为了减轻行星齿轮减速器的重量,提高承载效率,取行星齿轮减速器的太阳轮和齿圈的齿数、模数和齿宽为设计变量,以减速器体积最小化为优化目标,利用MATlAb优化工具箱对行星齿轮减速器进行优化设计计算。计算结果表明,采用可靠性优化设计方法可以缩短设计周期并减小体积

侯亮

邹毅

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《科技传播》2011•5（下）81理论研究Theoretical Research行星齿轮减速器可靠性优化设计研究邹  毅，侯  亮厦门大学机电工程系，福建厦门      361005摘  要 为了减轻行星齿轮减速器的重量，提高承载效率，取行星齿轮减速器的太阳轮和齿圈的齿数、模数和齿宽为设计变量，以减速器体积最小化为优化目标，利用 Matlab 优化工具箱对行星齿轮减速器进行优化设计计算。计算结果表明，采用可靠性优化设计方法可以缩短设计周期并减小体积。关 键 词 行星齿轮；减速器；体积；优化设计中图分类号 TH132  文献标识码 A  文章编号 1674-6708（2011）43-0081-02行星齿轮减速器具有传动比大、传动效率高、结构紧凑等优点 ，广泛用于小轿车、载重汽车、工程车辆等机械设备的传动系统中。行星齿轮减速器的可靠性设计和轻量化设计 ，对车辆的动力性、燃油经济性有很大影响。与常规设计方法相比 ，可靠性优化设计在提高设计效率的同时可以找出更优的可行方案。1 目标函数的建立行星齿轮减速器由太阳轮、行星轮、行星支架和内齿轮等组成。太阳轮、行星轮组及内齿圈的体积影响并决定整个行星减速器的尺寸和体积 ，为此将内齿圈的体积考虑在内 ，其模型为2 2 2 2a a c( ) ( )4b w bbF X V V nV D D D nDπ  = + + = + − +  （1）22 2a c( Z 9 20.25)4 bbm Z n Zπ= + + +式中 ，F（X）为太阳轮、行星轮和内齿圈体积之和 ，n 为行星轮个数 ，按行星轮系类型选定为 3 ；m 和 b 分别为模数和齿轮齿宽 ；Va、Da、Za 分别为太阳轮的体积、分度圆直径和齿数 ；Vb、Db、Zb 分别为内齿圈的体积、分度圆直径和齿数 ；Vc、Dc、Zc 分别为行星轮的体积、分度圆直径和齿数。S 为内齿圈分度圆到外圆的距离 ， S=hf+δ，其中 hf 为其齿根高 ，hf=1.25m，δ 为内齿圈壁厚 ，取 δ=m。Dw 为第内齿圈外圆直径 ，Dw=Db+2S。根据行星轮系同心条件 ，目标函数可化为 ：22 2a3( ) [ ( ) 9 20.25]4 4 b a bbmF X Z Z Z Zπ= + − + + （2）2 设计变量的确定根 据 目 标 函 数 式 ， 取 太 阳 轮 齿 数 Za、 齿 圈 齿 数Zb、 模 数 m、 齿 宽 b 这 四 个 独 立 参 数 为 设 计 变 量 ，即 ：1 2 3 4[ , , , ] [ , , , ]T Ta bX x x x x Z Z m b= = （3）由此 ，目标函数进一步化为2 2 23 4 1 2 1 2F(X) 0.78540 [ 0.75( ) 9 20.25]x x x x x x= + − + + （4）3 约束条件的建立3.1 传动比条件0 0/ 1 ( ) / 1 6%a b ai i Z Z Z i− = + − < → 1 1 2 1 0g ( ) ( ) / 1 6%x x x x i= + − < （5）式中 ：i0、i 分别为优化前、后减速器传动比。3.2 同心条件2a c bZ Z Z+ = → 1 1 5 2( ) 2 2a c bh x Z Z Z x x x= + − = + −  （6）式中 ， 5x 是与 cZ 对应的设计变量。3.3 安装条件( ) / 3a bZ Zγ = + → 2 1 2( ) ( ) / 3h x x x γ= + − （7）式中 ，γ 为正整数。3.4 邻接条件acd 2 sin / 3aca π′< → 2 2g (x) 2 0.5 (1 sin / 3)x π= + − 0)3/sin1(5.0 1 <+− πx （8）式中 dac 为行星轮齿顶圆直径 ； acα′ 为太阳轮和行星轮啮合副的中心距。3.5 根切限制amin ZZ ≤ → 3 1g (x) 17 0x= − ≤ （9）式中 ，Zmin 为避免根切的最小齿数 ，Zmin=17。3.6 重合度要求约束为 ： 4 1 1( ) 1.1 [ (tan tan )ag x x α α′= − − 2 1 10.5( )(tan tan )] / (2 ) 0cx x α α π′+ − − ≤（10）5 2 1 2( ) 1.1 [0.5( )(tan tan )cg x x x α α′= − − − 2 2(tan tan )] / (2 ) 0bx α α π′+ − ≤ （11）式中 ， 1aα 、 1cα 、 1bα 分别为太阳轮、行星轮和齿圈的齿顶圆压力角 ， 1α′ 为太阳轮和行星轮啮合角 ， 2α ′ 为行星轮和齿圈啮合角。3.7 齿宽要求  min maxb b b≤ ≤ →  05)( 436 ≤−= xxxg  （12）→ 7 4 3( ) 17 0  g x x x= − ≤ （13）3.8 最小模数要求mm ≤= 2min → 8 3( ) 2  0g x x= − ≤ （14）3.9 接触强度条件按接触强度设计要求有 ：1 0tH EF uZ Z Zdbn uε+≤ → 2 19 2 21 3 4 2 12( ) 03H E HPx xTg x Z Z Zx x x x xεσ+= − ≤− （15）式中 ZH，ZE，Zε 分别为节点区域系数 ，材料弹性影响系数 ，重合度系数 ；Ft 为作用在太阳轮上的切向力 ；u 为行星轮与太阳轮齿数比 ；d 为太阳轮分度圆直径 ；T 为太阳轮传递的扭矩 ；σHP 为许用接触应力。3.10 弯曲强度条件按弯曲强度设计要求有 ：0t Fa Sa FPF Y Y Ybmn εσ− ≤ → 10 21 4 32( ) 03 Fa Sa FPTg x Y Y Yx x x εσ= − ≤ （16）式中 ，为 YFa 齿形系数 ；YSa 为应力校正系数 ；Yε 为重合度系数 ；σFP 为许用弯曲应力。4 优化算法和求解分析Matlab 的优化工具箱提供有各种优化算法和最优值搜索策略。对于单目标多变量非线性约束优化问题 ，选定 Matlab 中的 fmincon优化模块进行优化 ，在提高设计的准确度和可靠性的同时 ，设计效率比以往也有提高。Fmincon 的调用格式为 ：[x，fval，exitflag，output]=fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，Beq，lb，ub，nonlcon]原设计太阳轮齿数 Za=23，行星轮齿数 Zc=24，内齿圈齿数Zb=70，太阳轮和行星轮材料为 18CrMnTi，渗碳淬火处理 ，硬度为 58~62HRC ；内 齿 圈 材 料 为 40Cr 调 制 处 理 ，硬 度 为 250HB ~280HB ；行星轮个数 3 个 ；各齿轮精度等级为 7 级。要求优化后作者简介：邹毅，在读硕士研究生，研究方向：机械制造及其自动化（下转第83页）5月下.indd   81 2011/5/26   11:39:46《科技传播》2011•5（下）83理论研究Theoretical Research柱的起吊方法与单层工业厂房柱的吊装基本相同 ，一般采用旋转法。上层柱的底部都有外伸钢筋 ，吊装时应采取保护措施 ，以防止碰弯钢筋。 外伸钢筋的保护措施有 ：用钢管保护柱脚外伸钢筋 ，用钢管三角架套在柱端钢筋处或用垫木保护等。3.1.2 柱的临时固定和校正 底层柱插入基础杯口后进行临时固定 ，其临时固定和校正方法与单层工业厂房柱相同。 上节柱的吊装须在下节柱最后固定后进行 ，上节柱吊装在下节柱的柱头上时 ，上柱与下柱的对位工作应在起重机脱钩前进行 ，对位方法是将上柱底部中线对准下柱顶部中线 ，同时测定上柱中心线的垂直度。 临时固定和校正可采用方木或管式支撑进行。管式支撑为两端装有螺杆的钢管 ，上端与套在柱上的管箍相连 ，下端与楼板上的预埋件连接。柱子的校正工作应多次反复进行。第一次在起重机脱钩后焊接前进行初校 ；第二次在柱接头电焊后进行 ，以校正因焊接引起钢筋收缩不均而产生的偏差 ；在柱子与梁连接和楼板吊装后 ，为消除荷载和电焊产生的偏差 ，还要再校正一次。此外 ，对细而长的多层框架柱 ，在强烈阳光照射下 ，由于阳面和阴面的温差会使柱子产生弯曲变形 ，因此 ，必须考虑温差对垂直度的影响而采取相应的措施。 3.1.3 柱接头施工 柱接头的形式主要有榫式接头、插入式接头和浆锚式接头三种 ，见图 3。 - 4 - 柱相同。上节柱的吊装须在下节柱最后固定后进行，上节柱吊装在下节柱的柱头上时，上柱与下柱的对位工作应在起重机脱钩前进行，对位方法是将上柱底部中线对准下柱顶部中线，同时测定上柱中心线的垂直度。临时固定和校正可采用方木或管式支撑进行。管式支撑为两端装有螺杆的钢管，上端与套在柱上的管箍相连，下 与楼板上的预埋件连接。柱子的校正工作应多次反复进行。第一次在起重机脱钩后焊接前进行初校；第二次在柱接头电焊后进行，以校正因焊接引起钢筋收缩不均而产生的偏差；在柱子与梁连接和楼板吊装后，为消除荷载和电焊产生的偏差，还要再校正一次。此外，对细而长的多层框架柱，在强烈阳光照射下，由于阳面和阴面的温差会使柱子产生弯曲变形，因此，必须考虑温差对垂直度的影响而采取相应的措施。3.1.3 柱接头施工柱接头的形式主要有榫式接头、插入式接头和 式接头三种，见图 3。图 3 柱接头形式注：(a)榫式接头；(b)插入式接头；(c)浆锚式接头1.榫头；2.上柱外伸钢筋；3.坡口焊；4.下柱外伸钢筋；5.后浇混凝土接头；6.下柱杯口；7.下柱预留孔 1）榫式接头。见图 3a，上柱下部有一榫头承受施工荷载，上柱和下柱外露的受力钢筋用坡口焊连接，并配置一定数量的箍筋，最后浇灌接头混凝土形成整体；2）插入式接头。见图 3b，上柱下部做成榫头，下柱顶部做成杯口，上柱插人杯口后用水泥砂浆灌注填实。这种接头不需焊接，吊装固定方便；3）浆锚式接头。见图 3c，将上柱伸出的钢筋插入下柱的预留孔内，然后用水泥砂浆灌缝锚固上柱钢筋，形成整体。  3.2 梁、板的吊装                   （a）                                （b）                            （c）图 3 柱接头形式注 ：（a）榫式接头 ；（b）插入式接头 ；（c）浆锚式接头1. 榫 头 ；2. 上 柱 外 伸 钢 筋 ；3. 坡 口 焊 ；4. 下 柱 外 伸 钢 筋 ；5. 后浇混凝土接头 ；6. 下柱杯口 ；7. 下柱预留孔 1）榫式接头。见图 3a，上柱下部有一榫头承受施工荷载 ，上柱和下柱外露的受力钢筋用坡口焊连接 ，并配置一定数量的箍筋 ，最后浇灌接头混凝土形成整体 ； 2）插入式接头。见图 3b，上柱下部做成榫头 ，下柱顶部做成杯口 ，上柱插人杯口后用水泥砂浆灌注填实。这种接头不需焊接 ，吊装固定方便 ； 3）浆锚式接头。见图 3c，将上柱伸出的钢筋插入下柱的预留孔内 ，然后用水泥砂浆灌缝锚固上柱钢筋 ，形成整体。 3.2 梁、板的吊装 框架结构的梁有一次预制成的普通梁和叠合梁两种 ，叠合梁上部留出 120mm~150mm 的现浇叠合层 ，以增强结构的整体性。 框架结构的楼板多为预应力密肋楼板、预应力槽形板和预应力 空心板等。楼板一般都是直接搁置在梁上 ，接缝处用细石混凝土灌实。其吊装方法与单层工业厂房基本相同。 梁与柱的接头形式做法很多 ，常见的主要有明牛腿式刚性接头、齿槽式接头和整体式接头等。 明牛腿式刚性接头在梁吊装后 ，只要将梁 端预埋钢板和柱牛腿上的预埋钢板焊接后，起重机即可脱钩，然后 进行梁与柱的焊接。这种接头安装方便 ，节点刚度大 ，受力可靠 ，但牛腿占据了一定空间 ，多用于多层厂房。 齿槽式接头是利用柱接头处的齿槽来传递梁端剪力的。梁吊装时搁置在临时牛腿上 ，由于搁置面积较小 ，为确保安全 ，须将梁一端的上部接头钢筋焊好两根后起重机才能脱钩。 整体式接头 ，柱每层一节 ，上柱带榫头 ，梁搁在柱上 ，梁底钢筋按锚固要求向上弯 起或焊接 ，在节点核心区安装箍筋后 ，浇筑混凝土。第一次浇筑至楼板面 ，待混凝土强度达到 10N/mm2 以上后 ，吊装上柱。上柱与下柱的钢筋采用搭接连接 ，搭接长度为20d，然后第二次浇筑 混凝土到上柱的榫头上部 ，留 35mm 左右的空隙 ，用细石混凝土捻缝。 4 结论综上所述 ，装配式框架结构的全部构件一般先在工厂或现场预制 ，然后用起重机械在现场安装成整体 ，这种方法不仅可以节约建筑用地 ，施工速度快 ，节约模板材料 ，更提高建筑的工业化水平 ，值得推广应用。参考文献[1]高芳箴.工业装配式框架体系在住宅建筑中的应用[J].住宅科技，1985(8).[2]刘歌青，石永久，王元清，等.纯框架体系在多层轻钢住宅中的应用研究[J].工业建筑，2002(12).传动比误差 |Δi'|<0.06。根据 Matlab 中 M 文件的语法规则编制优化问题的目标函数文件（.m）、非线性约束函数文件（.m），在 Matlab 命令窗口中调用优化程序 ，运行后可以得到优化结果。优化前后行星齿轮减速器参数（圆整后）见表 1。参数 Za Zb Zc m b/mm V/cm3原设计 23 24 70 6 80 6614.9优化后 22 20 62 6 80 5117.1      表 1  优化前后参数比较由 表 1 可 以 得 到 优 化 后 传 动 比 误 差 为 ： 10 21 4 32( ) 03 Fa Sa FPTg x Y Y Yx x x εσ= − ≤ ，满足要求 ，并且各齿轮的齿数普遍减少 ，使优化后行星齿轮减速器的体积由 6.6149×10-3 降至 5.1171×10-3，比采用常规设计的体积明显减小。5 结论建立了包括内齿圈体积在内的行星齿轮减速器体积最小的目标函数 ，使优化数学模型更全面且符合实际。在保证运动精度和机械结构强度要求的情况下 ，通过基于 Matlab 优化工具箱的可靠性优化设计 ，使行星齿轮减速器的体积减小了 22.6%。参考文献[1]胡欢.基于MATLAB的装载机轮边减速器计算机辅助优化设计[J].装备制造技术，2008(7).[2]胡青春.两级行星齿轮传动系统多目标优化设计研究[J].现代制造工程，2008(3). [3]苏金朋，阮沈勇.MATLAB实用教程[M].北京：电子工业出版社，2008.[4]濮良贵，等.机械设计[M].北京：高等教育出版社，2004.[5]徐绍华.双级NGW型行星轮系的优化设计[J].现代制造工程，2004(1).（上接第81页）5月下.indd   83 2011/5/26   11:39:46

行星齿轮减速器可靠性优化设计研究

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