在k（x）具有较强奇性的情况下证明了奇异非线性两点边值问题正解的存在性．同时提出了一个C1正解存在的充要条件

张中新

杨良梁

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1 9 9 7 年 7 月N o.3吉 林 大 学 自 然 科 学 学 才民AC T A SC IE N T IA R U M N A T U R A l lU M U N IV E R S IT A T IS Jll lN E N SIS第 3 期1 9 9 7一0 7研究简报关于奇异非线性两点边值问题的一点注记杨 良梁 张中新(大庆高等专科学校数学系,大庆 1 6 3 7 1 2) (长春邮电学院基础部,长春 1 3 0 0 1 2)提要 在 k( x) 具有较强奇性的情况下证明了奇异非线性两点边值问题f u“(x ) + k (x )「u (x )1 一a「u‘(x )〕口= 0,( u (0 ) = 0,D u‘(1 ) = u (1 ),正解的存在性.同时提出了一个 Cl 正解存在的充要条件.关键词 奇异非线性两点边值 问题,正解,口 正解中图分类号 0 17 5.14O < x < 1考虑如下形状的奇异非线性两点边值问题f u“(x ) + k (x )「u (x )刁一a「u,(x ) ]‘= 0,O < 二 < 1 ;( u (O) = 0 ; D u‘(1 ) 一 u (1 ),此处假设:(Hl) a, 。 , D 均为给定的正数, 。) 1,}。一 al < 1,且 D > 1;(HZ) k (x )是一个于「o,1〕上有定义的非负可测函数.(1 )与文献 [ 1〕不同的是这里只考虑。妻 1 的情况.因为当a < 1 时,采用文献 [ 2〕中的论证方法可以得到更为精确的结果.我们研究边值问题(1) 的 目的有两个:一个是在函数 k (x )具有较强奇性的情况下建立正解的存在性,一个是给出 Cl 正解存在的充要条件.定理 1 如果 (Hl)和 (H Z )成立,则两点边值问题(1) 具有如下性质:(i) 若。<};, 工一‘(, , d‘ < + 一尸: - m 一 ‘一’ (2 )至少有一个正解;(i ) 具有 Cl 正解的充要条件是。<{;‘一‘(‘ , d ‘ < + 一 (3 )证明:(i ) 设 u( x) 是两点边值问题 (1) 的一个正解.把它代人方程 (2) 中,然后两次积分,再利用边界条件,便可得到 u( x) 的积分表达式:此处。 (x ) 一 下华去 {工夕 — I Jv (x ):, , 、 v “ (、)、 .f‘ , , 、 v 口(: ), .fx , , 、 v 口(s )1s左 Ls ) - 二: , 二 Q s~廿 x ! 龙 又S ) - 下万, 万 Q s~十 1 5 左 又s夕 一石万丁刃u s-双 一气S 少 J 二 t一又S夕 J o 林 欠百少(4 )1 「, , , 、 v 口 (s), .「‘ , , 、 v 口(s )、=; 茱, 一一一万 1 5 左又s夕-下几= 万 a s 十 , 左 戈s ) 下二, 万usLj 一 I Jo u 一 又S少 Jx u 一 气S 夕(5 )是导数“ ‘(x) 的表达式.它于 (o,1〕上恒正且非增.这表明 u( x) 是一个于仁o,1〕上连续的凹函数.设收稿 日期 19 96一12一26.第一作者:杨良梁,男,47 岁,讲师.X · (X ), · (X ):一!:万一 w (‘)d‘,(6 )贝」W (x )任C [O,lj,并且W (x )W (x ):一_ i姿⋯-{D 一 月 {万1一‘(5)兴ds+ X{:‘一‘(‘ ,黔d 了,(7 )x w (1 ) 蕊 W (x ) 毛u (x ) 镇 D W (1 ),O 镇 x 毛 1.现在我们来求积分方程 (7 )的连续解.为此,我们按如下方式定义一个映射 中:(少w ) (X ):一品万{;万卜·‘(, )黔d 万 + X}:‘一‘(, )黔d ‘,v w 。 “,此处,几:= {W 任 C [ 0,1」; x w (1 ) 簇 W (x ) 毛u (x ) 毛 D W (1 ),O 镇 二 镇 1,A 镇 W ( 1 ) 毛 B },· (X ):一}:, 一 W (‘) d 万,而 A 和 B 是两个待定的正数.显然,。 是 c [ o,1 ] 中的一个有界闭凸集.对任何的 w 任口,从映射 必 的定义便可推出、少、,夕O口QJ子‘X (, w ) (1 ) 、 (, w , (X ) 、{;‘一 (, w , (‘) d s 毛 D (, w ) (‘,,O 钱 X 镇 ‘,{;}晶(, w )(工 ){d 工 一 (2。 一 1 )(。w )、1。,(。w ) (1 ) 一 共下 }‘: ‘一、(、)弊毕d : ) }李共 {‘、、(: )d 、{w 一(1 ),工少 一 I Jo 况 又百少 、丈 2 一i J O ,(1 0 )_ 1 。1 1 _ , , / 、 厅_ 。 , 、 : _{((甲即 ) 又1 ) 气, 万又~一一一二 1 5一左 气5 少况 又5 少u 百之之: :二入‘’ 一 ‘J。!(5 1一 J k (s )d s W口一 a (1 ),当a ) a 时 ;(1 1 ){:“一“‘(“’d “W‘一 (1 ),当。 < a 时.现在我们来选取正数 A 和 B,使 必 映 口 到 口 之中.当。)a时,我们可选A l一 (口一 “少 : sk (s )d s,B l一 (口一a ) : =迈)竺立{‘I少一 IJos‘一‘ k (s )d s.(1 2 )当。< a 时,我们可选A = MB 一口 ,BD 一afl八全: 一二二一一- 二~l工夕 一 I Josk (s ) d s,N:1 fl 飞 _ 。 , , 、 ,=; 二二 - 一二丁 1 5 一龙 气S 少Q S ,丈少 一 IJ。即一 MN。一,召 1一 (一)2 := N M。一气 (1 3 )这时,由(1 0 )一 (1 3 )式知A 镇 (中W ) (1 ) 镇 B,V W 任 口.( 8 ),(9 )和 (1 4) 式合起来表明: 。 在映射 中 下的像集 。 (口)一定是 口 的一个紧子集.根据动点定理知,映射 中 于 口 之中至少有一个不动点.(1 4 )S e h a u d e r 不设 W (x) 是 中 在 几 中的一个不动点,则 W (x) 是积分方程 (7) 的一个连续正解.设·(X ):一 w (X ) / X, · (X ):一{:·(, ) d ‘,便可直接验证,由(1 5) 式所确定的函数 u( x) 恰好是两点边值问题 (1 )的一个正解.(i ) 因为充分性的证明可在文献 [ 1〕中找到,这里仅证必要性·假设 u( x) 是两点边值问题 (1) 的一个 Cl 正解,则 u( x) 是一个于 [。,1 ] 上连续可微的凹函数 ;导数 v( x ): 一澎 (x )是一个正值的不增函数,v( 0) 为最大值,v( l) 为最小值,并且x u (1 ) 簇 u (x ) 簇 x v (O),O 镇 x 镇 1.由(5 )式和 (1 6) 式可推出(1 5 )它的(1 6 )一 3 5 一0 < v (1 )1 「1 , , 、 v 口 (s ),/ I v口(0 )一 万二二丁」。s左 Ls ’ i户又丁sa s 头 万二万 i爪丽5 1一 “k (s )d s,、土0尸.!f‘ , , 、 v ‘ ( 、 ), 、 v ‘ ( 1 ) 「‘ _ ,, , 、 ,. 气U 少 = 刃 气1 少 寸~l 左 又S ) 一二不一万 Q 万尹夕 一了二二芍 l 万一左又S少Q S.J o 况一 又S 少 刀一又U ) J o于是,有。<丁;, 1一‘( ‘) d ‘ <丁;, 一‘( ‘ , d ‘ < + -即 ( 3 )式成立.感谢吉林大学数学系王俊禹教授的指导和帮助.参 考 文 献仁1 ] 王俊禹,孔令彬.奇异非线性两点边值问题正解的存在性.吉林大学 自然科学学报,1 9 96,( 3):35 一 37[ 2 ] Wa n g Ju n y u,G a o W e n jie.A s in g u la r B o u n d a r y V a lu e P r o ble m fo r th e O n e一d im e n s io n a l P一L a p la e i a n., 八‘Z t人A , : a l 月PPI, 1 9 9 6 , 2 0 1 : 8 5 1 ~ 8 6 6A N o t e o n a S i n g u la r N o n li n e a r T w o一P o i n tB o u n d a r y V a lu e P r o b le mY a n g L ia n g lia n g( D e Pa r tm e , : t of M以 the 从 a t i c s , D a 口i n g H i g 入 T r a i , : in g S c入0 0 2,D a , i ; : g, 1 6 3 7 1 2 )Z h a n g Z ho n g x in(D e P a r t m e n t of Fo u n d a t io n,Cha n g c h u n I n s ti t u t e of Po s t : a n d T e le c o m 从 u n i c a ti o n s , C h a n g c h u n , 1 3 0 0 1 2 )Ab s t ra e t T h e e x i s t e n e e o f Po s i t iv e s o lu t i o n s 15 p ro v e d for th e s i n g u la r n o n lin e ar t w o一p o i n t b o u n d a r yv a lue p r o b le mf u“( x ) + k ( x ) [ u ( x ) ] 一“「u, ( x 门‘= 0,O < x < 1,( u (O ) = 0,D u‘( 1 ) = u ( 1 ),i n th e e a s e o f k ( x ) p o s s e s s in g s tr o n g e r s in g u la r i t y.A n e e e s s a r y a n d s u ffi e i e n t e o n d it io n 15 g iv e n fo rt he b o u n d a r y v a lu e p r o b le m t o h a v e a Cl p o s it iv e s o lu t io n.K e yw o r d s s in g u la r n o n lin e a r t w o一p o in t b o u n d a r y p r o ble m,p o s it iv e s o lu t io n,C l p o s i t iv e s o lu t io n36

关于奇异非线性两点边值问题的一点注记

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关于奇异非线性两点边值问题的一点注记

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