文中研究对给定在C~n中一域的边界上的C~(2)类(p,q)型微分形式越过边界的?闭开拓问题,得到了可以?闭开拓的二个充分必要条件和 Hartogs 与Bochner 型定理

邱春晖

钟同德

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第 3 。卷 第 1 期199 1 年 1 月厦 门大学学报 (自然科学版 ) V o l. 3 0 N o 。 lJ姗 n . 1 of X 勿. 1饥 U n jv el成 . y (N a t坦以 S劝le n伪 Jan 。 19 9 1cn 中(p , q )型微分形式的 孚闭开拓¹钟同德 年春晖(数 学 系)摘要 文中研究对给定在 。 中一城的边界上的 c(l 哄 ( , , 。)型徽分形式越过边界的东闭开拓问题 ,得到了可以 百闭开拓的二个充分必要条件和 H a”例, 与脉腼 型定理 .关键词 徽分形式 , 东闭 ,~·,i, 。变换 , 跳跃公式 , K创阵”~ 公式, 东闭开拓 , H。t侧笋定理 , 致又hn e r 定理19 06 年 F , H a rt 例梦【l〕提出了著名的全纯开拓 H a rt o 8 S 定理 , 即在 aD 的某一领域全纯的函数 , 都可以全纯开拓到 刀的一邻域去 , 5 . 5 父h n e r〔幻和 E . M a rt ine 川「3〕独立地严格地证明了这个定理 , 此后对给定在一域边界上的函数越过边界的全纯开拓的间题开展了许多研究臼一 ,] 。 本文则研究对给定在一域的边界上的 C( , ’类 ( , , 妇型微分形式越过边界的东闭开拓问题 , 得到了可以 孚闭开拓的二个充分必要条件和 H ar to gS 与 B父h n e r 型定理 .致又hn er 一Mar tin el i 变换的跳跃公式熟知 护 x 口 上的致尤hn e r 一M ar t in el i 核为, ,_ 。 、( 。一 l) 1砚, ; (三一云) A 、 . 。( z 一右)K 。 , 动 = 芍不示于 一 ’ . “一 汀 ”石寸一( 2丽)’ 卜一引血 ( 1 )其中 、 , ‘( 。) 二 A d 二声了,J户 I.砚, ; (。) 一习 (一 l ) , 一 , 。 , 八瓦. ;。J一 l 二孚 j设 D 为 护 中的一有界域 , 它的边界 aD 是连通的并且是逐块连续可徽的 , 那未所有在 万中连续可徽的。 ,砂型外微分式 了有 K 。优沁lm 幼 公式 ( 〔7」怪2, 7)( 2)的邻域扣户!J怜(一 I )H- , 仁r (‘) 。二, 二 ( : , 。)一J怪f (心) A K. , , 一 , ( : , 右)〕=丫(雪) A K , 二 (名 , 右)p’f ( : ) , 名任D + 二 。D0 , : 任 D 一 = : 公烦 ( 3)户we‘.J一a.十其中 K , . , ( z , 右)是 万( z , 雪)中关于 : 是 ( , , 叮)型的关于 右是 (。一尹, 。一 , 一 l )型的分量 .定义 1 给定 ( , , 妇型微分形式 了e 砰分(aD ) , 那么尸士 (多) = f (雪) A K , , , ( : , 雪) , z 任D 士称为 f 的 5 父hner 一呱r u n el i 变换 , F 十 ( : )和 F一 (习分别是式 。( 4 )D 十和 D 一 中的 ( , , q) 型复调和微分形却!J关定理 l 设 D 为 口 中的一有界域 , 它的边界 aD 是连通的并且是逐块连续可微的 , f e 以玲j ), 那么对 F土 ( : )有跳跃公式F+ ( , ) 一 F一 (勺) , ( 一 l ) , + ,j ( , ) , 冲任即 ( 5 )¹ 19 0 一01 一05 收到 ; 国家自然科学荃金资助项目厦门大学学报 (自然科学版) 19 9 1 年并且 F 士 (: )可以连续开拓到边界 。证 设 冰幻是 D 的一个定义函数 , 命D. ~ 厦劣 , P(z )< e ) ,其中 。< 0 , 应用 K叩讲】m an 公式 (3) 到 D \D. , 则有即!J作f(: )“ (一 1 ) , + , 仁 了(‘) 八、, . , (: , 右)一{了(‘) 八二 , , , (: , ‘)‘任即 .一{_ 、了(、。。二 , 。 , <: , 。。、、丁. _ , (‘, 八二 , , , 一 , 。: , 、): , : 。。、‘e D切 . ‘行 口切. (6 )固定 , e 初 , 并在(6) 中命一刀;然后命 , O一 , 就得到(一 1 )’+ .f (刀) = lim F毒(z )一 l加尸汤 (z )粼在此可以认为l如尸志(z ) ~ 尸+ (冲) ,粼Iim 践(z ) = I诵踢(‘)= F一 (, )于是定理的前半部证明 。 定理的后半部可以象函数的情形一样证明川 . 证毕 .2 吞闭开拓定理引理 l (K el dy sh 和 比vr en咖 ) 由形如二共~ , 关 K , : 任。认}哎一川一乙” 、 一 r ’ 一 ~ 一 r -的分式所生成的线性流形 , 在空间 c, , , (K )是稠密的 , 其中 K 是 , 中的一紧致集 , 它的址加阅ue总测度为零 , 又 。> 1 。证明见【5〕只要将其中关于连续可微函数的 BOC hn er 一M ar tjn el j公式换为连续可微 (, , 妙形式的 K oP讲lm a n 公式 。定理 2 如果 D 是 。 中的一有界域 , 它的边界是逐块光滑的 , 又对某一 了任哪结(功 , K。卜沐Im an 公式f (“) = (一 1 ) , 于, 〔成立 , 那么 j 是 东闭的 。丁了(、。。二, , , (: , 心, 十 ;丁, (‘, 。二 , . , 一 , 。: , 、) :心〔刃 心任 p (7 )证 考虑 致又hn e r一Ma rti 耐“变换(4 ) , 由假设 了可由公式(7 )表示 , 即在了(: 。一 、一 , ) , 十, : ; ·(: , + ;J, (、)八二 . , _ , (: , 、)〕亏会砂即 F + (z )= (一 l )’于, f(: )一厌由跳跃公式(5 ) , 有丁了(‘)八、, 一 : 〔·, 。) , ·。。·唁呀 p(8 )(一 , ) ,· , , (, )一、丁了(、) 。、 , . 。一 : (, , 。)一 ; 一 (。》一 (一 , ), 一, (, ) , , 。。D‘任口, p ;一、。)十、{, (‘。。、 , . 令一 , (, , 、、一。心任 D(g )由于 ; 一 、; )和 ; 工, (‘, 。、 , 、一 : (: , 夸)在 。一都是调和的 , 并且在无穷远有心e 刀D 内2佗一 l 阶零点 , 由调和微分形式的唯一性知道第 1 期 钟同德等 :0 中印 , q )型徽分形式的孚闭开拓; 一 (: )+ 、工, (、) , 二, , 一 , 、: , 、) , 。, : 。。-《〔 D由于 f 可用公式 (7 )表示 , 所以它在 D 内调和 。 现将它用调和微分形式的 G re n茶2 . 7 )(1 0 )公式表示 (【7〕(一 l)叶, 〔 (r(‘)。、. ,(一、) +挂褥了(; ) 。H ·, , (一。))却广!J作l_f十甲- .- 二姚J肠一 L 唁任{f(名)0砂(雪) 八万 , 一 : 二(; , 雪) + 瓦若 : e 万若 云石万丁心呀 f(雪) A ‘, , , 一 : (z , 雪)j (1 1 )其中 H “ (。一 1) 1‘ _ _ 又(2 汀感) . 1右一名 l翻一 王 ;砚蔽- A d (而一条)) A (I‘加‘-举矛A d (元一乙) ) ,‘.‘ .尽jH一, 一为 H刃中关于 : 是(尹, 妇型关于 右是 (。一 , 一 1 ,一 q一 l) 型的分t 。 为方便计命(。一 l) !(2州 ). 习名“t ( Ad (为一奋) ) A ( A (d蕊一吟 )) .】‘二嘴孙几护j j‘如‘.口钟潇由(7 )和 (1 1 )可知丁、(、, , 。 . , (; , 、, + ‘工、(、。。, 。⋯ (: , 、。一。, : 。。·考〔匆 心呀 口 (1 2 )比较(1 0)和 (1 1 )可知 (1 2) 对点 : 任 D 一也成立 , 将引理 l 应用到紧集 aD , 表明初(雪) A万, , , (: , 心) }, 二 0 .形式 f 在 。 上是调和的 , 所 以 d凤f优) 人刀, , , (z , 右)〕二 0 , 即形式砂烤) A万, 二 (: , 雪)在 刀上是闭的 , 所以 ‘【了又万了A耐(口 A方, . , (: , 动〕可以连续延拓到 刀, 由 s to k台 公式得到(2、)丁。玄牙婴 一二牙‘ (而。、r(。) 。、, . , (: , 、) )d g p万万下A瓦f(亡) A 刃, . , (; ,雪) ~ 0 .从此式和导数 好/ a乙(介= l , , ⋯ , 。)的连续性可知这些导数在 D 上等于零 , 也就是 f 在 D 上是吞闭的。 证毕 .定理 3 命 D 为 口 中的一有界域 , 其边界 aD 是 俨2 》类的光滑可定向流形 , 命了任哪汾当且仅当 , 对 : 任。项了(。)。二 , . , (: , 。, + ;丁_ r (‘, 八二, , , 一 : (: , 、)三 。, : 。。-‘七 p(刀) ,(1 3 )刃!J版存在一形式 G 任件结(功在 D 上是东闭的并使得 引 。‘了。 如果 C. 叨是连通的 , 只要 (13) 对 : 任{w:}川 > R , ‘= 1 , ⋯ , 。}成立 , 其中 R 是一充分大的正数 。如果条件 (1 3) 满足 , 那末拓展形式可以 明确地表为。(; , 一 。一 , , , · , :丁, (。)、、, , , (: , 。, + 、丁了(‘) , 。 . , 一 , (: , 雪): , : 。。证 条件〔13) 的充分性 : 假设条件 (1 3) 满足 , 对给定的 了e 必, (刀)定义(1 4)劫.!J关F士 (z )= f (右) A K 一, . (名 , 雪) , 多任D l ,厦门大学学报 (自然科学版) 1 99 1 年G 士 (: ) = (一 l)什 ,〔由条件(1 3 )f(雪) A凡 , , (: , 右)+ 武 .‘aD产l任G 一 (之) = 0 , 么任D 一e ·。: , 一 (一 , )叶 ,〔J, (、。八、 , , (: , 。)+ 、工, (。, 人。, , 一J (: , ‘)〕, : 。。· ,‘任 刁口 ‘任 D应用和证明定理 1时一样的方法 , 可以证明(一 I)什 , a + (, ) = F + (, )一尸一 (冲) = (一 I)叶, f (, ) , 冲任即故 G 十 (心 = f( 们 , 刀e aD. 这表示G + (: ) }二二 f象函数的情形一样可以证明(【7〕)G +( z) e 舜结(功 , 所以由定理 1 , G 十 (z) 是万一闭的 , 置 G + (幼二G( : ) , : e 万+ , 这就是所要求的拓展函数 。条件‘1 3) 的必要性 :假设存在一形式 G 任必绍j ) , 在 D 上是 孚闭的 , 并且使得 al , 二 f , 那么由 K O p伴l~ 公式立知条件(1 3) 成立。定理的其余部分由调和形式的唯一性立即可以得到 。 证毕 。定理 刁(H a rt og s) 设 D 为 c’ 中的一有界域 , 边界 aD 是连通的 , 。切 也是连通的 , : > 1 , 那么每一在 aD 是 东闭的(即在 aD 的某一邻域是 瓦闭的》(p , 妇形式 了都可开拓成为一在 万是 东闭的形式 , 即存在一在 万是吞闭的 夕使得在 aD 上 , F = 了.证 命 u 为初 的一个开的连通的邻域 , 使得 f在 u 上是东闭的 。选择区域 D : c 〔D〔仁几具有逐块 C( , ’的连通边界 , 使得 瓦一D , 〔u , 将 了连续可徽地拓展到 万的一个邻域 , 那么由吞闭形式的 K oPpe lma n 公式 , 如果 f 具有一到 认 的孚闭开拓 , 则 F 在 岛 上由; (: , 一 (一 , ) ,二:丁了(‘) , 二, 二(: , ‘)+ ; 丁, (。, 。x,1 . _ , 、: , 、)〕“热 “ D : (1 5)唯一决定 , 因此 , 在 口协久上用 (l 5) 来定义 F( 劝 . 由瓦‘, , , ~ 一瓦x , , 9一 , ; , 。= o , l , ⋯ , ,和 st ok 翻公式立知(1 6)、一 (一 )叶止z。; 、 , , 一 (一 1) ,一纷。、。 , ,一友·(了, 、 , , · , )一 。 (1 7 )下面证明尸的确是 f到 几 的一个 孚闭开拓 , 对区域 几一刀, 应用 K叩pe ,~ 公式, 有气广l万J关f(右) A K 一, , (: , 右)十凡唁〔叭f (右) A K一 : (名 , 右)了(‘, , 二, ;, (, , ‘)一;迄。,f烤) A K 一,一 : (: , 雪)〕, : 任几一刀J但是右端第三项和第四项的积分。: 。: )巫丁, (‘)。二, , , (: , 。, ,哎e . l当 二任c. 项, 时为零 , 例如对 G , (幻 , 因为a : (: )一; J了(‘) , 二, , . _ , (: , ‘)唁〔 p 主l如 G J(: )二 0 , 因此如记 : ~ (z’ , ‘ ) , 其中万任。一 , , 若 !宕!川 , 仍I取得大到使 (<宕} x C) n 刀, = 必 , G , (才 , 几 )是一关于 ‘ 的整函数 , 它在点co 为零 , 由 Li ou vil le 定理 , 当 l引很大时 ‘: (万 , ‘)二 0 , 因此 , 由恒等定理 , 在 少一 aD , 的无界分支 。叨: 上 负 (z) 二 O。 同第 1 期 钟同德等 :。 中(P , q )型徽分形式的孚闭开拓理也有 G : (: )二 0 。 因此了(: )一 (一 , ) , ·, :{了(‘) , 、, . , (: , 、) + 、工_ 了(。) , 。 , , 一 : (: , : )〕一 ; (: ) , 当 : 。、一。, .‘〔劫之 ‘七p :这表示 尸的确是 了到 场 的百一闭开拓 , 证毕 。不难证明下述定理 5 (B 阅hn er ) 设 D 为 少 中的一有界域 , 边界 aD 是连通的 , 。项 也是连通的 , 。> 1 ,又 了e 哪结(aD ) , 当且仅当氏f= O成立时 , 存在一 F任哪结(功 , 在 D 是 百一闭的 , 使得 尸1. = j.参 考 文 献1 H ar 它q 梦 F . 周触脱而. 决护. 19 06 , 3 6 ‘2 2 3~ 2 42Z B以 :hn . r 5 . 月朋 . 01 几肠肠. 1 94 3 , 4 4 : 65 2 ~ 67 33 Mar 记in e一s￡ . 口闭抓 . 几血幼 ‘ 月以公. 1 9 42 / 43 , 15 : 3 4 0 ~ 3 494 Har ve y R a n d L门 WsonB. 月” . oj M翻场. 1 97 5 , 1 02 : 2 33 ~ 2 9 05 月 . n 加rg L A a o d Y似h a kov A P. 1.峋耐 伦尸“. 映劝如. . ‘ 几, 祖映. 翻 刀恤州石”. “洲‘ ‘妙川洲. 为叹和初 . T Za们‘l·叙肠th . 加k 门。目潇p抽 5 8 , R 口月d . ”心. , R . 卜 人刀抢r . M a .九 S 洲 , . , 1 9 8 36 助邢e R 礼 劲喊朋份州C 两洲浦0. 吕么日树甲以 瓜户脱叻雌灿 奴 习吮脚以伪侧洲阵 犷口初脚, 。 S阿1叫犷r , 19 舫7 钟同德 . 多复变吸数的积分表示与多维奇异积分方程 , 厦门 : 厦门大学出版社 , 19 86于Close d Ex te n sio n o f (P , q ) Di ffe re n tial Fo r m s in CnZh o n g T o n g d e Qiu Chun h ul(压洲. oj M讼肠 . )灿成r一c t In th is 俘讲r the 孚e l韶ed o x te n si en o f (, , q ) d iffe re n tla l for 扣5 ae r洲 th e bo u n d a ryo f a doma in In 介 15 d i时a胡曰 , tw o n e c翻跳以ry a耐 s u ffi e i切t e o n di 幼on s an d a H a r to g s as we ll as aD 欠hn er ty pe th eo 托m 15 o bta in司 ·K. y 脚r以一 D 正ffe r e n tia l fo rm , 冬clO6 ed , D 沁hn er- Ma rti n elli tr ans fo r刃住 , JUm P fo rm u la , K OPPe l-m a n fo rlnu la, 孚d 咪d e x t。。ai曲 , Hart o 邵 theo re m , Boc hn er th eo 传m

C~n中(p,q)型微分形式的-闭开拓

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