本文以fP同伦方法为工具，借助于一些适当的变换，研究有序的（b）空间中的集值映象方程的多正解问题；在文中的有关工作中，还使用了集值映象的拟导数的某些性质.In the paper, under several suitable transFormations, the problem of multiple positive solutions For set valued mapping equation in an ordered (B) space is studied by the Fp homotopy method.And some properties of quasi derivative of set valued mapping are used in the related works of the paper

杨书郎

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第 40卷第 5期1997 年 9 月　数　　学　　学　　报ACTA MATHEMATICA SIN ICAVol.40 , No.5　Sept., 1997关于多正解问题的某些研究杨书郎(厦门大学系统科学系 厦门 361005)摘要　本文以 fp-同伦方法为工具 ,借助于一些适当的变换 ,研究有序的(B)空间中的集值映象方程的多正解问题;在文中的有关工作中 ,还使用了集值映象的拟导数的某些性质.关键词 　fp-同伦方法 ,集值映象方程 ,多正解MR(1991)主题分类 47H04 , 47H09中图分类　O177.91Some Studies for the Problem of Multiple Positive SolutionsYang Shulang(Department of Systems Science , X iamen University , Xiamen 361005 , China)Abstract In the paper , under several suitable t ransformations , the problem of multipleposi tive solutions for set-valued mapping equat ion in an ordered(B)space is studied bythe fp -homotopy method.And some properties of quasi-derivative of set-valued map-ping are used in the related works of the paper.Keywords fp -homotopy method , Set-valued mapping equat ion , Multiple positive solu-tions1991 MR Subject Classification 47H04 , 47H09Chinese Library Classification O177.91收稿日期:1996-05-03 , 修改日期:1996-11-01 , 接受日期:1997-02-241　引言如所周知 ,有关集值映象方程θ∈ T 1(x)-x (1)的正解(或非零解)和多正解(或多解)问题的研究 ,有着重要的理论和应用价值.长期以来 ,在这个邻域的研究中 ,一般都是使用不动点指数(或拓扑度)为工具.这时需进行有关指数(或度)的计算 ,这方面 ,人们较常借助于映象的导数(如:Frechet导数或一些其它意义的导数(如[ 2 , 6 , 7]等))的性质.此外 ,人们也注意开发其它工具.在[ 8 , 9]等工作中 ,成功地使用 fp-同伦方法(自 Schaefer等以来 ,它一直被作为研究解的存在性问题的工具(见[ 5])),代替不动点指数和拓扑度 ,研究了正解和非零解问题.这些工作表明 , f p-同伦方法也是研究正解和非零解的简便而有效的工具.本文将进一步表明 , fp-同伦方法可开发成研究多正解和多解问题的简便工具.本文通过一些适当的变换 ,采用一些有趣的技巧 ,利用 fp-同伦方法 ,研究了集值映象方程的多正解问题 ,建立了若干在非线性分析的理论和应用中有意义的结果 ,它们从质的方面 ,发展了[ 2 , 6-9]的工作.2　预备本文使用的某些符号的意义如下:X :=(B)空间;K :=X 中的闭凸锥;K。:=K  {θ};≤:=X 中由K 导入的半序;Ψt:=B(θ, t):={x ∈X ;‖ x ‖ <t};Ak , AK :=A ∩K ,  A ∩K ;2X =X 的不空子集族;cf(E)、B(E)、K(E):= E 的不空的闭凸 、有界 、紧的子集族;α(·):=X 中的非紧性测 度;I:=[ 0 ,1] ;对于二元映象 F(x , t)(x ∈E , t ∈ I),记映象 F t(x):=F(x , t), F I(x):=∪t ∈ IF(x , t);conv (A ∪B):=A ∪B 的凸包 , conv(A , b):= conv(A ∪{b});E 1:=实数全体.本文中涉及的某些概念如下:定义 1 设 E 是X 中的一个闭的θ邻域 ,又设 F:EK ×I ※2X 和 f:EK ※2X.(1.1)F 称为K 映象如果([ 5 , 8 , 9]), F 是个点闭凸的闭映象.(1.2)设 A 是θ的闭凸邻域且 A E.i)f 称为满足(边界)条件(XC ,  AK)如果([ 8]),y ≥/ x 　(x ∈  Ak , y ∈ f(x) A). (2)　　ii)对某 w ∈K。, f 称为满足(边界)条件(XQ , A , w)如果([ 8]),y ≮ x(x ∈  A ∩ L(w), y ∈ f(x)), (3)L(w):={x ∈ K ;有 β >0使 x ≥βw}. (4)　　在[ 8]中 ,避开不动点指数和拓扑度 ,而用 fp-同伦方法建立了有关方程(1)的正解问题的几个结果 ,其中包括如下的:命题 1([ 8 ,定理 2.4])设 1)θ的闭凸邻域C 、D 和数 r0 ∈(0 ,1)使得 D  r0C;2)T 0:CK※ cf(K)满足边界条件(XC , CK),且对某 w ∈K。, T 0还满足边界条件(XQ , D , w);3)K 映象 T :CK ×I※cf(K)使得 T I 是个广义有界的凝聚映象 ,且满足:x  TI(x)(x ∈  CK ∪  DK). (5)则方程(1)在 C0K  D 中有正解.3 　正解问题的进一步结果本节继续[ 8]的工作.不加证明地给出如下的:引理 1 设 1)k ≥0 , C是含θ的凸集 , E  C;2)F :C※2X 是k-集压缩映象;3)泛函 φ:E※E 1使对某 M ≥m >0有 φ(x)∈[ m , M] (x ∈E).则如下的映象 H :E ※2X 也是个 k-集压缩772　 数　　学　　学　　报 40卷映象:H(x):=φ(x)-1 ·F(φ(x)x)(x ∈ E). (6)　　现设 R >r>r 0>0 ,记 C:= ΨR , D := Ψr , G:= Ψr 0 , Ψ(1):=C0 D 和 Ψ(0):=D 0 G.同时 ,又构造泛函 φ0 、 φ: Ψ(1)K ※E 1和映象 Υ: Ψ(1)K ※X 如下:φ0(x):=1R -r[ (r0 -r)‖ x ‖ +r(R -r0)] (x ∈  Ψ(1)K ), (7)φ(x):=φ0(x)/ ‖ x ‖ (x ∈  Ψ(1)K ), (8)Υ(x):=φ(x)x (x ∈  Ψ(1)K ). (9)现在 ,不加证明地给出如下的:引理 2 设 Υ: Ψ(1)K ※X 定义如(9).则 Υ是个连续映象 ,且满足Υ(x)∈ GK 　(x ∈  Ck),= x 　　(x ∈  Dk),∈  Ψ(0)K 　(x ∈  Ψ(1)K ).概念(10)　　定理 1 设 1)w ∈K。, r>r0>0;记 D := Ψr和G:= Ψr0;2)T 0:DK ※cf(K)满足(边界)条件(XC ,  GK)和(XQ ,  D , w);3)K 映象 T :DK ×I ※cf(K)使得 T I 是个 k-集压缩映象(这里 , k ∈[ 0 ,1)),且满足x  T I(x)(x ∈  DK ∪  GK). (11)则方程(1)在 D 0K  G 中有正解.证明 1°.取 R >r ,记 C:= ΨR 和 Ψ(1):=C0 D ;又构造映象 Υ: Ψ(1)K ※K 和泛函:φ Ψ(1)K ※E 1 如(8)和(9)所示.利用它们和 T ,进一步构造映象 H:CK ×I ※cf (K)如下:H(x , t):=T(x , t)　　　　　　　(x ∈ D 0k , t ∈ I),φ(x)-1 · T(Υ(x)t), 　(x ∈  Ψ(1)K , t ∈ I).f(12)　　2°可以证明 ,上述 H 满足前面命题 1中关于 T 的所有条件限制.于是 ,据命题 1 ,有 x ∈C0K D ,使得 x ∈ H 1(x)=φ(x)-1·T 1(Υ(x)).现令  x :=Υ(x).则得 , θ∈ T 1( x)- x 和 x ∈D0k G ,即 ,  x 是方程(1)在 D0K  G中的一个正确.证毕.定理 2 设 i)定理 1的条件 1)和 2)均被满足;ii)K 映象T :DK ×I ※cf(K)满足(11),且使得 T I 是个凝聚映象.则方程(1)在 D0K  G 中有正解.证明 设定理的结论不真 ,即设 θ T 1(x)-x , (x ∈D0K  G),这时:1°可以证明 ,有 ε1 ∈(0 ,1)和 ε0 ∈(ε1 ,1)使得:　　　　　θ λT 1(x)-x (λ∈(ε1 , 1] , x ∈D0K  G), (13)x  λT 0(x)+βw (λ∈(ε0 ,1] , x ∈ Dk , β≥0), (14)x  λT(x , t)(λ∈(ε0 ,1] , x ∈ Dk ∪  GK , t ∈ I). (15)2°现在 ,任意取定 λ∈(ε0 ,1).这时:i)由于 ω≠θ且D 有界 ,故易证有 β0>0使得β0 w +z ≮ x (x ∈  DK , z ∈ λT 0(x)). (16)还可证明 ,有  r ∈(r0 , r)使得对于 U := Ψr有7735期 杨书郎:关于多正解问题的某些研究 　x  ψ(x)·λ· T(x , t)+(1 -ψ(x))(λT 0(x)+(1 -t)β0 w )(x ∈ DK  U0, t ∈ I). (17)这里 ,泛函 ψ:DK ※I 是定义如下的连续泛函:ψ(x):=1　　　　　　　　　　(x ∈ UK),(r -‖ x ‖)/(r - r)　(x ∈ DK  U).(18)ii)现在 ,对于上述  r 、U 和ψ,构造映象 F :DK ×I ※cf(K)如下:F(x , t):=λT(x , t) (x ∈ UK , t ∈ I),λψ(x)T(x , t)+(1 -ψ(x))[ λT 0(x)+(1 -t)β0 w ] (x ∈ DK  U , t ∈ I). )可以证明 ,F 满足定理 1中关于 T 的所有条件限制.据定理 1 ,有 u ∈ D0K  G 使得θ∈F 1(u)-u.这时 ,若 u ∈ UK ,则据 F 的定义得θ∈λT 1(u)-u ,这和(13)相矛盾;故必定是 u ∈D 0K  U ,但仍由 F 的定义又得u ∈ ψ(u)·λ·T 1(u)+(1-ψ(u))(λT 0(u)+(1-1)β0w ),这又和(17)相矛盾.所以 ,本定理结论必成立.证毕.4　多正解问题前面 ,利用 fp-同伦方法(避开了拓扑度和不动点指数)建立了有关方程(1)的正解问题的一些结果.现在应用它们 ,建立有关方程(1)的多正解问题的一些结果.定理 3 设 1)R >r>r0 , w ∈K。,记 C:= ΨR , D:= Ψr , G:= Ψr0 ;2)T 0:CK ※cf(K)满足(边界)条件(XC , CK), (XC ,  GK)和(XQ , D , w);3)K 映象 T :CK ×I※cf(K)使得 T I 是个凝聚映象 ,且使得x  T I(x)(x ∈  CK ∪  DK ∪  GK). (19)则方程(1)在 C0K 中至少有三个解 ,且其中至少有两个正解.为证明本定理 ,先给出(证明略)如下的引理 3 设 1)R >0 , C:= ΨR;2)F 0:CK ※cf(K)满足边界条件(XC ,  CK);3)K 映象F :CK ×I ※cf(K)使得 FI 是个凝聚映象 ,且使 x  FI(x)(x ∈  CK).则方程 θ∈F 1(x)-x在C0K 中有解.定理 3的证明 考虑 T 在 GK ×I 上的限制F ,则 F 0 满足条件(XC ,  GK).据引理 3 ,方程(1)在集 G0K 中有解 x 0.又考虑 T 在 DK ×I 上的限制 H ,则 H0 满足条件(XQ ,  D , w)和(XC ,  GK).据定理 2得 ,方程(1)在 D 0K  G 中有解 x 1.最后 ,因 T 0满足条件(XC ,  CK)和(XQ ,  D , w),据命题 1 ,方程(1)在 C0K  D 中又有解x 2.当然 ,至少 x 1和 x 2是正的.证毕.进而可得如下的定理 4 设 1)R 、r 、r0 、C 、D 、G 如定理 3所示 ,且 w 1 , w2 ∈ K。;2)T 0:CK ※cf(K)满足条件(XQ ,  C , w 1),(XQ ,  G , w2)和(XC ,  DK);3)K 映象 T :CK ×I ※cf(K)满足(19),且使774　 数　　学　　学　　报 40卷T I 是个凝聚映象.则方程(1)在 C0K 中至少有两个正解.定理 5 设 i)定理 3的条件1)被满足;ii)T 1:CK ※ cf(K)是个满足条件(XC ,  CK), (XC , GK)和(XQ ,  D , w)的凝聚 K 映象 ,且使方程(1)在边界 CK ∪  DK ∪  GK 上无解.则方程(1)在 C0K 中至少有三个解 ,其中至少有两个是正的.定理 6 设 i)定理 4的条件 1)被满足;ii)T 1:CK ※ cf(K)是个满足条件(XQ ,  C , w 1),(XQ ,  G , w2)和(XC , DK)的凝聚 K 映象 ,且使方程(1)在边界  CK ∪  DK ∪  GK 上无解.则方程(1)在 C0K 中至少有两个正解.5　拟可微性和多正解现在应用[ 7]中所引入的有关集值映象的拟可微性和拟导数和它们的有关性质 ,结合前面所得的某些结果 ,继续研究(1)的多解问题.定理 7 设 1)r>0 , D := Ψr, w ∈K。和 k ∈[ 0 ,1);2)T 1:K ※cf(K)是个在 DK 上无不动点的 k-集压缩的K 映象 ,且使 θ∈ T 1(θ);3)T 1 满足条件(XQ ,  D , w);4)T 1 在 a=θ和∞处沿 K 拟可微 ,且相应的拟导数 f 0和 f 1 满足:ki:=sup ‖ y‖ ;y ∈ f i(x), x ∈ Ψ1K关 方 ) <1.则方程(1)在 K 中至少有三个解 ,其中至少有两个是正的.证明 不妨设有  r ∈(0 , r)使方程(1)在  Ψ rK 中无正解 ,即设 x  T 1(x)(x ∈ Ψ rK  {θ}).1°现构造F(i):K × I ※ 2X 如下(i=0 ,1):F(i)(x , t):=T 1(x) (x ∈ K , t =1),f i(x) (x ∈ K , t =0),{ty 1 +(1 - t)y2;y 1 ∈ T 1(x), y 2 ∈ f i(x), ||y1 -y 2||≤ R i(x)　(x ∈ K , t ∈ (0 , 1)).这里 , R 0(x)=sup lim n h (xn , θ);在 K 中 xn ※x)使 , R1(x):=sup lim n h (x n , ∞);在 K 中 xn ※x0K ,其中泛函 h(x′, a):=sup{‖y ‖;y ∈ W(a , x′)}(a=θ, ∞).据[ 7] ,上述映象 F(i)具有如下性质:(i)是点闭凸的 ,即 F(i)(x , t)∈ cf(K);(ii)F(i)是个K 映象;(iii)F(i)I 是 k-集压缩映象;还可得 ,有 R >r> r >r0>0使得 x  F(0)(x , t)(x ∈K ,  x  =r0 , t ∈ I), 和 x  F(1)(x , t)(x ∈K ,   x  =R , t ∈ I).2°现记C:= ΨR 和 G:= Ψr0 ,且构造泛函 ψi(i=0 ,1)如下:ψ0(x):=r -||x ||r -r0(当 x ∈ DK  G0)或:=1(当 x ∈ G0K),ψ1(x):=(R -||x||)/ (R -r)(当 x ∈ CK  D0).　　　容易验证 , ψ0 和 ψ1 均连续 ,且值域在 I 中.进一步构造映象 F :CK ×I※ cf(K)如下:F(x , t):=(1-ψ1(x))F(1)(x , t)+ψ1(x)· T 1(x)　(x ∈ CK  D0),T 1(x) (x ∈  DK),ψ0(x)F(0)(x , t)+(1-ψ0(x))T 1(x)　　(x ∈ D0K).(其中 t ∈ I).可以证明 ,F 满足定理 3关于 T 的所有条件限制.7755期 杨书郎:关于多正解问题的某些研究 　3°根据定理 3 ,有 x 0 , x 1 和 x 2 ∈C0K 使 x i ∈F 1(x i),(i=0 , 1 , 2),且至少 x1 和 x 2 是正的.另一方面 ,故由 F 的定义可见 ,F 1(x)=T 1(x)(x ∈ CK).综合以上则得 , x 0 , x 1和 x 2 均为方程(1)的解 ,且至少(如上所说)x 1和 x 2 是正的.证毕.说明 作为本文的结束 ,请让我们指出:由于定理 7的证明中所用到[ 7]中的有关结果原是对严格集压缩映象所建立的 ,故定理的条件中才讨论 T 1 是严格集压缩映象的情形.进一步考虑的研究表明 ,可以进一步考虑把[ 7]的有关结果推广到凝聚映象 、甚至更广的映象类上去的问题 ,从而今后就有可能考虑把上述定理 7作相应拓展的问题.参 考 文 献1 Precup R.On some fixed point theorems of deimling.Nonlinear Analysis , Theory Methods &Applications, 1994 , 23(10):1315-13202 Petryshyn W V.Fixed poin t theorem s for semidif ferent iable k-set-contractions in ordered Banach spaces.J Math Anal Appl ,1988 , 133(2):297-3053郭大钧.非线性泛函分析.济南:山东科学技术出版社 , 19854张石生.不动点理论及应用.重庆:重庆出版社 , 19845 Smart D R.Fixed point theorems.New York , London:Cambridge Univ Press, 19806杨书郎.关于 Banach空间中一类非线性方程的若干问题.数学学报 , 1995 , 38(3):371-3807 Yang Shulang (杨书郎).Quasidifferentiabi li ty and posit ive solutions of equations for set-valued mappings.Nonlinear AnalysisTheory , Method &Applications, 1995 , 25(5):487-4988杨书郎.关于集值映象方程的一类问题.数学年刊 , 1994 , 15A(6):640-6439杨书郎.关于非零解与固有元的若干问题.数学进展 , 1994 , 23(6):543-550776　 数　　学　　学　　报 40卷

Some Studies For the Problem of Multiple Positive Solutions

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