王应明，罗英.广义加权对数比例平均组合预测方法研究.数理统计与管理，1998，17（4），36~4

王应明

罗英

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广义加权对数比例平均组合预测方法研究 王应明　　罗英(厦门大学系统科学系·厦门 , 361005)摘　要　　　王应明 ,罗英 .广义加权对数比例平均组合预测方法研究 .数理统计与管理 , 1998, 17( 4) , 36～ 40.本文提出一类广义加权对数比例平均组合预测新方法 ,新方法比传统的组合预测方法更具有优越性 ,能取得更好的组合预测效果。关键词　组合预测 ,参数估计 ,对数比例平均 ,二次规则一、引言组合预测是预测理论研究的重要的内容 ,由于能有效地提高预测精度 ,因而受到国内外预测界的广泛重视。根据预测模型组合方式的不同 ,组合预测一般可分为线性组合预测和非线性组合预测两大类。 由于线性组合预测比较简单 ,故而研究成果最多 ,目前已取得丰硕性研究成果 ,也最为人们所常用 ;至于非线性组合预测 ,除加权几何平均组合预测和加权调和平均组合预测外 ,几乎较少研究 ,这主要是因为难以寻找到比较有效的非线性组合形式。事实上 ,非线性组合预测在某些情况下比线性线合预测还要有效 ,例如针对本文例 1的预测实例 ,加权几何平均组合预测就比加权算术平均组合预测更有效 ,但这还不是最有效的组合形式 ,更有效的组合预测形式是本文所要介绍的广义加权对数比例平均组合预测。二、广义加权对数比例平均组合预测模型及参数估计设某一预测问题在某一时段的实际值为 yt ( t= 1, 2,… ,n )对此预测问题有 m种可行的预测方法 ,其预测值或模型拟合值分别为 f t j ( t= 1, 2,… ,n; j= 1, 2,… ,m ) ,又设 m种预测方法的加权向量为 W= (W 1 ,W 2 ,… ,Wm ) T ,且满足归一化约束条件和非负约束条件 ,即eTW = 1 ( 1)W≥ 0 ( 2)其中 eT ( 1, 1,… , 1)。根据笔者在文献 [1]导出的广义加权对数比例平均法计算公式 ,令y t = e〔 Emj= 1Wj( lnft j) 2p /Emj= 1Wj( lnf tj )p〕1 /p= exp{〔Emj= 1Wj ( lnf tj ) 2p /Emj= 1W j ( lnf tj )p〕1 /p }　　 t = 1, 2,… ,n; p≠ 0( 3)其中 , y t为 m种可行预测方法在 t时刻的广义加权对数比例平均值 , p为非零可调参数 ,针对34 数理统计与管理 17卷　 5期 1998年 9月 收稿日期: 1996年 10月 18日DOI : 10. 13860 /j . cnki . sl tj . 1998. 05. 007不同的预测问题可取不同的参数值。公式 ( 3)即为本文所要讨论的广义加权对数比例平均组合预测模型。由于 p是模型的可调参数 ,因此 ,模型 ( 3) (即公式 ( 3) )实质上是包含了一类无限多非线性组合预测形式在内 ,可通过对模型参数 p进行寻优处理 ,从而能够获得最佳的非线性组合预测形式 ,取得较好的组合预测效果。为了便于对模型 ( 3)进行参数估计 ,将 ( 3)式两端取对数 ,有lny t = 〔Emj= 1Wj ( lnf tj ) 2p /Emj= 1W j ( lnf tj )p〕1 /p　　 t = 1, 2,… ,n ( 4)此式等价于( lny t )p = Emj= 1W j ( lnf tj ) 2p /Emj= 1W j ( lnf t j ) p　　 t = 1, 2,… ,n ( 5)亦即( lny t ) pEmj= 1Wj ( lnf tj ) p = Emj= 1W j ( lnf tj ) 2p　　 t = 1, 2,… ,n ( 6)由此可得到Emj= 1W j ( lnf tj ) p〔 ( lny t ) p - ( lnf tj ) p〕 = 0　　 t = 1, 2,… ,n ( 7)很显然 ,如果不考虑预测误差的存在 ,在理想的情况下应有下式成立:Emj= 1W j ( lnf tj )p〔 ( lnyt )p- ( lnf tj )p〕 = 0　　 t = 1, 2,… ,n ( 8)但事实上 ,由于预测误差的客观存在性和不可避免性 , ( 8)式在通常情况下是不成立的。为此引入误差项Xt ( p ) = Emj= 1W j ( lnf tj ) p〔( lnyt ) p - ( lnf tj ) p〕　　 t = 1, 2,… ,n ( 9)令f～t j (p ) = ( lnf tj )p〔( lnyt )p- ( lnf tj )p〕　　 t = 1, 2,… ,n; j = 1, 2,… ,m ( 10)则 ( 9)式用向量形式可表示为Ep = F～pW ( 11)其中 Εp= (X1 ( p ) ,X2 ( p ) ,… ,Xn ( p ) ) T ,F～p= ( f～t j (p ) )n×m。人们自然总是希望误差愈小愈好 ,为此 ,定义误差性能指标为minJ p = Ent= 1X2t ( p ) = ETp Ep = W T ( F～Tp F～p )W ( 12)于是 ,求解最优组合加权向量 W*等价于求解如下最优化问题minJp = WT( F～Tp F～p )W ( 13)s. t .eTW = 1W≥ 0( 14)( 15)显然 ,这是一个二次规划问题。根据二次规划理论可知 ,该二次规划问题的最优解一定存在 ,且其 kuhn- Tucker条件可表示为( F～Tp F～p )W - λe - U～= 0eTW = 1U～iW i = 0　　 i = 1, 2,… ,mW ,U～≥ 0( 16)( 17)( 18)( 19)35广义加权对数比例平均组合预测方法研究式中　λ为与约束条件 eTW= 1相对应的 Lagrange乘子 , U～= (u～1 , u～2 ,… ,u～m ) T为与加权向量W= (W 1 ,W 2 ,… ,Wm ) T相对应的 kuhn- Tucker乘子 ,e= ( 1, 1,… , 1) T。由于λ无非负约束 ,故可令λ= λ′-λ″,且满足:λ′,λ″≥ 0,λ′· λ″= 0;同时构造辅助线性规划模型 ( ALP )为minJ～= v ( 20)s. t .( F～Tp F～p )W - λ′e+ λ″e - U～= 0eTW + v = 1W ,U～≥ 0,λ′,λ″,v≥ 0λ′与λ″及 u～i与 Wi 不能同时为基变量 ( i = 1, 2,… ,m )( 21)( 22)( 23)( 24)解此辅助线性规划模型 ( ALP ) ,即可得到广义加权对数比例平均组合预测模型的最优组合加权向量 W* 。设定不同的模型参数 p ,可得到不同的最优组合加权向量 W* ,但其中也有一组能使组合预测效果最佳。 最优的模型参数 p也可通过试探法或寻优方法获得 ,此处不再详述。三、组合预测效果评价为了选择最优模型参数 p的需要 ,必须制定一套切实可行的评价指标 ,对组合预测效果进行全方位的综合性评价。 按照预测效果评价原则和惯例 ,本文选择下列指标作为评判准则。1.平方和误差SS E = Ent= 1( yt - y t )2( 25)式中 yt为预测事物实际观测值 ,y 为预测值。2.平均绝对误差MAE =1nEnt= 1yt - y t ( 26)　　 3.均方误差MSE =1nEnt= 1( yt - y t )2( 27)　　 4.平均绝对百分比误差MAPE =1nEnt= 1yt - y tyt( 28)　　 5.均方百分比误差MSPE =1nEnt= 1yt - y tyt2( 29)四、组合预测应用举例本文以文献 [2— 4 ]所给预测实例为例进行广义加权对数比例平均组合预测。已知例 1、例2和例 3原始数据分别取自于文献 [2] [3] [4] ,如表 1所示。广义加权对数比例平均组合预测效果如表 2所示 ,表 2中的 p*为使组合预测效果最佳的模型参数。为了便于比较分析 ,表 2中36 数理统计与管理 17卷　 5期 1998年 9月还同时给出了各单个预测方法及常用组合预测方法的效果评价。　　表 1 预测实例原始数据简表　　 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12例 1yt 14. 9 18. 6 22. 2 17. 6 19. 6 24 31. 6 43. 7 37 47. 2f t1 10 14. 9 23. 3 26. 1 17. 5 20. 2 26. 4 36. 8 52. 5 38. 5f t2 12 15. 48 18. 95 22. 43 25. 9 29. 38 32. 85 36. 33 39. 8 43. 28例 2yt 57. 0 65. 4 75. 4 82. 5 92. 8 102. 7 119. 5 143. 8 169. 7 201. 0 251. 2f t1 54. 52 62. 89 72. 54 83. 67 96. 51 111. 32 128. 41 148. 11 170. 84 197. 06 227. 31f t2 64. 68 66. 74 68. 72 76. 61 88. 42 104. 15 123. 79 147. 35 174. 82 206. 21 241. 51例 3yt 11. 49 13. 06 15. 34 20. 58 23. 28 26. 46 27. 33 34. 22 40. 19 53. 37 77. 79 100. 63f t1 18. 47 14. 54 12. 84 13. 28 16. 15 21. 16 28. 40 37. 87 49. 58 63. 53 79. 00 98. 12f t2 10. 03 11. 23 15. 24 18. 67 27. 78 26. 36 29. 67 27. 40 42. 73 47. 36 71. 00 109. 32　　表 2 预测效果评价简表预测效果评价指标 SSE MAE MSE M APE MSPE例 1个体预测方法 (Ⅰ ) 520. 60 6. 04 2. 28 0. 2251 0. 0825方法 (Ⅱ ) 199. 76 4. 11 1. 41 0. 1696 0. 0599组合预测简单加权算术平均W1= 0. 1158W2= 0. 8842194. 16 4. 05 1. 39 0. 1649 0. 0579简单加权几何平均W1= 0. 2159W2= 0. 7841191. 35 3. 97 1. 38 0. 1590 0. 0561简单加权调和平均W1= 0. 0393W2= 0. 9607192. 71 4. 05 1. 39 0. 1663 0. 0584广义加权对数比例平均( p* = - 0. 32)W1= 0. 1345W2= 0. 8655186. 07 3. 94 1. 36 0. 1602 0. 0563例 2个体预测方法 (Ⅰ ) 795. 59 5. 78 2. 56 0. 0440 0. 0156方法 (Ⅱ ) 338. 25 4. 96 1. 67 0. 0474 0. 0179组合预测简单加权算术平均W1= 0. 1259W2= 0. 8741328. 56 4. 80 1. 65 0. 0443 0. 0159简单加权几何平均W1= 0. 5652W2= 0. 4384449. 04 4. 28 1. 92 0. 0334 0. 0122简单加权调和平均W1= 0. 7017W2= 0. 2983536. 54 4. 53 2. 11 0. 0332 0. 0126广义加权对数比例平均( p* = 2. 98)W1= 0. 1246W2= 0. 8754328. 87 4. 81 1. 64 0. 0444 0. 0160例 3个体预测方法 (Ⅰ ) 401. 56 4. 88 1. 67 0. 1959 0. 0731方法 (Ⅱ ) 245. 58 3. 59 1. 30 0. 0998 0. 0334组合预测简单加权算术平均W1= 0. 4121W2= 0. 587994. 89 2. 34 0. 81 0. 0791 0. 0283简单加权几何平均W1= 0. 2617W2= 0. 7383117. 86 2. 60 0. 90 0. 0737 0. 0242简单加权调和平均W1= 0. 2473W2= 0. 7527126. 06 2. 67 0. 94 0. 0742 0. 0250广义加权对数比例平均( p* = 2. 20)W1= 0. 3915W2= 0. 608596. 04 2. 37 0. 82 0. 0812 0. 0296　　从例 1的评价效果可以看出 ,取得最佳预测效果的模型组合形式 ,并不是比较常用的简单加权算术平均、简单加权几何平均和简单加权调和平均等形式 ,而是取 p= - 0. 32时的广义37广义加权对数比例平均组合预测方法研究加权对数比例平均组合形式 ;例 2的评价效果则表明 ,简单加权算术平均组合预测与广义加权对数比例平均组合预测同时取得了最佳的组合预测效果 ;例 3的评价效果则显示 ,针对此例而言 ,简单加权算术平均组合预测是最佳组合预测 ,广义加权对数比例平均组合预测虽然没有取得最佳的组合预测效果 ,但离最佳组合预测效果已很接近。综合以上分析可以看出 ,广义加权对数比例平均组合预测模型具有广泛的适用性 ,能针对各种不同的预测问题寻优确定模型的最佳组合形式 ,从而能够有效地提高预测精度 ,取得较好的预测效果。参考文献[1 ]王应明 ,傅国伟。 群组预测集结方法研究。 预测 , 1993年 ,第 3期: 42— 45[2 ]周传世 ,罗国民 ,加权几何平均组合预测模型及其应用。 数理统计与管理 , 1995年 ,第 2期: 17— 19[3 ]杨桂元 ,唐小娥 ,马永开。最优加权几何平均组合预测方法研究。 统计研究 , 1996年 ,第 2期: 55— 58[4 ]王应明 ,傅国伟。 基于不同误差准则和范数的组合预测方法研究。 控制与决策 , 1994年 ,第 1期: 20— 28Research on the Technologies of Combining Forecasts Based on theGeneralized Weighted Logarithmic Proportional MeansWang Yingming　　 Luo Ying( Dept . of Systems Science, Xiamen Universi ty)AbstractThis paper propo ses a class of new tech nolog ies of combining fo recasts based on the gen-erali zed w eighted loga ri thmic propo rtional means . Compared wi th the tradi tional technolo-gies of combining forecasts , the new techno logies can obtain the more accurate combiningfo recasting results.Key words: combining forecasts, parameter estimation, log ari thmic propo rtional means,quadra tic prog ramming.38 数理统计与管理 17卷　 5期 1998年 9月

广义加权对数比例平均组合预测方法研究

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