类似于实Finsler流形,在复流形的全纯切丛上引进Finsler度量F,并且定义G=F2为垂直丛上一Hermitian度量,然后利用Hermitian一些技巧得到复Finsler流形上的一些几何性质.在此基础上讨论了复流形M上给定的两个弱Kahler复Finsler度量,如果它们射影等价则必仿射等价,以及流形M上赋予由复Berwald流形上复Finsler度量诱导的实Finsler度量必为实Berwald流形

严荣沐

肖金秀

Xiamen University Institutional Repository

第 45 卷 第 5 期 厦门大学学报(自然科学版) Vol. 45 No. 52006 年 9 月 Journal of Xiamen U niversity ( Natural Science) Sep. 2006复 Finsler流形上的两个问题收稿日期: 2005 12 02基金项目:国家自然科学基金 ( 10501036 ) ,福建省自然科学基金( J0511003)资助作者简介:肖金秀( 1979- ) ,女,硕士研究生.* 通讯作者: yanrm@ xm u. edu. cn肖金秀,严荣沐*(厦门大学数学科学学院,福建 厦门 361005)摘要: 类似于实 Finsler 流形, 在复流形的全纯切丛上引进 Finsler 度量 F ,并且定义 G= F2 为垂直丛上一 Hermitian 度量,然后利用 H erm itian 一些技巧得到复 Finsler 流形上的一些几何性质. 在此基础上讨论了复流形 M 上给定的两个弱K hler复 F insler 度量,如果它们射影等价则必仿射等价,以及流形 M 上赋予由复 Berw ald 流形上复 Finsler 度量诱导的实 Finsler度量必为实 Berw ald 流形.关键词: Finsler度量; 射影等价;仿射等价; Berwald流形中图分类号: O 174. 56 文献标识码: A 文章编号: 0438 0479( 2006) 05 0614 03设M为n维复流形, { z 1 , z 2 , , z n} 为复流形上的局部坐标系,其中 z = x + ixn+, 则{ x1, , xn, xn+ 1,, x2n} 为实局部坐标.令T CM = T RM RC为复化切丛,   z=12(  x- i  x n+) ,  !z=12(  x+ i  x n+) ,则{   z 1, ,  z n,  !z 1, ,  !z n} 为 T CM 的局部标架, 且T CM 有直和分解:T CM = T1, 0M ⊕T 0, 1M,其中 T 1, 0M 的局部标架为{   z 1, ,  z n} , T0, 1M 的局部标架为{   !z 1, ,  !z n} .记 o: M  TM 为T CM 的零截面,即 o( p ) = op 为T PM 的原点. 我们记 ∀M = T CM \ o(M) ,则 ∀M 的全纯切丛 T 1, 0 ∀M = 1, 0⊕ H 1, 0(其中 H 1, 0 为复水平丛, 1, 0 为复垂直丛) .记 =   z, !=  v,则 T 1, 0 ∀M 的局部标架为{ 1 , ,  n ,  !1 , , !n} .设  !为非线性联络[ 1] 的 Christof fel系数,在局部坐标下令 ∀ =  -  ! !!, 则{ ∀1 , , ∀n} 为H 1, 0的局部标架, {∀1 , , ∀n , !1 , ,  !n}为T 1, 0 ∀M的局部标架, 从而T1, 0 ∀M 的对偶丛的局部标架为 {dz 1 , , dz n , #1 , ,#n} , 其中 # = dv +  !dz !.定义1 复流形M上的复垂直联络是一线性映射D: ∃( 1, 0)  ∃( T *C ∀M 1, 0) ,使得D ( f v ) = f !Dv +df v , #f ∀ C # ( ∀M) , v ∀ ∃( 1, 0 ) ,其中T *C ∀M 为 ∀M 的余切丛.在局部坐标下, 设 v = v!  !!,有Dv = (dv + v %!)  !!,其中 %!为局部确定的1 形式,则对适当的系数 ∃ !; &和∃ !∋有 %! = ∃ !; &dz & + ∃ !∋dv∋.设 D为复垂直联络,下面定义一丛映射(下面用来代替 1, 0) ∃: T 1, 0 ∀M  ,为 ∃ ( X ) = % X(, 其中 (:T1, 0 ∀M  为自然截面.在局部坐标下有 ∃ ( X ) = [ X!+ w !( X ) v!]  !.定义 2 复垂直联络是好的, 如果丛映射 ∃ | : 是丛同构.定义 3 复流形 M 上的复 Finsler 度量是一连续函数 F: T 1, 0M  R+ , 且满足( i) G = F2在 ∀M 上是光滑的;( ii) F( v) > 0, #v ∀ ∀M ;( iii) F ()v ) = | )| F( v) ,对 #v ∀ T 1, 0M, )∀ C.对G关于坐标v 求导,记: G &! = 2G v  !v!; 关于坐标z 求导, 记为 G ; & = 2G z & z 或G ;& = 2G !z  v .定义 4 一复 Finsler 度量 F 称为强拟凸复Finsler 度量,如果 Levi 矩阵( G &!) 在 ∀M 上是正定的.从而对于赋予一强拟凸Finsler度量的复流形 M,可以在上面用好的复垂直联络来定义 Chern Finsler联络(见文献[ 1] 中定理 2. 3. 2和定义 2. 3. 6) .1 射影等价的复 Finsler 度量设F为复流形M 上的强拟凸复Finsler度量,记 G= F2,由文献[ 1] 中的定理 2. 3. 2有 Chern Finsler 联络的联络矩阵为%! = G&∗  G!&∗ = G&∗ ( G!&∗; &dz &+ G!&∗∋dv∋) ,其中 ̂!∋ = G&∗G !&∗∋, ∃ ∋!; & = G&∗G !&∗; &, ; & = ∃ !; &v ! = G&∗ G&∗; &,  !; & =  !!(  ; &) .由复 Finsler 度量的定义 3可得G &!( p ; +v ) = G &!( p ; v) , G&∗( p ;+v ) = +G&∗( p ; v ) , ; &(+v ) = + ; &( v) ,  !; &(+v ) =  !; &( v) .设,: (- −, −)  M 为强拟凸复 Finsler流形上的测地线,则测地线方程为% TH + TH TH- .*( TH, TH) = 0,其中TH= ,∀ , . =G&∗G !!∋(  !∋!&; &∗-  !∋&∗;!&)dz ! ∃ d!z & ∀.若F 为弱 K hler的复 Finsler度量,亦即 .* ( T H ,TH) = 0,则测地线方程为% TH + TH TH= 0,用局部坐标表示为: %, +  ; &(,),& = 0.定义5 设F, ∃F均为M 上的复Finsler度量, 若它们具有相同的测地线集合,则称F与∃F 射影等价. 此亦即,对应于 ∃F 的任意测地线(,((t ) ,经过适当的定向参数化(t = (t( t) 后,得到的映射,( t) = (,((t ) 为F的测地线.定义 6 设 F, ∃F 均为复流形M 上的复 Finsler度量,若它们具有相同的测地线, 则称 F, ∃F 仿射等价.此也即,对应于 F 的测地线, = ,( t ) 也是 ∃F 的测地线.定理 1 设 F, ∃F 为M 上的弱 K hler度量,若 F,∃F 射影等价, 则它们必仿射等价.证明 对任给的 v ∀ T 1, 0p \M {0} , 设 ,( t ) 为 F的测地线,满足 ,(0) = p , ,(0) = v .又设变换(t = (t( t) ,满足(t (0) = 0,(t&( 0) = 1使得(,((t ) = ,( t) 为 ∃F的测地线,满足(,( 0) = p , (,!(0) = v .则由,( t ) = (,!((t)(t&( t) ,%,( t) = (,%((t ) [(t&( t ) ] 2 + (,!((t)(t∋( t) .令 t = 0,得,(0) = (,!(0) = v ,%,( 0) = (,%( 0) + (,!(0)(t∋( 0) .将 ,( t ) , (,((t ) 代入测地线方程,得%, ( t) = -  ; &(,( t) ) ,&( t) ,(,%((t) = - ∃ ; &(,((t ) )(,!&((t ) .在上式令 t = 0,比较得 ; &( v ) v& = - %,( 0) = - (,%(0) - v (t∋(0) =∃ ; &( v) v &- v (t∋(0) .记 H = - (t∋(0) ,则 H 为点 v ∀ T 1, 0p M 的函数,且满足H ( p ,+v ) = +H ( p , v ) , #+∀È C\ {0} .但(t ( t) 为实值函数, 从而 H 也为实值函数, 因而由上式可得 H ( p ,+v ) = !+H ( p , v) .从而 H ( 0, 亦即 ; & = ∃ ; &.因而分别对应 F, ∃F 的测地线相同, 进而 F, ∃F 仿射等价.2 Cartan联络与 Chern Finsler 联络设 M为m 维实流形,记 TM 为M 的切丛, o: M  TM 为 TM 的零截面,即 o( p ) = op 是切丛T PM 的原点,令 ∀M = TM \ o(M) 即切丛减去零截面.定义7 实流形上的Finsler度量是一函数F: TM R+ 满足下列性质( i) G = F2 在 ∀M 上是光滑的;( ii) F( u) > 0,对 #u ∀ ∀M;( iii) F (/u) = | /| F ( u) ,对 #u ∀ TM 和 /∀ R;( iv) 对 #p ∀ M,指数形式 I F ( p ) = { u ∀ T pM ,| F ( u) | < 1} 是强凸的.设 F: T1, 0M  R+ 为复流形 M 上的复 Finsler 度量,我们利用 F 可以定义一函数Fo: T RM  R+为 Fo ( u) = F( uo ) 对 #u ∀ T RM , 则Fo 满足定义7中实 Finsler 度量的前三个性质.定义 8 设度量F为实流形M 上的Finsler度量,如果由F 诱导的非线性联络的联络系数  bc; a 仅依赖流形 M 上的坐标( x i ) , 则称流形 M 为实 Berw ald流形.定义 9 设度量 F 为复流形 M 上的复 Finsler度量,如果由 F 诱导的 Chern Finsler 联络的联络系数 !r; 仅依赖流形 M 上的坐标( z i ) , 则称流形 M 为复Berw ald流形.定义10 如果复Finsler度量F诱导的度量Fo是实 Finsler 度量,则称复 Finsler 度量 F 是强凸的.下面我们比较由 Fo诱导的 Cartan联络[ 1]与由强拟凸复 Finsler 度量 F 诱导的 Chern Finsler联络.我们知道, M的全纯切丛T 1, 0M与M 的切丛T RM是同构的.该同构映射可取为丛映射 o: T 1, 0M T RM ,#v ∀ T 1, 0M, v o = v + !v.显然( /  z ) o =  /  x , ( i /  z ) o =  /  x + n .此外, 有同构 o: T 1, 0 ∀M T R ∀M , #X ∀ T 1, 0 ∀M, X o= X + )X . 它诱导同构 o,È R 使得( !)o=  !o, ( i  !)o=  !o+ n .特别地,对 V = V  !∀ ,有 V o = U a  !o, 其中!615!第 5 期 肖金秀等: 复 Finsler 流形上的两个问题Ua=12( V + V ) = ReV , 若 1 ) a ) n12i( V - V ) = ImV , 若 n + 1 ) a ) 2n(1)要比较Cartan联络和Chern Finsler联络,需要比较与它们相应的水平丛, 先比较它们的水平径向向量场.熟知, 水平径向向量场 ∃ ∀ X (H ) 的局部表示为∃( v) = v ∀ = v ( -  !;  !!) ,这里  !; = G!&!G!&; . 利用 ∃, 可定义 T R ∀M 的截面 ∃o 如下:∃o ( u) = ( ∃( uo) ) o, #u ∀ T RM .另一方面, 实 Finsler 结构 Fo 确定了一个实的水平径向向量场 ∃̂ ∀ X (HÈ R) :∃̂( u) = ua∀^a = ua( oa -  ̂ba  !ob ) , #u ∀ T RM (2)其中  ̂ba 是与F o 相联系的非线性联络的 Chr istoffel符号.由文献[ 1] 中的性质 2. 6. 2可知, 若 M 上的强凸Finsler 度量为弱 K hler 的,则有∃o= ∃̂ (3)设{ a} n1为 TÈ RM的局部标架场,其中 a =   x a .若 a =  o ∀ ∀M ,则有∃o ( a ) = ( ∃( ) ) o = ( -  !;  !!)o= o - 12(  !; +  !; )  !o!-12i(  !; -  !; )  !!+ n = o - 12(  !; +  &!; !)  !o!-12i(  !; -  &!; !)  !!+ n ,这里  &!; !=  !; .由式(2) , ( 3) 得 ̂ba =12(  !; +  &!; !) ,若 1 ) b ) n,12i(  !; -  &!; !) ,若 n + 1 ) b ) 2n.当 1 ) c ) n时, ̂bc; a =  !c (  ̂ba) = ( !r +  !&r ) (  ̂ba)=12(  !r; +  &!r ; !+  !&r; +  &!&r ; !) , 1 ) b ) n12i(  !r; -  &!r ; !+  !&r; -  &!&r ; !) , n + 1 ) b ) 2n=Re(  !r ; +  !&r; ) , 1 ) b ) n,Im(  !r; +  !&r; ) , n+ 1 ) b ) 2n.当 n+ 1 ) c ) 2n时, ̂bc; a =  !c (  ̂ba) = i ( !r -  !&r ) (  ̂b; a )=12i (  !r ; +  &!r; !-  !&r ; -  &!&r; !) , 1 ) b ) n12(  !r; -  &!r ; !-  !&r; +  &!&r ; !) , n + 1 ) b ) 2n=- Im(  !r; +  &!r; !) , 1 ) b ) n,Re(  !r ; -  &!r; !) , n+ 1 ) b ) 2n.亦即 ̂bc; a =Re{  !r; +  !&r ; } , 1 ) b, c ) nIm{  !r; +  !&r ; } , n + 1 ) b ) 2n,1 ) c ) n- Im {  !r ; +  &!r; !} , 1 ) b ) n,n + 1 ) c ) 2nRe{  !r; -  &!r ; !} , n + 1 ) b, c ) 2n(4)从而有下面的定理:定理 2 设 F是弱 K hler度量, Fo 是由F 诱导的实 Finsler 度量, 设 F 是复 Finsler 度量, 则 F o 为实Berw ald流形.参考文献:[ 1] Abate M , Patrizio G . Finsler M et rics A G lobal Approachw it h Applications to Geometr ic Function. T heo ry [ M ] .Berlin, New Yo rk: Springer Verlag, Ber lin Heidelber g,1994.Two Topics in Complex Finsler GeometryXIAO Jin xiu, YAN Rong mu*( School of Mathematical Science, X iamen Univ ersit y, X iamen 361005, China)Abstract: As the same idea in t he real case , we introduce a F insler metr ic F on the ho lomorphic bundles of complex manifold , andusing Lev i form of G= F2 to define a Hermitian metr ic on the vert ical bundle , then we can get the geometr icalr esult s on the Finslermanifold by using H ermit ian techniques. Fo llow ing, in this paper w e show that two pro jectiv ely equiv alent com plex Finsler metr icsare affinely equivalent and a real manifold M endow ed with a real F insler Fo metr ic which is induced by a complex Finsler metric F onthe com plex Berw ald manifold is r eal Berw ald manifold.Key words: Finsler metr ic; Berwa ld manifo ld; pr ojectiv ely equivalent complex F insler metr ic; aff inely equivalent complex Finslermet ric!616! 厦门大学学报(自然科学版) 2006 年

复Finsler流形上的两个问题

http://dspace.xmu.edu.cn/bitstream/handle/2288/19048/%e5%a4%8dFinsler%e6%b5%81%e5%bd%a2%e4%b8%8a%e7%9a%84%e4%b8%a4%e4%b8%aa%e9%97%ae%e9%a2%98.pdf?sequence=1&isAllowed=y

复Finsler流形上的两个问题

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Xiamen University Institutional Repository