对l(_P-)空间与l_2之间粗嵌入关系作进一步的研究,证明了度量空间X可粗嵌入进l_2当且仅当存在某个20 such that X can be coarsely embedded into {l_p,2<p≤p_0} uniformly.This gave an equivalent condition for the coarse embeddability of metric spaces into l_2.国家自然科学基金(11101340;11201160); 福建省自然科学基金(2010J05012;2012J05006); 华侨大学高层次人才科研启动项目(11BS223

张文

罗正华

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第56卷第2期2013年3月数 学 学 报 中文 版A C T A M A T H E M A T IC A S IN IC A , C h in ese S eriesVO I.56 , N o .2M ar ., 20 13文章编号:0583一1431(2013)02一0217- 06 文献标识码: A度量空间粗嵌人进 l: 的一个注记罗正华华侨大学数学科学学院 泉州 362021E- m a il: lu o zhe n g h u a @ ho tm a il.eom张 文厦门大学数学科学学院 厦门361005E- m a il: we n z h an g @ x m u .ed u .en摘 要 对 今一空间与 l: 之间粗嵌入关系作进一步的研究, 证明了度量空间X 可粗嵌入进 l: 当且仅当存在某个 2 < p"< o , 使得 X 可一致地粗嵌入进 {临,2 < p 三po}#这给出度量空间粗嵌入进 12 的一个等价刻画.关键词 度量空间;粗嵌入;一致粗嵌入M R (2010) 主题分类 46B 20, 46B o4 , 58C 20中图分类 0177. 2o n the C o ar se E mb e d d ab ilt y o f lp 一S p a ce s Int o 12Z h e n g H u a L U OSeh ool of M ath eo a亡, eal S e乞eo ee, H !a q:ao 阮 乞veo i亡, ,Q o a二:h o ! 3 6202 1, P . R , 1诀:"aE 一爪azl: l牡ozh e几gh 衫a@ h o亡m a , l.eo mW 七n Z H A N CD epart7n e !t of 人少ath eo a云云es, X za m e"咖 iversz艺, ,爪 am e几 36 1 0 0 5 , P . R . 1,入落n aE 一m a zl : 叨e几zh a几夕@ x饥杠.od u .e牡A b s tr a e t W 匕m a d e so m e fu rth e r re sea reh o n th e e o ar se em b ed d a b ility b e twe en l; -sP ac es an d 12 a n d w e P ro ve d th at a m etrie sP ac e X e an b e eo a rsely em b ed d ed int o12 if an d o n ly if th e re e劝sts so m e P o > 0 su eh th a t X ean b e e o ar se ly e ln b ed d e dinto {l; , 2 < p 三尹"} unifo rm l犷 T his gave an equiva lent eondition fo r the eoar see m b e d d a b ility o f m etrie s P ac e s in to 12 .K e y v沪o r d s m e trie sP ae es: eo ar se ly em b ed d in g ; eo a rs ely e m b ed d in g u n ifo rm lyM R (20 10) Subjeet C las sifleation 46B 20, 46B o4, 58C 20C h in e s e L ib r a r y C la ss ifi e a t io n 0 17 7 .2收稿 日期: 2021一12一02:接受 日期:2012一10一22基金项目:国家 自然科学基金 (21101340 , 11202260);福建省自然科学基金 (ZozojosozZ , 2oz2Jo50 6);华侨大学高层次人才科研启动项目 (l IB s223)通讯作者:张文数 学 学 报 中 文 版 56卷1 引言和基本定义在文 !11中, G rom ov 引入了粗嵌入 (eoar se em bedding)的概念 #定义 1.1 设 X ,Y 是度量空间, 映射 f : X * Y 称为一个粗嵌入, 如果存在不减函数户1,户: :[o,+ o )* =O,+ co ), 使得(i) 户1(d(x, , ))三d(f(x),f(军))三户2(d(x, , )), V x ,夸1X :(11) lim ,, +co 户:(t) = + 0 .Gr om ov 1, 2>认为一个离散群到一个 Hi lbe rt 空间 (或一致凸 Ban ach 空间) 的粗嵌入性 , 可能与 N ov ikov 猜想相关.Yu 15, 4]随后证明了能粗嵌入进某个 Hi lber 七空间的具有界几何的度量空间 (相应地, 离散群)满足粗 B au m 一C onne s 猜想 (相应地, N ov ik ov 猜想).根据这一重要结果,对于一大类的离散度量空间 (相应地, 离散群)都可以验证其是否满足粗 B au m 一C onne s猜想 (相应地 , N ov iko v 猜想).随后 K as par ov 和 Yu 同又考察了粗嵌入进一致凸B an ach 空间的情况.由于上述这些重要的研究结果, Hi lber t 空间 (或更一般的 Ban ac h 空间)的粗嵌入理论的研究引起了人们极大的重视.这其中, 今一空间与 l:之间粗嵌入性的研究具有特殊的意义. N ow ar k 阿7]证明了 l: 可粗嵌入进每个 l; , 1 三p < o , 同时证明了度量空间可粗嵌入进 l: 当且仅当其可粗嵌入进某个l;, 1 三p 三2.Jo hn so n 和 R an dr ian ar ivo ny [s] 证明了 l; (p > 2) 不能粗嵌入进 12.本文证明了度量空间X 可粗嵌入进 l: 当且仅当存在某个p "> 2 , 使得 X 可一致地粗嵌入进 {l;,2 < p 三po}.因为嵌入一个复的 Hi lber t空间等价于嵌入一个实的 Hi lber t空间, 因此 , 我们假设 B an ac h空间都是实的.用 s( X )表示 B an ac h 空间x 的单位球面.若 {Xn }""N 是一列B an ac h 空间, 我们用 (E 瓜 ), 表示这列B an ac h 空间关于P- 范数的直和 , 即(ixn);一{一-一,几一xn任瓜,艺1飞 /黑 !告纵尸<o全, /Jlv一欠斗1珠10少当每个 X "都为l; 时, (又切p等距于l;.定义 1.2 设 X 是度量空间, {(玖 ,d*),入1r} 是一族度量空间, 称 X 可一致地粗嵌入进{妹 ,入任r}, 若存在不减函数pl,p: :10 ,+ o )弓 [0 ,+ o ) 以及 方 :X * 玖, 入任r,满足(i) 户1(d(x , , ))三d*(么(x),几(, ))三户2(d(x , , )), V x ,军任x , v 入1r ;(11) lim :~ +oc 户:(艺) = + 0 .Johnson 和 Ra ndrianarivo 即 [8]证明了l; (尹> 2) 不能粗嵌入进 22.我们将证明若存在某个p "> 2, 使得 X 可一致地粗嵌入进 {l;,2 < p 三p "}, 则 X 可粗嵌入进 12.2 主要结果为了证明本文的主要结果, 我们先给出一些引理.引理 2.1 同 度量空间 x 可粗嵌入进某个 Hi lbe rt 空间当且仅当存在不减函数户1,户: : =O, + o ) ! =0, + co ),2期 罗正华等:度量空间粗嵌入进 12 的一个注记使得limt一 + ""p:(t) = + o ,以及对每个有限集 A c X , 都存在 几 :A * 12, 满足户1(d(x , , ))三}{八(x)一九(, )11三户2(d(x ,夕)), V x ,夕任A .引理 2. 2 回 设M 是l; (l 三p 三o )中包含n 个点的子集, 则M 可等距嵌入进借中, 其中m = 盖可n一l) #利用上述引理, 我们可以证明如下定理.定理 2.1 若对某个 2 < p "< o , 度量空间 X 可一致地粗嵌入进 {如, 2 < p 三P0 }, 则 X可粗嵌入进 12.证明 依题意, 存在不减函数 pl,p: : [0 ,+ o ) * [0 ,+ o ), 以及 九 :X 升 今, 2 < p 三p ", 满足(i) pl(d(x ,, ))三11寿(x)一fp (, ){}; 三户2(d(x , , )), V x , , 1X , 2 < p 三po:(11) lim :* +co 户1(忿) = + 0 .由引理 2.1, 只需证明对任意有限集 A = {x ",xl, , ,纵一l} c X , 都存在 八 :A 叶 坛, 满足pl(d(x , , ))三11八(x)一八(, )11: 三户2(d(x ,万)), V x , , 任A #取 2 < p ! < p",p !\ 2 #对每个 k 1N , 记 , !,-= 九*(x !), 乞= o ,1, , ,n 一1.由引理 2.2 , 将{"!,",, !,l, ,, "*,卜1}视为l欲的子集, 其中m = 告n(n一1), 并且不妨设"!,0= o, 则有"1(d(x -,x, ))三}1, !,-一"!,川p !三户2(d(x -,x, )), 乞,J = 0,1, , ,n 一l, 无任N . (*)注意到对每个 乞= 1, 2, , , n 一l,!}, !,-}};"三!!, !,-!}p!三pZ(d(x -,x")), V k 任N .因此 {叭,:, k 1N }是 缪 中的有界集. 由紧性知, {叭,:, k 1N }存在收敛子列.不妨设 无* co 时,, !,-弓 , -任l罗, 艺= 1, 2, , , n 一1.定义 八 :A ! l罗 1 12, 满足 f(x -)= , -, 葱= 0, 1, , , n 一1, 其中 , "= O #因为 , !,-一, !,J 升夕-一巧(k 升 o ), 所以limk 叶 "c}}, !,-一夕!,, }};; = }1, -一巧}2再由 (*) 知户:(d(x*, x, ))三}}夕-一驹}!: 三户2(d(x -, x, )), 乞,J = O , 1, , , n 一1 #因此 九 即为所求.为了说明定理 2.1 的条件不是平凡的, 我们可利用文 !7一10] 中的方法证明: 若度量空间 X可粗嵌入进 12, 则对任意的 2 < po < co ,X 可一致地粗嵌入进 {l;, 1三p 三p"}.首先给出有关定义和引理.定义 2.3 1/ ] 设 1 兰p , "< o , M ajz ur 映射 妈 ,":S (l;)弓妈 ,"(二)一{Ix ,I晋sign(二-)}霆, , 二一{x -}霆1满足s (l")定义如下任S (lp).当 p < q 时, 呜 ,"Pq}>x 一vl1 ; 三}}岭 ,"(x) 一蛛 ,"(u)] }"三Cl }x 一ul ; , x ,万任S (l;),数 学 学 报 中 文 版 56卷其中常数C 只和p,"有关.当p > q时,呜 ,"满足相反的不等式, 并且妈 ,"= 崎 另.特别地, 对于 M az ul 映射 从 ,p :S( l2)衬S( l, ), 我们有下述不等式.引理 2.3 (1) 当 1 三p < 2 时,告一 ",.量:}场,#(#,一峨,#(", -,#兰}}x 一, }}2, x ,, 1S (12).(2) 当 2 < p < o 时,}}x 一, }{: 三1!M2 ,, (x)一M2 ,p(, )}}; 三2{{x 一, }}夕, x, , 任S(12)#证明 (l )只需证明合Ilx 一uIl 歹三/场 , (x) 一肠 , (功/;,这等价于证明生("士1!2 < (a景士1!, , v "> lZP 0 z 一 ! - . 一可通过两边求导得到证明.(2) 只需证明 }}肠 ,, (x) 一峨 ,;(功}}, 三2!}x 一, }言,2, }a士1}2,这等价于证明"盖士1jp 三 V a > 1所用方法与 (l) 类似.引理 2.4 [l0 > 设 x 是度量空间, 则 x 可粗嵌入进 Hi lbe rt 空间 尸 当且仅当对每个 R > 0和 1> 0 , 都存在映射 沪:x * S( 尹 ), 满足(i) sup{11沪(x)一沪(y)}{, :x,万1X , d(x, , )三R } 三1:(11) lim s* o inf {11沪(x)一沪(y)I,, :x, , 1X , d(x,y)全S } = 2.利用上述两个引理我们可以证明如下结果.定理 2. 2 设度量空间 X 可粗嵌入进 12, 则对任意的 2 < po < o , X 可一致地粗嵌入进{l, , 1三p 三po}.证明 由引理 2. 4 ,对每个 "任N , 存在沪":X * S( l2)及氏 > 0, 使得当x , , 1X , 武x ,功 三n 时 , 有11沪"(x)一沪!(, )112 三2一(几+ -):当x , , 任x , 武x ,功全氏 时, 有4}沪"(x)一沪"(, )11:七1.不失一般性 , 可设数列 {氏}严格递增趋向于无穷大.对每个 1三p 三p ", 记 尹!, = 峨 ,, "甲":X * s( 切.由引理2. 3 知(i) 当x , , 任X ,d(x ,夕)三n 时, 对 1 三夕三2 , 有-,!n,#(#,一,n,#-,,,,#三:(2一-二0):2一;对 2 三p 三po, 有11沪",, (x)一沪",;(!)I一; 三2(2卫玉誓且).(11)当 x , , 任X , d(x , , )全凡 时, 对 1三夕三2 , 有1工q白{{沪",;(x)一沪",, (夕)}}, 全2期 罗正华等:度量空间粗嵌入进 12 的一个注记2一P0>一对 2 三p 二P0 , 有,I沪",;(x)一沪",;(, )}};固定 xo任X , 定义寿:X ! (E 肠);, 满足寿(x)一0 (!二,;(x)一,几,,(xo)), x 1X #容易看到{粼二)Il: 一艺1, ", (x) 一! ;(x0 )lI; < co.因此 寿 有意义. 下面证明 寿(-一1)告:武x,")!菇,则当是粗嵌入. 设1三p 三2 时,k p 一 1x , y 1 X , 对于 1 三p 三 P0 , 取 称 任N , 使得}}粼x) 一寿(州}男= 艺 1,几, (x)一,几,;(,)1男+几= 1C-艺 1!几,;(x)一,几,;(")1男n = 无,O 1三(标一-)20+ 艺 2一/p三(k, 一1)2, + -性= 无p三Zpd(二, , )p + 1 三(Zd(x , , )+ 2)p:当 2 三p 三p "时 ,儿p 一I co1 , , ~ ! 了八八Hp _ 戈, 日" 了, ! _ , " 八八Ilp 二 ! , 1," 了, !_ -" 八八lp1厅Lx) 一厅气夕川芬= 之山 }}沪",, 气x)一甲毯, 口川卜十 之/ 1甲氏川芯)一甲几扒脚lb性= z 几= 无,C 旧: (标一-)20+ 又 2p2一2-/+ -, 三k;20几= 儿,三Zp(d(x , , )0+ l)三(Zd(x , , )+ 2))p ,即对 1 丛p 三P0 , 有}}寿(x) 一寿(功1; 三2d (x ,功+ 2.另一方面, 取 l 1N , 使得 Sl 一1 三d(x ,功< Sl (记 S0 = 0) , 则对 1 三p 三2, 有,!(#,一!(夕)日::氢.}一(#)一,#(夕)}.;:(卜1)(;).:!(X)一!(").},:合(l一1)/:1 , _ !生一 (l一1), o对 2 三p 三p ", 有!!!.了/2一P0lfZ龟!!一!}酬二)一粼, )l: 全艺 1! ,,(x) 一",,(u) I: 全王(l一l)命P 0>一2一P0n = 1}l寿(x)一寿(")l}; 全(z一z)告数 学 学 报 中 文 版 56卷因此, 取"1(")一艺生("一1)命!rs"_;,s")(t)夕O户2(艺) = 2(t+ 1),则p !(d(x ,, ))三{}介(x)一方(, )际三pZ(d(x, , )), V -,, 任X , 1三p 三po #显然 pl, p: 都是不减函数, hm " +0 pl(约= + o , 并且pl, p:不依赖于 p , 所以 X 可一致地粗嵌入进 {l;, 1 三p 三po}#由定理 2.1, 2.2 以及 N ~ k 两7}的结果可以得到:推论 2.1 设 x 是度量空间, 则以下论述等价:(l) X 可粗嵌入进 12;(2)存在某个 1 三p < 2 (等价于, 所有 1 三p < 2), 使得 X 可粗嵌入进 l;;(3)存在某个 p"> 2 , 使得 X 可一致地粗嵌入进 {z; ,2 < p 三如};(4)对于任意的 p"> 2,X 可一致地粗嵌入进 {l; ,1 三p 三p "}.以下是有待解决的问题.问题 (l) 若 X 可粗嵌入进 12, 是否有 X 可一致地粗嵌入进 {l, , 1三p 三o }?(2)若 X 可粗嵌入进每个 l, 沙> 2), 是否意味着 X 可粗嵌入进 12?致谢 作者感谢厦门大学泛函分析讨论班的老师和同学对上述研究领域的讨论和建议 ,同时作者特别感谢程立新教授对这一研究领域的介绍和指导.参 考 文 献{11 G rom ov M ., A sym ptotie Inva riant s fo r Infinite G roups, Camb ridge U nive rsity p ress, C am bridge, 1993.!2{ Ro e J., Leeture on C oarse G eom et ry, A m eriean M at hem atiealSoeiet叭U SA , 2003.[3 8 S肠ndalis G ., Tu J.L ., Yu G ., C oar se B aum 一C onnes eonj eeture and groupoids, To pol四, , 2002, 4 1:807- 834.[4 : Yu G ., T he oarse Baum 一C onnes eonj ec tur e fo r spaees w hieh adm ita unifo rm em bedding into H ilbert spaee,爪 勺e牡t. 材 / th ., 2 0 0 0 , 1 3 9 : 2 0 1一2 4 0 .(5! K as par ov G , Yu G ., T he eoarse 罗ome trie N ovikov eonj eteure an d unifo rm eonv ex ity , A面. M a艺入., 2006 ,206(1): 1一56.=68 N ow ar k P., C oar se em beddings of m etrie spaees into Banaeh spaees, P ro e. A o er. M ath. Soe., 2005 , 153:2 5 8 9一2 5 9 6 .=7} N ow ark P., O n eoarse em beddability into l;一spac es and a eonj eeture of D ranishnikov , 凡 "d. M a亡h., 2006 ,189(2): 111一116.[81 Johnso n W .B ., R andrianarivo叮 L ., lp (p > 2) does not eoarsely em bed into a H ilbert spaee, po c#A o er#材 / th.SO e., 2006 , 134(4): 1045一1050.{9{ B allK #, Isom etrie em bed ding in lp一spaees, E !"p. J. C oo b乞"a亡"代es, 1990, 11: 305一311.!10} D adarlat M ., G uentner E ., Construetions preserv ing H ilbert spaee unifo rm em beddability ofdiserete groups,了乍/ n s. A m er. 材 口th . S oe., 200 3 , 3 5 5 : 3253一3275 .=111 B e叮am iniY ., L indenstrauss J., G eo rn etrie N onlinear Fu netionalA nal ysis, C olloquium p ublieations vo l滩8,A m eriea n M ath em at ieal So eiet笋 U S A , 2000 .

On the Coarse Embeddability of l_p-Spaces Into l_2

http://dspace.xmu.edu.cn/bitstream/handle/2288/119851/%e5%ba%a6%e9%87%8f%e7%a9%ba%e9%97%b4%e7%b2%97%e5%b5%8c%e5%85%a5%e8%bf%9bl_2%e7%9a%84%e4%b8%80%e4%b8%aa%e6%b3%a8%e8%ae%b0.pdf?sequence=1&isAllowed=y

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