本文研究群组AHP最小二乘排序方法及其算法实现。鉴于不同专家所给判断矩阵质量上的差异,最小二乘排序方法对群组AHP进行不同程度的加权处理,并进行群组一致性检验。This paper studies the least square priority method which is abbreviated to LSM of Group-AHP and its algorithm realization.Because of the diFFerences of the comparison qualities given by experts , the LSM treats the group comparison matrices with diFFerent weights and also makes a group consistency check upon the matrices

王应明

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7 6系统工程与电子技术 9 19 7年群组 AH P最小二乘排序及其算法研究王应明厦门大学系统科学系,3 6 10 0 5摘 要 本 文 研究群 组 A H P 最小 二乘 排序方法 及其算法实现。鉴于 不 同专家所 给判 断矩 阵质 贡上 的差异,最 小 二乘排序方法 对群组 A H P 进 行 不 同程度 的加权处理,并进 行 群组 一 致性检验。主肠词 决策论,矩阵,排队论。S t u d y o n t h e L e a s t S q u a r e P r i o r i t y M e t h o d o f G r o u p一 A H Pa n d I t s A l g o r i t h m Re a l i z a t i o nWa ir g Yl n g m in g肠Pa 叮爪 e n t of 砂: t o m s c ie o c e.X i “ 、 尸。毛产二 i二亡 r : , ltJ,3 6 1 0 0 5A加 tr a e t:T h一5 P a P e r s t u d ie s t he le a s t s q u a r e P r i o r i t y m e t h o d w h ie h 15 a b b r e v 一a t e d t o L S Mo fG r o u p一A H Pa nd i ts a l g o r i l h m r e a li z a t io n.eBe a u s e of t hed i ff e r e n e e s o f t h e e o m p a r i s o n q u a l i t ie sg iv e n b y e x v e r t s, the L S M tr e a t s t h e g r o u p e o m p a r is o n m a t r l e e s w i t h d . ff e r e n t w e i g h t s a n d a ls oma k e s a g r o u p e o n s is t e n e y e h e e k u p o n t h e m a t r l e e s.Ke y w o r d s:G r o u p一A H P,P r io r it y m e t h o d,G r o u p e o n s l s t e n e y e h e e k.1 引 言A H P 作为规划、预测和决策工具 已在我国科学研究和管理决策中得到广泛应用。根据 A H P 原理,A H P 在真正应用于解决实际问题时,其判断矩阵应该是群组判断矩阵而绝非单个的判断矩阵。因此,群组 A H P 在层次分析法理论和 应用研究中具有举足轻重的作用,研究群组 A H P 排序方法 不但能丰富和完善现有的 A H P 排序理论,而且对正 确应用 A H P 很有益处。国 内外学者研究群组 A H P 排序主要提出 了四种方法民:判断矩阵元素的几何平均法和算术平均法以及排序权值的几何平均法和算术平均法。这四种排序方法理论上存在有不少缺陷,笔者在文献〔2〕中有较为详细的论述和评价。本文拟从最优化角度出发,将判断矩阵排序的最小二乘排序方法( L S M )推广应用于群组 A H P 排序。文献 〔3〕的理论分析从合理排序方法所应具备的置换不变性、对称性、相容性和完全协调性等角度证 明了特征向量排序方法 ( E M ) 是一种非理想的排序方法,理论上可以进一步证明 L S M 在这些特性上较 E M 优越,但由于牵涉到高度复杂的非线性求解,因此该方法一直未能进 入 实际应用阶段。本文将重点研究L S M 用于群组 A H P 排序时的具体算法实现,并以仿真实例说明该方法的具体应用。2 群组 A H P 最小二乘方法排序原理设 群组 判断矩阵 A,一 (衅, ), 。(l 一 1,2,…,从 )、群组排序向量 环,一 (环厂, ,环 2,…,环’ 。) r、加权向量 H 一 h(; , h :,一,h,) 丁 并满足归一化约束条件〔 1 )( 2 )一一钊环hl·艺月.同记 集合 D 一 以一 (环’ , ,环厂: , …,环尸 ,)丁}环尸 ,> o 刁 二 l,2,…,, ;艺。· ,一 1 ;,。 1一 ( ,,2, 一 , 。 ,、。:一 { 1,:,少二 斗…,m )。根据判断矩阵定义,若群组判断矩阵 A,l(收稿日期:19 9 杯年 汤月 18 日第 6期 群组 A HP最小二乘排序及其算法研究一砚一代川代ì比任口 :)同时满 足完全一致性条件a万)=a汀,/ a {二, :小 k 任 口,( 3 )则群组判断矩阵 A,l( 任 口:) 同时为一致性判断矩阵。如若 A,彼此相等,则由一致性判断矩阵特性,有a:了,= 环了/环’ ,i,少 e 口1 .l e 口 : ( 4 )然而,由于 专家群组知识结构、判断水平和个 人偏好等众多主客观 因素的差异,要求群组判断矩阵A,l( 任习 : )彼此相等且同时满足完全一致性条件几乎是一件不可能的事。因此,( 4) 式在通常情况下是不成立的,为此引入偏差误差 端’。习, = a :了,一 认厂/ w, ; , 少任 。1 ,l 任 。2( 5 )同时构造加权总偏差函数为G ( 。’) 一 艺h,(艺艺( a J一“ · /” 尸 , , ’ )L ( w. “ , 一 艺艺艺“ , (“ {丁、一 w / w,)’Z一 1刀 ~ 1 ] ~ l+ 2 “ `艺wJ一 l ) ( 1 0 )孤_ , ~份丽一。 , 得2艺艺h,仁̀a;:) W, 、W, , , 、W、1,可’雨 一、气 一 可’可日+ 2又 ~ O ! 〔 口、( 1 1 )上式两端同乘以 W,整理后有夭气 、 林. 尸W少 ) h } 二: 代二洲鲁一 w少司了’)口十 只w 一 。砚一城任 口1( 1 2 )了一 1万一 1 上式两端对;求和,得一 艺万艺 a( 万一 试 ),认几 寻, 若,芍, , 。W._环尸.W.W.(6) 会白介hlL 可(硕 一“ : ’ 一 斌 (斌一 a ;了)二二 “艺“’ ,一( 1 3 )将大括号内第二项的下标:和 J 对调,则由此可导得 几一 。,于是,( 1 2) 式等价于城一以显然,偏差函数 G ( w ) 总是愈小愈好,因此,合理的排序向量 W’应使 G ( W`)最小,由此导 出的排序方法称为 L S M,亦即) m in G 〔W ) 一 、,兮兮人 a( 尸( L S M ),闷 一 环,./环’.)2( 7 ){s·t·乙环 一 l ( 8 )若从最优化角度考虑,L S M 显然是 个带有约束项的非线性最小二乘问题,故而传统的求解方法通常借助于 Le v e nbe r g 一 Ma r q u a r d t 或 Le v e nbe r g 一Ma r q u a r d t F le t e h e r 算法,如 文献仁4 ]在求解 L S M时就借用了 Le v e n be r g 一 Ma r q u a r d t 算法 (阻尼最小二乘方法 )。此类算法不但编制程序复杂,而 且计算工作量大,难以推广应用。此处笔者根据文献 [ 5 ]最小偏差法求解思路导出一种简洁的收敛性迭代算法.它能克服传统求解方法的不足。定理 l 偏差函数 G ( W )在 D 中存在最小值点 W’ ,并且 W`是下列方程组在 D 中的解。客客h了〔畏`畏一: ’ -(黔一、 ,二一 。任 习l( 1 4 )可见,W`是方程组 ( 9 )在 D 中的解。由于方程组 ( 9) 是一组非线性方程组,为求解w’ ,可按如下算法步骤进行迭代。( 1 )取定 初始排 序 向量 w ( 0 ) 一 ( W,( o ),wZ( 0),…,w.( 0) )T 任 D.并给定迭代精度: ,同时置 k一 o。由于 w’不具有唯一性,为收敛到全局最优解,通常可取W ( 0 ) 一( 2 )计算艺艺衅 /艺艺艺a 护 “ 几少~ 1 1 ~ 11一 I J ~ 1客补贷畏一 衅 , 一斋`斋一 a ;:,) ] 一 0 1 任 。1( 9 )关于 W`的存在性证明可参阅文献仁6皿命题 1,但 W’不具有唯一性,此处仅证明 W’满足方程组( 9 )。事实上,由于 w’满足归一化约 束条件 ( 8) 式,故作 La g r a n g e 函数” `“·“ , , 一客客“ 了[箫`黯一::) )一豁`黯 一; ,)小。 。1如果对所有; 任 习、 恒有 }夕 ( W (k ) ) {(。成立,则算法终止,W`一 w ( k );反之,转步骤 ( 3 )。( 3 )确定 口使 叭 (认厂( k ) ) {一一},并令ma x { {7 (环,( k ) ),〔 。 z系统工程与电子技术 1 9 97年( ) kT( k) W、( k)环’( k)一 q笋 q( k二 1)一 X( k, “艺X (k )戈W|,|式中 T k( )为偏差 函数 G ( X ( k ) 的最小值点。理论上可 以证明,T (k )为下列 四次方程的非负实根a t 4 + b t3 丰 d t 斗 尸 一 0 ( 1 5 )其中_ 今夸儿,`竺宝进〕):台留一 ` ’W,( k)`艺艺戊`端J一 l )笋 ,垫互(丝 )体/( k )’( 1 6 )一 艺艺` 了( “貂丝二丝、W、( k )`客卦(豁,“口bd￡z|l||es之l||从方程系数a , b,d, 尸的符号可知,上述四次方程必然存在非负实根,根据四 次方程求根公式 ( 7) 可以很方便地求解其非负实根,若非负实 根不唯 一,则取使偏差函 数 G ( X (k ” 达到最小的 t 值为 T ( h )。此外,丁 ( k) 还可以根据下列公式进行迭代求解…:“bt 尹一 :毕 >。川卜 a( 1 7 )at 尹_ 1直 至满足 」at`+ bt “ + dt +f {毛。为正。( 4 )令 k 一 k + 1,转 ( 2 )定理 2 上述迭代算法对任意。> 。 收敛。证明 按照算法步骤 (3 ),将 W ( k) 修改成 w( k 斗 1 ),考察偏差函数 G 〔W )的变化过程。设 t > 。,令。( r ) = G ( X ( k ) ) ~ G (环尹 ,( k ),…,环尹、 一 z ( k ),Iw。( k ),W, 一 ( k ),…,环产,( k ) )一 艺万*`;a( 夕万艺h 宕a( 片亡~ 1 少铸 ,一箫, 2 +揣,2+ 艺艺艺 hl( 衅 -竺述丝 、:Wz( k )`产+a~ 一 e t/2一 Zd t/ + Z bt ++ 万艺h了仁端。 ` “ 梦了之 l ]笋 q丝丛 2、 2:W,( k )` “艺 a( 护 -( 1 8 )由: ` ( t) 一 。 整理后得到a t 4 + b t 3 屯 d r 未 e = 0 ( 1 9 )因 T k( )是偏差 函数 G ( X ( k ) 的最小值点,故当 T( k )一 1 时必有a + b 二 d 杏 e = O ( 2 0 )将定义式 ( 1 6) 代入后容易证得,上式等价于叭 (环厂( k ) ) = 0 ( 2 1 )由于 q 是使 一7 ( w (k ) ) 一达到最大的下标变量,故对所有 i 任口1 ,此时恒有甲`(认厂( k ) ) 一 O ! 任 日: ( 2 2 )根据定理 1,算法 已经收敛,W`一 w ( k );反之,若T ( k )共 1、则必有r(丁 ( k ) ) <r( l ) ( 2 3 )由于: ( 1) 一 G ( w ( k ) ).又 G (认’)是齐 次函数,故有r ( T ( k ) ) 一 G ( X ( k ) ) 一 G (怀厂( k ` 1 ) ),因此,( 2 3 )式等价于G (认 ( k 小 1 ) ) < G (环甲( k ) ) ( 2 4 )此式表明,{ G ( W ( k ) ) {是单 调下 降 序列。由 于G ( W )是非负函数具有下确界,根据数学分析原理可知,单调下降的有界序列 必然收敛。[证毕口通常,在群组判断的情况下,仅有 W`是不够的。人们往往还希望能够知道与 、 个群组判断矩阵等价的一致性综合判断矩阵是什么 ? 因此,在得到群组排序向量 W’之后,还可以令a二一 W`/ W j’ :,j 任 习 1 ( 2 5 )则 A’一 a( 二), 、 ,即为最小平方和准则下与 m 个群组判断矩阵等价的一致性综合判断矩阵,其功能相当于一个“理想”专家对同一事物所作的理 想判断。3 群组 A H P 满意一致性检验对于群组 A H P 而言,由 于专家知识结构、判断水平和个人偏好等众多主客观因素的差异,不 同专家所给判断矩阵的质量必然也各不相同,有些专家所给判断矩阵质量较好,有些专家所给判断矩阵质量则可能相对较差。因此,为衡量和评估专家判断质量的好坏,必须对群组 A H P 进行满意一致性检验。在 1 9 9 2 年全国第二届 A H P 学术年会上,有学者曾提出:在对群组判断矩 阵进行综合之前,首先应该对各单个的判断矩阵进行满意一致性检验。笔者认为,这种做法没有意义。理 由很简单,因为在群组判断的情况下,专家排序的结果有时往往也会相互矛盾。举例来说,尽管某位专家所给判断矩阵的一致性可能会很好甚至 可以做到完全一致性,但第 6期 群组 AHP 最小二乘排序及其算法研究ǐ叫州引川刹幻 |l钊 |1 7 |J I 5 235 43 1 21/ 3 1 1/ 21/ 21 2l / 5 1/ 3 1/ 34 5 34 3 11/ 4 1 11/ 3 1 11/ 6 1/ 5 1/ 71/ 23 2n jl连办工门了11 2才 泞/./产 /厂日卜以 |口 |一A1/ 21/45 38 22/ 6厂 |以日 |口;曰匕卜 |一是,如若此位专家所给判断矩阵的排序与其它所有专家所给判断矩阵的排序发生“倒序”或“逆序”现象,按照决策理论中的多数票规则或者少数服从多数原则来讲,这位专家所给判断矩阵显然是不可取的。但是由于这位专家所给判断矩阵相对于其自身排序向量的一致性很好,因此,依靠检验判断矩阵自身一致性的方法根本识别不出此位专家所给判断矩阵质量的好坏。由此可以看出,对群组判断矩阵检验其自身的一致性,功效甚微、意义不大。科学的检验和衡量方法应该是对群组判断矩阵相对于群组排序向量 W`进行一致性检验,具体检验公式为〔a忿,蔽是不1熏,〔+ a护豁一 幻竺W厂l 〔 口 251/ 1幻 |引||5川迁且19曰é已」八jl卜d //11才z沙= C l,/ R l (n ) l 任 口 2( 2 6 )( 2 7 )1 5 11 / 5 1 21 1 / 2 1l / 2 2 1 / 53 5 21 1 3CtIR了J 1|、lL夕曰亡dAJnOg九b1`z沙/才了/9月12/了/111, ..11夕目八匕,dgJO乙巴JA`OU1122了J/才/户/沙人222了1.厂|巨以|匕卜口|口一A式中,R l ( n) 仍取 T.L.S a yt 教授用随机特征向量方法求得的平均随机一致性指标值,具体数值可参阅文献 [ 8 ]第 13 页。群组一致性检验严格遵循多数票规则。至于一致性比例 C R,究竟取多少作为可接受的满意准则,还有待于进一步研究。如若 C R了不满足满意一致性检验准则,则判断矩阵 A`也未必非要反馈给专家本人进行调整,这不但浪费时间,而且也耗费专家精力。简洁的办法可以首先找出判断矩阵中的错误元素,然后作为一个不完全判断矩阵进行处理,对此,笔者在文献「9 ]中已有专门论述 ;其次,可以采取加权的办法进行综合,对一致性比例 C R`较差的判断矩阵赋予较小的加权系数,亦即取l l1 / 3 1 / 41 / 2 1 / 52 61 11 / 2 1 / 3首先令 h, ~ 1 6/,l 一 1,2,…,6 ; 采用等权方法进行群组排序,得到{= e x P (一 “ C R `一 彻万 礼a) l,l 任 刀 :l 任 口 2( 2 8 )( 2 9 )川队|旧尸比四际加权综合的结果可以增强优质判断矩阵在群组排序中的作用, a取值愈大, “劣质”判断矩阵在群组排序中的作用愈小 ;当a大到一定程度之后,劣质判断矩阵在群组排序中几乎不起作用。.4 2 2.2 6 9.1 0 3.1 4 3.0 6 04 应用举例为检验 L SM 在处理 A H P 群组决策中的有效性,现 以六名专家对某一事物所作判断矩阵为例进行仿真计算。己知.0 0 0 0.6 3 8 8.2 4 4 4.3 4 0 8.1 4 4 21.5 6 5 41.0 0 0 00.3 8 2 50.5 3 3 50.2 2 5 84.0 9 2 22.6 1 4 21.0 0 0 01,3 9 4 70.5 9 0 22.9 3 4 21.8 7 4 40.7 1 7 01.0 0 0 00.4 2 3 26.9 3 3 44.4 2 9 21.6 9 4 32.3 6 3 01.0 0 0 0C 尺1 “ 0.0 5 0 8 C RZ = 0.2 0 3 5 C R 3 = 0.3 0 0 680系统工程与电子技术 9 9 17年C R` =0·4 9 67 C RS ~0.13 7 6C R6一 0.0 5 2 8显然,专家 3 和专家 4 判断质量较差,为此考虑 采用加权方法重新进行综合。令友一exP ( 一ZC R : ) ( l ~ 1,2,…,6 ),归一化后得到加权向量为 H~ ( 0.2 1 4 2,0.1 5 7 8,0.1 3 0 0,0.0 9 2 7,0.1 8 0 1,0.2 52 )丁 ,于是由加权方法可得到群组判断矩阵的最终排序向量 W`和一致性综合判断矩阵为C R` = 0.4 9 9 9 C RS = 0.1 3 5 6 C R 。 = 0.0 2 3 0从六位专家所给判断矩阵的满意一致性指标可 以看 出,专家 1 与专家 6 所给判断矩阵质量最好,专家 2 与专家 5 次之,专家 3 与专家 4 所给判断矩阵质量相对来说最差。0.4 2 2 32 7 6 20.0 9 8 81 4 3 80.0 5 8 91.0 0 0 06 5 4 10.2 3 4 10.3 4 0 50.1 3 9 41.5 2 8 81.0 0 0 00.3 5 7 90.5 2 0 60.2 1 3 14.2 7 2 22.7 9 4 51.0 0 0 01.4 5 4 70.5 9 5 52,9 3 6 91,9 2 1 00.6 8 7 41.0 0 0 00.4 0 9 47.1 7 3 74.6 9 2 31.6 7 9 12.4 4 2 61.0 0 0 05 结束语本文针对 A H P 应用时即群组判断的情形,研究和推广了层次分析中的 L S M,使之适用于群组A H P 排序并给出其收敛性迭代算法。与现有的群组 A H P 排序方法相比,L S M 虽计算复杂了些,但计算精度和排序结果的可靠性均有提高。由于L S M 是对所有群组判断矩阵同时进行求解,其计算量大约相当于求解一个判断矩阵,而不是单独对每个判断矩阵分别求解,故而从总的计算时间考虑L S M 排序方法不比其它群组排序方法差。因此,可认为 L S M 不失为一种处理 A H P 群组决策的好方法。C R I = 0.0 4 8 9 C RZ = 0.2 0 0 4 C R3 ~ 0.3 0 3 5参 考 文 献贾鸿勋 群组判断在层次分析法中的应用.决策与层次分析法,1 98 9 (1 ):43 ~ 50王应明.地区工业综合评价方法研究.东南大学管理学院博士学位论文,1 99 1贾兰香,陈宝谦.层次分析决策方法排序问题的一般性质.南开大学学报 ( 自然科学版 ),1 9 91 ( 2):19 ~ 28K r o v a k J.R a n k in g a l t e r nat i v e s一 e o m p a r i s o n o f d i ff e r e n t m e t h o d s b a s e d o n b in a r y e o m p a r i s o n m a t r i e e s.E u r o p e a nJo u r n a l o f O p e r a t i o n a l R e s e a r e h,1 9 8 7,32 ( l ):8 6 ~ 9 5陈宝谦.层次分析的两种新排序方法.系统工程学报,1 9 90,5 ( 2):43 一 51蒋正新,魏抱湘.成对比较矩阵的一种逼近.北京航空航天大学学报,1 9 8 9 (3 ):3 ~ 37数学手册编写组.数学手册.人 民教育出版社,19 79:90王连芬,许树柏.层次分析法引论.中国人民大学出版社,1 9 9。:13王应明,傅国伟.判断矩阵错误元素的识别及调整方法研究.系统工程与电子技术,1 9 92,14 (6 ):68 ~ 74(上接第 75 页 )参 考 文 献王永庆.人工智能原理、方法、应用.西安交通大学出版社,19 94:7 ~ 12曹琦.人机工程.四川科学技术出版社,1 9 89:19 一 21戴汝为,王任.智能系统的综合集成.中国科学院自动化研究所人工智能实验室,1 9 9 3胡守仁.神经网络应用技术.国防科技大学出版社,1 99 2M e d s k e r L a r r y R.H y b r id N e u r a l N e t w o r k a n d E x p e r t S y s t e m.K l u w e r A e a d e m i e P u b li s h e r s,1 9 9 4:1~ 1 0F o r s lu n d G r a n.T o w a r d C o o P e r a t i o n A d v ie e 一 G i v in g S y s t e m s.I E E E E x p e r t,1 9 95:5 6一 6 2国家自然科学基金委员会.计算机科学技术一自然科学学科发展战略的调研报告.科学出版社,1 9 9 4戴汝为.人机结合的大成智慧.模式识别与人工智能,1 9 94,7 ( 3):18 1~ 18 9

Study on the Least Square Priority Method of Group-AHP and Its Algorithm Realization

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