogru O，Orkcu M． Statistical approximation by a modification of q － Meyer － Konig － Zeller operators［J］． Appl Math Lett，2010，23: 261 － 266．［4］Gupta V，Radu C． Statistical approximation properties of q － Baskakov Kan － torovich operators［J］． Cent Eur J Math，2009，7( 4) : 809 － 818．［5］Gal S G． Voronovskaja’s theorem，shape preserving properties and iterations for complex q － Bernstein polynomials［J］． StudiaSci Math Hungar，2011，48 ( 1) : 23 － 43．［6］Guptal V，Sharma H，Kim T，et al． Properties of q － analogue of Beta operator［J］． Adv Differ Equ － Ny，2012( 1) : 86 － 101．［7］Yüksel I． Apptocimsyion by q － Phillips operators［J］． Hacet J Math Stat，2011，40( 2) : 191 － 201．［8］Sole A D，Kac V G． On integral representations of q － gamma and q － betta functions［J］． Rend Mat Acc Lincei，2005，9( 16) : 11 － 29．［9］Gasper G，Rahman M． Basic hypergeometrik series［M］． Cambridge: Cambridge University Press，1990．［10］Jackson F H． On a q － definite integrals［J］． Quarterly J Pure Appl Math，1910，41: 193 － 203．［11］Kac V G，Cheung P． Quantum calculus［M］． New York: Springer － Verlag，2002．［12］Koelink H T，Koornwinder T H． q － Special functions［J］． Contemp Math，1992，134: 46 － 103．［13］Videnskii V S． On q － Bernstein polynomials and related positive linear operators［C］/ / Problems of Modern Mathematics andMathematical Education． St － Petersburg: Hertzen Readings Press，2004: 118 － 126．［14］Altomare F，Campiti M． Korovkin － type approximation theory and its applications［M］． Berlin : De Gruyter Studies in Mathe-matics，1994．［15］Devore R A，Lorentz G G． Construtive approximation［M］． Berlin: Springer，1993．( 责任编辑: 林晓)·02·

Approximation properties of modified q- Phillips operators

http://dspace.xmu.edu.cn/bitstream/handle/2288/119935/%e4%bf%ae%e6%ad%a3q-Phillips%e7%ae%97%e5%ad%90%e7%9a%84%e9%80%bc%e8%bf%91%e6%80%a7%e8%b4%a8.pdf?sequence=1&isAllowed=y

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