利用局部化技巧,讨论了stein流形中曲面上外微分形式的具有权的B-M变换、Leray变换和Henkin变换的边界性质,并构造了边界上诱导的Cauchy-Riemann方程(即-方程)的具有权的基本解

邱春晖

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第 31 卷19 92 年第 4 期7 月厦门大学学报 (自然科学版 ) V 七1.3 1 N oJour nalo f X 勿n le n U n iv e : 、云ry (N a tur a ] Sc ien 倪) J u l.19 92st e in 流形上具有权的核变换的边界性质¹邱 春 晖(数 学 系)摘要 利用局部化技巧,讨论了ste i。 流形中曲面上外微分形式的具有权的 B- M 变换、加ay变换和 H动ki n 变换的边界性质,并构造了边界上诱导的。 , hy一拓e二n 方程(即反一方程 )的具有权的基本解。关键词 sl ein 流形,权因子,。 变换,认a y 变换, H 。。in 变换,反一方程,阮。、。P1e 二lj公式l 具有权的 B一M 变换的 co xo 收, .介一Pl e m elj 公式为节省篇幅,我们沿用文〔1, 3〕的记号.设 , 为复,维 ste 访 流形,。c c 瑟 开子流形,记 反为由卜任。:P( : )二 叶所确定的超曲面,这里 p〔俨 ( 。 ),且在 夕上有 }印 }二 1,并记 。士二{ : 〔。 : 士 p ( z) > 0 },把 。一的边界诱导的定向作为 雳 的定向,则 (。一 ,窗 )是具有边界的定向子流形、以 护 表示 。士上的特征函数,由于 夕 是 g一的定向边界,则在 。上,有 d x+ 二 d犷 = 〔窗〕,〔雳〕二dx + ~ 洲+ +歌 十鑫:〔窗1l. , + 〔甭护·设曲面 雳时曲面测度为。 , 则〔甭〕,·’二截‘ ~ 。·aP,〔盆〕“ ’。歌+ 二 a·孙定义 1 设具有权的卜M 核 B(: ,口如文〔习中定义,即_ , _ 、 , 。 、 _ _ _ 又, 1 一 ,.、 , J _ _、 , . 、 ,二 _、 、 . , . , . ,二一 , 、 _ _ . _ ,廿戈:,石J= 吸Z 叮t声一甲、 ‘J 若 t,、 一 ’L又甘 , “ ) 十 l ) 气‘习厂 八 片2 1\ 气叨甲笨厂’ ‘奋- . 百 二( 1)其中 叭 ~ 弊,对v任脚 (窗),定义 f 的具有权的 二M 变换为 。(j 尹, A , ) 。D’ .’( 。).0 呀口丁显 然,召 ( [甭〕“·, A 了) e a.·, ( g \窗 ),而 且 对 V : 任 。\夕,有 B (〔君〕。·, A f ) ( : ) 二 一, 〔B (“ , ‘) A f (‘) 〕” ’一’,这里〔B (, ,‘) A f (‘)〕”’一 ’是 B (‘ , ‘) A f (‘)的关于 ‘是 (‘ , , 一 1 )次齐次项。设 B (〔甭〕,·’八I) !沪分别是 了的具有权的 压M 变换在 。士上的限制,则 B( 【岔习“·’A l) t护〔沙” (口土 ).定理 l 设 f任 , 叹龙 ),则1) B( 〔M」。,, A川砂可以无限可微地延拓到 口士 ;2 )若定义 砂 f =, (。( [雳〕o·’A f ) ) }。* ,则 6‘ f任 沙·, (甭),并且在 厉 上有 。xo , 、”冬R e m el j公式成立¹ 1, 90一 10 19 收到 ; 国家自然科学荃金和厦门大学育苗科学荃金资助项目·3 44· 厦门大学学报〔自然科学版) 1匀9 2年、声、.尹J2吸U‘,J‘,了几.r、B * f一叼士冬了‘或 B十f一 B一了”了B +了+ B一 f” 2几f这里,cau比y 主值 B. f定义在下面的证明中式 (1 8),并且 玩了〔e.,(夕).证 由文〔习中式 (6) 可知_ ,, 、 , _ 、_ _丈, 1 _, : 、 , , *、二、 ,二 _、“叭z , ‘) = 气艺爪 ) 一沪 乙山 若行, ” 气气衬 , “2十 I J吸从J少.1\岛. 0 ‘ I(., d . )!,}告。f蝉梁之1‘一’一’+ 。( l。I:一 )二: 。((。, ·》+ 1 )二 (·,。)+ 二 (· , 。) (5)‘ { 。 f 口 J这里,云和:分别是 应和 s 的局部坐标,二(:,‘)一 (2 , ‘)一。二漂; 「二华黔1’一 ’1 . 1一 ‘ ! “ l口 J(6 )为 St ei。流形上通常的 B一M 核,二; (:,‘)一 (2 , ‘)一。 2 弃e 、” ((。, 。 )+ 1 ) (初)·人黛碑孚几一 1 肠 j l“ l口。〔架留) (7 )由 于 边 界 有 是 (2, 一 l) 维 流 形,故 由 它 所 确 定 的 边 界 上 的 微 分 形 式变 换Kl (“ ,妇 A j( 幼是连续的.对于 B一M 核‘K (:,动:对v , 〔厉,取 。> 0,使得 叭二 s (,, ·》: F、 一 {‘·e (C’ , }“ !< 升是口尹‘.J双全纯映射 [,·, ] , 这里 y ,. C y , 是 , 的小邻域, V . 把 , 映为零点,即 , ~ 叭一’(0 ), : ~ 叭一 ‘(z‘),亏~ 叭一 ’(心’),记 方~ W, (y 、 n 府)为 B‘中通过零点的超曲面,由于 {。 , (:’ ,雪’) }在 岛 x 刀。中连续,且, (:. , : . )二 0,由除法定理,有: J(二· ,‘·)二习珍 (: · , ‘·)(‘一时 )这里 珍 (; ’ ,亏’)关于: ’和 右.都是全纯的.又: (0,右‘)一 8 (,,叭一 ’(右‘” ~ 叭 (详矛’(亏’”(8 )“心. ,则 扣 (0,犷 )二勺.当 (z. ,右.)在(0,0) 充分小的邻域时 (不妨设此邻域就是 B’ x 刀。),则 de t( 物(:· ,犷 ”举 O,再由除法定理,有。 (: · , 。·)一云、二(:· ,‘·)扩 + 氏. ,(:· ,‘·)任 。。x 。。(。)若记 x士f二 , (尤(〔厉」,·, A f)) l户 (1 0 )则 ;+ f(: )一二f_. _ _〔x (: ,。)人r(。)〕·一,!, _ _[二(z · , ‘·)。少(、·)〕一, (, l )J 习、-一 ’ ‘- -一‘ ’ 一 J ‘’ c 牙 -其中 少(犷 )二 j( 昨,(雪.) ),币“ (: ’ , 右’)二扩·(岭’(;’),昨’(右‘)).‘(:. ,心’)二 (2 , ‘)一场:.由于云~ 万 云仁, ·, 〕因此任(: ’ , 心’),d 。(:‘), d 。 (名. ,心’)》卜’K (:’ ,右’)二必(: · , 右‘)A:(:’ ,右’) + &. (: · 右·)双: ‘ , 雪‘这里, 月: 是不含 d 巧.和 d凡,的项,月 含有 d 姚.或者 d凡的项,因此,!月(; ’ , 心’) !二 0( {右’一 :·}’一 z. )(1 2 )第 ‘期 邱春晖: st ‘n 流形上其有权的核变换的边界性质 34 5月、(:’ ,右’)” (2 , 云) 一,鲤匹二业里二业丝义二兰~达丝维上匕二竺L 公 为匈为 (扩 一邵 )(以 一矿 )」“‘一 之’)》“一 ’矛一曲。l其中, H 二 (几。). , . ,r 一 (净 (:’ ,亏’). 米 . , 几 和 H:分别为 r 和 1 的转置.由于 K (; ’ , 护 )中的 月:(z’,右’)类似于 c’ 中的冬M 核 文(; · ,梦 ),则类似于函数的性形川,有I月.(:’ ,亡’)一又(: ’ 一雪’) l一。( {心一: ·i’一”)并且 Jfo. (;· ,右,)一 1 1= l补 (。’ ,雪·)一&. (; · , :’) I二 0 (】右’一 :·i)因此,式 (1 2 )代入式 (1工)有K 、 , (: )一,{_._〔K (: . 、) 。, (。)〕· ,一,{. _ 二补 (: · ,雪·) , (:, ,‘·) 。少(、·)挤 . \尸,. J ‘ 七汀一丁一丁. 。。i. (“’ ,‘’)(.: 。’ ,‘’)一欢,’ ,“ ))八少(“ ). 。 , (必 (一‘·)一 , )对(一‘·) 。, (‘·)一丁; . 。 , ‘(一‘·) 。, (;·)(1 3)由于 方是 (2: 一 l) 维流形,因此上式右端前四项均是连续的,而第五 项则是 少 中的乐M型积分,由文〔3〕可知一 lim 下广二·。·“·’ ,“‘, “’‘“”一织歹豁“。,“” 八汝”一十枷,当: , 。十即。 ’ , O十时,我们有K ·‘(”,一{。、, 、 仁K ‘,,“, 八““,〕一J。·。 ,补‘0,‘·, ‘(。,‘·, “, ‘、,,一 了— 下币. (o,右·) (月:(o,考·)一丈(0,看·)) A少(右·(&. (0,右,)一 l )才(0,右·) A了(右’)一 llm尸。+· 。 , 又(0,心’) A入雪’ 1、 , * 、) 」. . 下了J ( U )‘(14)汉.1>。户l‘了若定义K、“”,一{, 、 〔K (,,“, 八‘(“, ,一 {‘· 。,&. ‘。,、·, ‘(。,‘,, “, (‘,一J一J. _ 二私 (0,言’) (月. (o,唁’) 一凳(O,右·)) A j(雪·)七 行. _ 二(补(o,心“)一 l )允(o,心“)八J(右.七 行)一 lim 丫卜 O+ {、·。 ,又(0,亡‘)人j(右‘)比.1>.(1 5 )则由 j( 0) 二 f(帕可得K·, ‘, , 一 A-. r‘, ) +音r(。)K一, ‘, , 一 K·, (, )一蚤了(。)(1 6 )(1 7 )由 c·中的结果 ‘’,可知,K ‘f(: )可以无限可微地延拓到 口士,上,且 从f( 帕〔。,’(府),对丫;〔 g,i己了(: , 右)二 ‘((Q, 。 ) + 一)j铐 )〔D,,,(厉),则由式 (2 6 ),(一7 ),对 V 刀〔茄.有·3 4 6· 厦门大学学报(自然科学版) 1 9 92 年‘* 了(, )一二了(, )士弄了(,, , )一 二.了(。)士粤, (, )“这里,K 士入: )应: ; (K 优厉卫’A 了(: , 妇 )) {。七 ,凡了(朴类似于 凡f( 种 的定义,且 K. 了(砂 〔户,(甭),由上面的讨论可知,由具有权的 B- M 核所确定的边界上 (p,帕形式的积分可以无限可微地延拓到 萨上,且成立 co xo 职时-例冶月心 公式_ 上 _ ,、_ _, 、 ‘l_ , 、 ‘ . _ ,B 士 f(冲) = 刀一j(冲)士音f (, ),V 呀e 万.一呵、 ”丁一 2硕 、 ” ‘”‘、一’一其中 ‘r(, )一,{_〔二. (,,‘) 八r(。)〕一: + 二.了(。) (1。)J 奋 “’一, - · , 一 , , ~即 B. f(, )的表达式类似于 凡f(, ),且 几了。)〔。,,,(夕),2 具有权的 H en kin变换和 Leray 变换的边界性质本节讨论具有权的 Ho n k in 核和 从t盯 核所确定的边界上的微分形式变换的边界性质,我们仅讨论强拟凸域的情形.定义 2 若。’ (z,幼是定义在 尼 x 窗 的邻域 u 上的生成函数,并满足l) 对 V 右任矿 s‘(:,口关于: e 。一是全纯的 ;2 ) (5.(:,右), 召(:,心))护 0,对 V (: ,右) e 。八(。一 x 口+ ).则: ‘ (:,口称为 夕 的相对于 g一的支撑函数.定义 3 若 H (z , 亡)、L (z,雪)如文〔1〕中定义,即, (:,。)二 (2 , ‘)一沪又弄e 〔. 》((。, 。》+ , )(初 ).八、 , 人二 :心一 O ‘ 孟八 公 (神,) , 一 , 八(孙:)一‘一 , 一 ,(19 ), . 、 _ _ _甲 1~ 。、 , , ~ ~、二、 ,贯~、 ‘ . 。 一 , . ,二. , 、 _ _ . _ .石 t : , ‘)巴 t 艺万”’犷一名曰 言‘、’ 工t 弋U , 百 )十 二夕‘刀夕.八 片 : 八 叹动甲 口’一’毖一 O 石 卫(2 0)其 中,W.“ 天占’爪乡. ,心), D s (‘,心夕)(5.(;,右),S (名,哎) ),设 s·(右,幻 也是 介 上相 对于 口一的技撑 函 数,记叨t 二(S’(,. 幻,钾杨灼2(5.(右, 二 ), 刀(z,哎)),定义, _.、 __ _勺 l_ , 、、 ,J_ _、 . 、 ,二 _、 、 . J⋯’n 气公,‘) ~ 气Z 万冬少’沪 石j 井“” , L戈材,心 2十 J八心少.1\’伴 . 八 kf :自一 0 ‘ 工八名’(, 二.), 一 , 八(礼 )一, 一 ,(2 1), _. 、 __ _又, 1 _, ‘、 , . _ ~二。 、 ,二 _、 ‘一_ . , 二 _ 、“. 。 . , 。 二‘_ 。 , 、一卜,.石吸: , ‘少留又公万口一甲、 ‘J 石 “、‘ ,( (仃 , 汀 2十 1 八J衬少’伴一八 勺叼少.八’伴 一 八 (d’砰一厂 一山一 0 肠 j(2 2 )设 了任伊叹夕),定义H 一 f = : x 一 刀 (仁夕〕’·’A f ), ‘月”·f= 丫 x +‘万 (〔窗〕。·’八f》乙一f~ , 艺一乙(厂夕。·’A f), ‘乙‘f ~ : 戈+‘乙(〔雳〕’·’Af )这里 护表示 口士的特征函数.假设对靠近 厉的: 、右, p 有展开式户(: )二户(右) + Re [人(: , g )<S’(z,右),习(:,考) )〕+ y(: , 心) (2 3 )第 4 期 邱春碑:st ei n 流形上其有权的核变换的边界性质其中 又(: ,妇铸 0,且当 右固定时,从‘口关于二全纯 ‘2 4 )!v(:,心) }镇C }S }弓 (2 5 )护(:,亡))c}s }J,若 (。.(:一右),‘(:,亡) )二 0 (2 6 )由于全纯空间 H‘(窗 ) ~ 恤e 刀: s‘(:,幻·。二 0 },这样,式 (2 6 )组含着 窗 作为 。一的边界是强拟凸的,又 由式 (25) 可知, 护(。,口及共一阶导数在 亡~:时均为零,则 护(: ,口 二万(二 , 召)十D( }引李),这里,R(; ,s) 为 夕(: , 口关于 右展开在 亡二: 十s(: , 如时的二次部分.利用 护 中的结果 (〔3〕中定理 8.38) 和局部化技巧,类似于定理 1 的证明,我们有定理 2 设 s’〔:,动,8’(右, : )间 分 上相对于 g一的支撑函数,并满足式 (2 3) 一 (2 6),则村当: , 亡中任一个固定时,H (z,口的每一个系数限制在 夕 上是可积的,因此,对丫了C 护,(窗 ),当二〔尼 时,有“ 一了幼一丁‘H ‘ f‘· ,一J,〔H (‘ , ‘)A r(‘)〕,一‘, 〔‘H ( :,‘) 八r (‘)〕一,2 )设 fe 伊·。(奋 ),对 V: 任忿,有乙一f (名) = 肠了(名)一C (z )f (名)’这里,Cau ehy 主值 Lt f(: )的定义类似于 抚f(z ), c (: )= c : (: ) + c : (: ),仇(: )是连续的,cl(·, 一参2‘’一丁:黑 ;〔名箫崛。叫’一 ’3) 设 了份护一’(窗),对V 二e 窗 有‘L + f(z ) ,‘L. f (名) + C (名)f (名)这里 Ca 二h y 主值‘L. f(幻的定义类似于 B. I( z).3 瓦一方程的具有权的基本解利用 定理 2 和同伦公式(〔3〕中定理 2.8) 有 [,j定理 3 设 占“是 刀 上相对于 。一的双正则支排函数,在 雳x 雳 上,令E一H+ 一 H一 ,言~ .L 十 一 L 一 (2 9》则在 对 x 有 上成立徽分方程瓦召~ 一〔刁a〕+ 恋,反忿= o (5 0 )其对应的算子方程为f二 一蕊盯一 召瓦了+ 砂,瓦称二 B初一 O (3二)对于所有 f e D’(窗)都成立.注 l 由于生成函数 8.(z.口关于:全纯,L 仅非平凡地作用在(,,0) 形式,,L 仅非平凡地作用在仲, 。一 l) 形式,即 刀仅非平凡地作用在 (p,0)、伽, , 一 ”形式,这样,式 (3 1 )可分为三种情形:q二 O,f“ 一召民了一 I, 一f1《q《一 2,f , 一 a尽一 君氏f叮= . 一 l,了票 一砚影十 .I十j (3 2 )’注 2 由式(3 2),核 ‘就称为 窗上 瓦一方程的具有权的墓本解.34 8 厦匀大学学报 (自然科学版) 19 92 年推论 设 夕= 刃一是紧的,“是 窗上相对于 。一的支撑函数,则1) 当 , ~ 0 时,f e 沪’(刀)满足 反f二。当且仅当 f二K,.2 )当 1簇q《一 2 时,f〔沪,(介),存在 , 任。,一’(窗)使得蕊g = 了,当且仅当蕊了二 0.3 )当 q =。一 l 时,了〔户一,(府),存在 g任砂一才(窗),使得瓦g二 f,当且仅当砂。 0.承蒙导师钟同德教授的精心指导,在此表示衷心的感谢参 考 文 献邱春晖,厦tl大学学报(自然科学版 ),19 9 2,31 (2): 1 11 ~ 115钟同德.到陌如相户白‘细细沈 , ‘加初 侧诫扣肠,R 曰昭” e h R 。卿t N o.1 0,M ;tt岭从ffler l, ti, ute.19 8 7H arv o y R。Po】king J.加加 翔抽幼‘J, ,19 79.4 6(2): 30 1 ~ 3 4 0氏r川怕戮价 B,扣闭e翔加 M.南‘ 知韶.而脚喃并,G rc n o ble 32,1 98 2,3: 9 1 ~ 1 10导 ) 脚1!ly J P,L. 二栩卜T 出 .比ut 你·血别血口及如喊腕附. 心 尹肠为曲 八乞r烈山 翻声犷峪价. , 1 98 7.2 0 : 5 7 9 ~ 59 8B o u n d a ry Be h a v io ro f T r a n sfo rm s o f K er n els w ithW eig h t Fa e to rs o n S tein Ma n 三fo ld sQ iu C h u n hu i(肠沁 oI M喇汤.)A b , tr. e t u : 正n g t加 t郎h n iq ue o r loca 七a tio n,tiea u t加r d贻e一the 加un 撅y助a v沁r o fth e B一M 它ta n 川沁r m,La ,a y tran忍fo r m a n d H 亡n k ln tI8 n , for m w j之h w 哟gh 亡九c 忿栩 肠了 a r饭之, 理 (P, q )d王ffe r e n t因 for m o n a St . in m a n让o ld, a n d th e fu n血n甘n以 扣玉u tions w i也 w e吵t faeto r s o f 山e in-d u ced 食u c hy一R 犯m a n n eq ua t幻n s (t加t is, r加 氏一e qua tio n 。) a r. o b饭加ed.K ey w o r血 ste恤 man让ol d,w e妙t ,ac to r , B一M tra n 。肠。m,块rav tran 吐o rm,H en kintra n s加rm,人一eq ua tton ,伪 xo坏K H八一Plefn 七lj fo rm u la

Stein流形上具有权的核变换的边界性质

http://dspace.xmu.edu.cn/bitstream/handle/2288/19046/Stein%e6%b5%81%e5%bd%a2%e4%b8%8a%e5%85%b7%e6%9c%89%e6%9d%83%e7%9a%84%e6%a0%b8%e5%8f%98%e6%8d%a2%e7%9a%84%e8%be%b9%e7%95%8c%e6%80%a7%e8%b4%a8.pdf?sequence=1&isAllowed=y

Stein流形上具有权的核变换的边界性质

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