得到复流形上具有逐块Ｃ（１）边界的有界域Ｄ上的（ｐ，ｑ）－形式的带权因子的Ｋｏｐｐｅｌｍａｎ－Ｌｅｒａｙ－Ｎｏｒｇｕｅｔ公式，在适当的假定下得到Ｄ上－方程带权因子的连续解。作为应用，给出Ｓｔｅｉｎ流形上实非退化强拟凸多面体上（ｐ，ｑ）形式的带权因子积分表示式及其－方程的带权因子的连续解

邱春晖

Xiamen University Institutional Repository

第 37 卷　第 6 期 厦门大学学报(自然科学版) Vo l. 37　No . 6　1998年 11 月 Journal of Xiamen Univ er sity ( Natural Science) Nov . 1998　复流形上带权因子的 Koppelman-Leray-Norguet公 式 及 其 应 用¹邱　春　晖(厦门大学数学系　厦门　361005)摘要　 得到复流形上具有逐块 C (1) 边界的有界域 D 上的 ( p , q ) -形式的带权因子的Koppelman-Leray-No rguet公式, 在适当的假定下得到 D 上5-方程带权因子的连续解。作为应用,给出 Stein 流形上实非退化强拟凸多面体上 ( p , q) 形式的带权因子积分表示式及其 5-方程的带权因子的连续解.关键词　复流形,权因子, Koppelman-Leray-No rguet公式, 5-方程,实非退化强拟凸多面体中国图书分类号　O 174. 56Cn空间中和Stein流形上 Koppelman-Leray-Nor guet公式及其应用已经有许多研究 [ 1～5] ,但一般复流形上的积分表示的研究近几年才开始. 最近 Berndtsson[ 6] 得到一般复流形上的Koppelman 公式, 钟同德[ 7]得到了复流形上具有逐块光滑边界的有界域 D 上( p , q) 形式的Koppelman-Leray-Norguet公式, 并给出了 D 上 5-方程的连续解. 在此基础上,本文研究一般复流形上具有逐块光滑边界的有界域 D 上( p , q) 形式带权因子的积分表示, 得到了带权因子的 Koppelman-Leray-Norguet公式和 D 上 5-方程的带权因子的连续解. 作为应用, 给出了Stein 流形上实非退化强拟凸多面体上( p , q) 形式的带权因子的积分表示式及其 5-方程的带权因子的连续解.为简单起见, 采用文献[ 6, 7] 中记号.1　带权因子的 Koppelman-Leray-Norguet 公式定义1　设M 是一 n维复流形,开集D < < M 的边界 5D称为逐块C ( 1) 的,如果存在开集V 1 ,⋯, VN < < M 和 C ( 1) 函数 Qk: V k →R , k = 1, ⋯, N , 满足1) 5D A V 1∪⋯∪ V N ;2) 点 z ∈V 1∪⋯∪ VN 属于D 当且仅当每一 z ∈ V k的指标 k, 1≤ k≤ N , Qk( z ) < 0;3) 对每一指标集 1≤ k 1 < ⋯ < kl ≤ N ,和所有 z ∈ V k1∩⋯∩ V kl, 有　dQk1( z ) ∧⋯∧ dQkl( z ) ≠ 0.以下均假定 D < < M 是一具有逐块 C ( 1) 边界的开集.记 S i = { z ∈5D∩V i:Qi ( z ) = 0} , i = 1,⋯, N , 对每一有序集 I = ( i1 ,⋯, il ) , 1≤ i 1≤⋯¹ 本文 1998-04-01收到; 　国家自然科学基金和福建省自然科学基金资助项目≤ il ≤N ,定义　S I : =S i1∩ ⋯ ∩ S il,若整数 i 1,⋯, il 互不相同　 § 　　　　,其它选取 S I上的定向, 使得5D = ∪Ni= 1S i, 5S I = ∪Nj = 1S I j 这里 5D和5S I分别具有由 D和S I 诱导的定向,I j = ( i 1, ⋯, il , j ) ,则 S I 的定向对 I 的分量是斜对称的.设 R= {K= ( K0 ,⋯, KN ) ∈RN + 1 : Kj ≥0, 6Nj= 0Kj = 1} 为R N + 1中有向N 维单形,以形式 dK1∧⋯∧ dKN 定义 R的定向.对整数 0≤ i 1 < ⋯ < il ≤ N 的每一严格增加的集合 I = ( i 1, ⋯,il ) ,定义 RI = {K∈ R: 6i∈IKi = 1} , 并选择 RI 的定向,使得 5RI = 6lr = 1( - 1) r- 1Ri1,⋯, i^r,⋯, il引理 1[ 1]　5(6I( - 1) ûIûS I × RoI ) = 6IS I × RI - 5D × R0这里求和是对整数 1≤ i 1 < ⋯ < i l≤ N 的所有严格增加的集合 I = ( i1 ,⋯, i l) 进行的, OI =( 0, i1 ,⋯, i l) .设 M 为一 n维复流形, X 为M × M , E 为X 上的n阶全纯向量丛, G为E 的全纯截面使得　{G= 0} = $ = { (F, z ) ∈ M ×M :F= z }如果 N是 E 的对偶丛 E* 的任意光滑截面,它对 G是允许的,即对任何紧集 B < X 有　ûNû≤ CBûGû且 û〈N, G〉û≥ CBûGû2其中, CB 为仅与 B有关的常数.例如 N是 G关于某度量的对偶向量,则 N对 G是允许的.考虑广义式的方程　dK = [ $] - Cn[ ( ]其中 ( 为E 的某一联络D的曲率形式, Cn[ ( ] 为 ( 的第 n个陈式. Berndtsson [ 6] 求出上式的显式解为　K + : = K [N, G] ( z , F) + = 1n! ( 2Pi) nN∧ DG6n- 1k= 0nk( - 1)k ( D * N∧ D G) n- k- 1〈N, G〉n - k ∧ (～k其中 + = e*1 ∧ e 1∧⋯∧ e*n ∧ en , e1 ,⋯, e n为 E 的一局部标架, e*1 , ⋯e*n 为 E * 的对偶标架,而　　(i2P)n 1n!(~n = Cn[ ( ] e*1 ∧ e1∧⋯ ∧ e *n ∧ en. 以后称 K + 为 Ber ndtsson核.记 K [N, G] ( z ,F) = 61≤p≤n1≤q≤n- 1K p , q( z ,F) , 并设 K p , - 1 = K p ,n = 0.其中 K p ,q ( z ,F) 表示 K [N,G] ( z ,F) 中关于 z 是( p , q) 型的分量. Ber ndtsson[ 6] 证明了下述的 Koppelman公式.引理 2　假设 D 是 M 中具有光滑边界的有界域, f 为 D- 上的 k 次光滑形式, 则　f ( z ) =∫5DK ∧ f +∫DK ∧ df + d∫DK ∧ f +∫DCn[ ( ] ∧ f , z ∈ D如果E 是一全纯向量丛, G和 D 是全纯的, 则　f ( z ) =∫5DK p, q ∧ f +∫DK p, q ∧ 5f + 5∫DK p , q- 1∧ f +∫DCn [ ( ] p ,q ∧ f , z ∈ D ( 1)其中 f 是一( p , q) 形式, K p, q 表示K 的关于 z 是( p , q) 型的分量, Cn [ ( ] p , q的意义和 K p , q类似.设 H为E 上的 C∞度量,它诱导一反线性映射L: E → E* , Gû→〈õ, G〉H.设 D为 E 关于 H的联络, D * 为 E* 关于度量 H* (H* 是 H在 E* 上诱导的) 的联络,定义C∞截面 G^= LüG: M× M·808·　　　　　　　　　　　　　　　　厦门大学学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　　1998 年→ E*(M × M ) ,满足:对所有 G∈E (M ×M ) , 〈LG, G〉H≥ 0,并且映射 ûûG( z ,F) ûûL: = (〈LG,G〉H)12 , G∈ E(M × M ) ,在 E(M × M ) 的每一纤维上定义一范数, 记〈LG, G〉H= ûG( z ,F) û2H.在M ×M ×R上记对偶丛E * (M ×M ) 关于映射( z ,F, K) û→ ( z ,F) 的拉回为 E~ * (M× M× R) . 记向量丛 E(M × M ) 的度量 H在 E~ * (M ×M × R) 上的诱导为 H~* ,并记 $ 为 E~ * (M ×M × R) 上关于度量 H~* 的联络.引进一 C∞映射 Q = ( Q1 ,⋯, Qn ) : E* (M × M ) → E~ * (M × M ) .设 G( z ) 在复平面 C1上全纯,其定义域包含映射 M × M → C1, ( z ,F) û→〈Q( z ,F) , G( z , F)〉的像集,且 G( 0) = 1.对在D × S I × R0I的某邻域 A D × M × R0I 的所有使得〈Nk ( z ,F) , G( z ,F)〉≠ 0的( z , F,K) 定义　t * (N1 ,⋯, NN , Gd, G) ( z ,F, K) = K0 Gd( z , F)ûG( z ,F) û2H + 6i∈I KiNi( z ,F)〈Ni ( z ,F) , G( z ,F)〉 ( 2)由 G和Ni( i∈ I ) 的性质可知,映射( z ,F, K) û→ t* ( z ,F, K) 在D× M ×R中D ×5D× R的一邻域上定义 E * (M × M × R) 的一个 C ( 1) 截面,由此微分形式　K-N +: = K- N [ N1 ,⋯, NN , Gd, G] ( z ,F, K) + = 1n! ( 2Pi ) n6n- 1k= 01k! G( k)(〈Q, G〉) ∧　( 5-Q )k∧ t*∧ D G∧ 6n- k- 1j= 0n - k　j( - 1)j( $ t* ∧ D G) n- k- j - 1∧ (~ j ( 3)在 D × M ×R中D × 5D × R的一个邻域上是连续的,其中,当 Q = 0时,令 Qk = 0( k ≥ 1) ,Q0 = 1.注1　核K-N[ N1 ,⋯, NN , Gd, G] ( z ,F, K) +称为具有权的Koppelman-Ler ay-Norguet核.显然,当 G ≡ 1, Q ≡ 0时,它就退化成 Koppelman-Ler ay-Norguet核[ 7].记K-N[N1,⋯, NN , Gd, G] ( z ,F, K) + = 61≤p≤n1≤q≤n- 1K- Np , q( z ,F, K) 并令K- Np , - 1 = K- Np, n = 0,其中K- Np, q ( z ,F, K) 是 K- [N1 ,⋯, NN , Gd, G] ( z ,F, K) + 中关于 z 是( p , q) 型的分量.引理 3　 K-N[N1, ⋯, NN , Gd, G] ( z , F, K) +ûR0I = K- N [ N1 ,⋯, NN , , G] ( z ,F, K) +K- N [N1, ⋯, NN , Gd, G] ( z , F, K) +ûR0 = K- N [ Gd, G] ( z , F, K) + = K~ 0 [ Gd, G] ( z ,F) + ( 4)这里　K~ 0[ Gd, G] ( z ,F) + = 1n! ( 2Pi) n6n- 1k= 01k!G(k) (〈Q , G〉) ∧　( 5-Q ) k ∧ Gd∧D G∧ 6n- k- 1j= 0n - k　j( - 1) j ( D* Gd∧ D G) n - k- j - 1ûGû2( n- k- j )H∧ (~j ( 5)证　只要证明　K-N[ Gd, G] ( z , F, K) + = K~ 0 [ Gd, G] ( z ,F) + ( 6)事实上　K-N[ Gd, G] ( z , F, K) + = 1n! ( 2Pi) n6n- 1k= 01k! G( k)(〈Q , G〉) ∧　( 5-Q )k∧GdûGû2H∧ DG∧ 6n- k- 1j = 0n - k　j( - 1)j( $ GdûGû2H∧ DG)n- k- j - 1∧ (~ j由　　$ ( GdûGû2H) = $(1ûGû2H) Gd + 1ûGû2H$Gd, ( Gd∧ DG) ∧ ( Gd∧ D G) = 0及 $Gd = ¨Gd立得式( 6) .·809·第 6期　　　　邱春晖: 复流形上带权因子的 Koppelman-Leray-Norguet 公式及其应用　　　　　　　　引理 4　设 W × R为 K- N + 的定义域,W < D ×M ,对所有的( z ,F, K) ∈ W × R,令　dK-N + = ( dz , F+ d K) K- N + : = PN + ( 7)则有　 ( 5-F+ dK) K-Np, q( z ,F, K) = P Np, q ( z ,F, K) - 5-z K- Np , q- 1( z , F, K) ( 8)这里,　PNp , q( z , F, K) 是 PN + 中关于 z 是( p , q ) 型的分量.引理 5　设 f ( F) 为 D- 上的连续( p , q ) 形式并使得 5-f 在 D- 上仍然是连续的,则　dF, K( f ∧ K-Np , q) = 5-Ff ∧K-Np , q + ( - 1)p + qf ∧ PNp , q + ( - 1)p + q+ 1f ∧ 5-zK- Np ,q- 1 ( 9)定理 1(带权因子的 Koppelman-Leray-No rguet 公式)　设 M 为一 n维复流形, D 为M 中一有界域且具有逐块 C( 1) 边界, f 为一在D- 上连续的( p , q) 形式且使得 5-f 在D- 上仍然是连续的, 0≤ p , q ≤ n, 则　 ( - 1)p + qf ( z ) = 6ûIû≤n- p - q∫SI×RI f ∧ K- Np, q + 5-z [ 6ûIû≤n- p- q( - 1)ûIû∫SI×R0If ∧ K-Np , q- 1 +∫DI×R0f ∧ K- Np, q- 1 ] - [ 6ûIû≤n- p - q- 1( - 1) ûIû∫SI×R0I5-Ff ∧ K- Np, q +∫D×R05-Ff ∧ K- Np , q] +( - 1)p+ q+ 1 6ûIû≤n- p - q( - 1)ûIû∫SI×R0If ∧ PNp , q +∫D×R0f ∧ Cn [ ( ] p, q , z ∈ D ( 10)其中求和分别是对 ûIû≤n - p - q 和ûI û≤n - p - q - 1的整数1≤ i 1 < ⋯ < il ≤N 的所有严格增加的集合 I = ( i1 ,⋯, il) 进行的.证　在子流形6I( - 1) ûIûS I × R0I 上应用Stokes公式于形式 f (F) ∧K- Np ,q ( z ,F, K) ,由引理 1和引理 5立得　6I( - 1) ûIû∫S I×R0I 5-Ff ∧ K- Np , q + ( - 1) p + q+ 16I( - 1) ûIû∫SI×R0I f ∧ 5-z K- Np , q- 1 +　( - 1)p + q6I( - 1)ûIû∫SI×R0If ∧ PNp, q = 6I∫SI×RI f ∧ K- Np , q -∫5D×R0f ∧ K-Np , q, z ∈ D这里求和是对{ 1, ⋯, N } 的所有严格增加的有序子集 I 进行的.当 K∈ R0 时,由引理 3, K- Np , q( z , F, K) = K 0p , q( z ,F) 这里, K 0p , q( z ,F) 是 K~ 0[ Gd, G] ( z ,F) + 中关于 z 是( p , q) 型的分量.由引理 2知　∫5D×R0f ∧ K 0p, q = ( - 1) p+ qf ( z ) +∫D×R05-Ff ∧K 0p , q -5-z∫D×R0f ∧ K0p , q- 1 -∫D× R0f ∧ Cn [ ( ] p, q , z ∈ D ( 11)注意到　∫SI×R0If ∧ 5-zK- Np, q- 1 = 0,如果 ûI û> n - p - q ( 12)这是因为形式 f (F) ∧ 5-z K- Np , q- 1( z ,F, K) 关于 F的次数≥ n + p + q,因此 dimRS I = 2n - ûIû< n + p + q, 同理　∫SI×RIf ∧ K- Np , q = 0,当 ûIû> n - p - q ( 13)　∫SI×R0If ∧ PNp, q = 0, 当 ûIû> n - p - q ( 14)·810·　　　　　　　　　　　　　　　　厦门大学学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　　1998 年　∫SI×R0I5-Ff ∧ K- Np, q = 0, 当 ûIû> n - p - q - 1 ( 15)由式( 11) ～ ( 15) 即得式( 10) ,定理 1得证.推论1　在定理1的假设下,如果截面N1( z , F) ,⋯, NN ( z ,F) 对 z ∈D是全纯的,并且 ( e =D2e = O ,那么对每一 D- 上的连续( p , q) 形式 f 使得在 D- 上 5-f = 0, 1≤ q ≤ n,有　g ( z ) = ( - 1) p+ q 6ûIû≤n- p - q( - 1) ûIû∫SI×R0If ∧ K- Np, q +∫D×R0f ∧K- Np , q- 1 ( 16)是 5-g = f 在 D 中的连续解.证　由于 ( e = D 2e = O,因此 Cn[ ( ] p , q = PNp , q = 0.如果 N1 ( z , F) , ⋯, NN ( z ,F) 关于 z ∈D 是全纯的,那么对{ 1,⋯, N } 的每一严格增加的有序子集 I = ( i1 ,⋯, il ) ,形式K-N + 关于 z-的次数为零,所以 K- Np , q = 0,如果 q > 0.由定理 1立得推论 1.注 2　取 G ≡ 1, Q≡ 0, 我们可以得到一般的 Koppelman-Leray-Norguet 公式[ 7].注 3　如果M = Cn, 则选向量丛E 为n阶平凡丛, 截面 G通常选为G= F- z ,此时N就选为 Cauchy-Leray 向 量 丛 的 截 面. 显 然 由 定 理 1 立 得 Cn 空 间 带 权 因 子 的Koppelman-Leray-Norguet公式.注 4　如果 M 是一n维 Stein流形,记 T (M ) 和 T * (M ) 分别为 M 的复切丛和复余切丛,T~(M ×M ) 和 T~ * (M ×M ) 分别T (M ) 和T * (M ) 关于投影M ×M →M , ( z , F) û→ z 的拉回,令 E = T~(M ×M ) , E*= T~ *(M ×M ) ,将 E的截面 G取为全纯截面S ( z , F) :M× M→ T~(M× M ) , E*的截面 N1, ⋯, NN 取为 S*1 ( z , F) ,⋯, S *N ( z ,F) .设 D < < M 具有逐块C ( 1) 边界(见定义 1) ,这时全纯截面 G= S( z ,F) 使得{ G= 0} = $ ∪ 8 , $ = { ( z ,F) ∈M × M :F= z } ,其中8 是一与 $不相连结的闭集, G的例外零点造成了新的困难,为了克服这个困难,可以引进全纯函数 UT,它具有性质(见文献[ 1]§4. 2) : UT( z , z ) = 1, 当 z ∈ M , T> 0的整数.设( S*1 ,⋯, S*N ,K* ) 为( D , S , U) 的一个 Leray-Norguet 截面 [ 1] ,取 H为 T~( M × M ) 上的一 Hermite度量, 象式( 2) 一样定义　t*( S*1 , ⋯, S*N , Sd, S) ( z ,F, K) = K0 Sd( z , F)ûS( z ,F) û2H+ 6i∈I KiS*i ( z ,F)〈S*i ( z , F) , S( z ,F)〉其中Sd( z , F) = DS ( z , F) ∈ T~ * (M × M ) [ 4] .命 H* 和 H-* 为 H诱导的 T~ * (M × M ) 和 T- * (M ×M × R) 中的 Hermite度量, D ,¨和 $为 T- (M × M ) , T~*(M × M ) 和 T~*(M × M ×R) 关于 H, H* 和H-* 的陈联络,这时对每一整数T≥ max {nK* , nK} 和每一 z ∈ D ,形式　K-N[UT, S *1 , ⋯, S *N , Sd, S] ( z ,F, K) + = 1n! ( 2Pi ) nUT( z ,F)6n- 1k= 01k ! G( k)(〈Q , S〉) ∧ ( 5-Q )k∧　t * ∧ DS ∧ 6n- k- 1j= 0n - k　j　( - 1) j ( $ t* ∧ DS ) n- k- j- 1∧ (~j ( 17)对所有( z ,F, K) 在 D × M × R中 D × 5D × R的一个邻域上是连续的.以K- N [ UT, S *1 ,⋯, S*N , Sd, S] ( z ,F, K) + 代替式( 3) 中的K- N [ N1 ,⋯, NN , Gd, G] ( z ,F, K) + ,经过同样的论证,定理 1对 Stein流形也成立,即有定理2　设M为一n维Stein流形, D < < M 具有逐块C ( 1) 边界, f 为一在D- 上连续的( p ,·811·第 6期　　　　邱春晖: 复流形上带权因子的 Koppelman-Leray-Norguet 公式及其应用　　　　　　　　q) 形式且使得 5-f 在 D- 上仍然是连续的, 0≤ p , q≤ n, 那么式( 10) 成立, 其中 K- Np , q( z ,F, K) 是K- N [UT, S*1 ,⋯, S*N , Sd, S ] ( z ,F, K) + 中关于 z 是( p , q) 型的分量.特别, 如果截面S *1 ( z , F) ,⋯, S *N ( z ,F) , z ∈D是全纯的,并且 ( e = D 2e = 0,那么对每一D-上连续的( p , q) 形式 f 且使得在 D- 上, 5-f = 0, 1≤ q≤ n.式( 16) 中的g ( z ) 是 5-g = f 在 D中的连续解.2　实非退化强拟凸多面体上带权因子的积分表示定义2　设M为一n维Stein流体,一开集D < < M 称为一强拟凸多面体,如果存在D- 的一个邻域 UD- ,有限多个复维数≤ n的Stein流形M 1, ⋯,M N ,全纯映射F i : UD- →M i , i = 1, ⋯,N ,以及强拟凸开集 D i < < M i , i = 1,⋯, N ,使得　D = F- 11 ( D 1 ) ∩⋯∩ F- 1N ( DN )如果 Q1, ⋯,QN 分别是 5D 1 ,⋯, 5DN 的某一邻域 H1 ,⋯, HN 中的强多次调和 C2函数,使得　D i ∩ Hi = { z ∈ Hi:Qi ( z ) < 0} , i = 1, ⋯, N那么 5D A F- 11 ( H1 ) ∪⋯∪F- 1N (HN ) 并且点 z ∈F- 11 (H1) ∪⋯∪F - 1N ( HN ) 属于D ,当且仅当对每一 1≤ i ≤ N 有 z ∈ F- 1i (Hi) , Qi( F i ( z ) ) < 0.定义 3　D称为实非退化的,如果函数 F i 和Qi 可以选择满足下列条件: 对每一指标集 1≤i1 < ⋯ < il ≤ N ,所有 z ∈ 5D 及Qi1( F i1( z ) ) = ⋯ = Qil( F il( z ) ) = 0,有 d(Qi1üF i1) ( z ) ∧⋯∧ d(QilüF il( z ) ) ≠ 0.注意,实非退化强拟凸多面体的边界在定义 1的意义下是逐块 C ( 1) 的.熟知对实非退化强拟凸多面体存在关于( D , S , U) 的 Leray-No rguet 截面( h*1 ( z ,F) , ⋯,h*1 ( z , F) , 1) (见文献[ 1] 4. 9. 5段) .令　t * ( h*1 , ⋯, h*N , Sd, S ) ( z ,F, K) = K0 Sd( z ,F)ûS( z ,F) û2H + 6i∈I Kih*i ( z , F)〈h*i ( z ,F) , S ( z ,F)〉　K- N [UT, h*1 , ⋯, h*N , Sd, S ] ( z ,F, K) + = 1n! ( 2Pi) nUT( z ,F)6n- 1k= 01k!G(k) (〈Q , S〉) ∧ ( 5-Q ) k ∧　t*∧ DS ∧ 6n- k- 1j= 0n - k　j　( - 1)j( $ t* ∧ DS ) n- k- j- 1∧ (~j ( 18)由定理 2可得定理3　设M 为一n维Stein流形, D < < M 为M上的实非退化强拟凸多面体,那么对每一在D- 上连续并使得 5-f 在 D- 上仍然连续的( p , q) 形式 f , 0≤ p , q ≤ n, 式( 10) 成立.其中K- Np, q( z ,F, K) 是 K- N [ UT, h*1 ,⋯, h*N , Sd, S] ( z ,F, K) + 中关于 z 是( p , q ) 型的分量.特别, 对 D- 上的每一连续的( p , q ) 形式上 f , 0≤ q≤ n,如果在 D中 5-f = 0,且 ( e = D 2e= 0, 那么式( 16) 中的 g( z ) 是 5-g = f 在 D 中的连续解.注 5　当Berndtsson核K [N, G] ( z ,F) + 只取展开式的第一项时, 由定理2和定理 3可以得到文献[ 5, 9, 10] 的结果.·812·　　　　　　　　　　　　　　　　厦门大学学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　　1998 年参　考　文　献1　Henkin G M , Leiter er J. Theor y o f function on complex manifolds. Ber lin: Akademic Ver la y Berlin, 19832　钟同德.多复变函数的积分表示与多维奇异积分方程.厦门: 厦门大学出版社, 19863　钟同德,黄沙. 多元复分析.石家庄: 河北教育出版社, 19904　Demailly J P, Laurent-Thiebaut Ch. Formules intgr ales pour les fo rmes dif fr entielles de type ( p , q )dans les va rits de Stein. Ann. Sci. E′co le No rm . Sup. , 1987, 20( 4) : 579～5985　Qiu Chunhui. 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Stein 流形上( p , q)形式带权因子的积分表示. 厦门大学学报(自然科学版) , 1994, 33( 2) : 151～154Koppelman-Leray-Norguet Formula w ith Weight Factor son Complex Manifolds and Its A pplicat ionsQiu Chunhui( Dept. of M ath. , Xiamen Univ. , Xiamen　361005)Abstract　The Koppelman-Ler ay-Norguet formula w ith w eight facto rs of ( p , q )dif ferent ial form s on bounded domain w ith piecew ise smoo th boundaries on complex mani-fo lds is obtained, and, under suitable condit ions, the w eight cont inuous solution of 5--equationon D is obtained. As an applicat ion, the integral representat ion with w eight factors o f ( p , q)dif ferent ial forms and the w eight cont inuous solut ion of 5--equat ion on a r eal non-degeneratest rictly pseudoconvex polyhedra on Stein manifolds are given.Key words　Complex manifold, Weight factor , Koppelman-Leray-Norguet formu-la, 5--Equation, Real non-degenerate st rict ly pseudoconvex polyhedr a·813·第 6期　　　　邱春晖: 复流形上带权因子的 Koppelman-Leray-Norguet 公式及其应用　　　　　　　　

复流形上带权因子的Koppelman-Leray-Norguet公式及其应用

http://dspace.xmu.edu.cn/bitstream/handle/2288/19039/%e5%a4%8d%e6%b5%81%e5%bd%a2%e4%b8%8a%e5%b8%a6%e6%9d%83%e5%9b%a0%e5%ad%90%e7%9a%84Koppelman-Leray-Norguet%e5%85%ac%e5%bc%8f%e5%8f%8a%e5%85%b6%e5%ba%94%e7%94%a8.pdf?sequence=1&isAllowed=y

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