得到Ｓｔｅｉｎ流形上具有非光滑边界的强拟凸域的（ｐ，ｑ）微分形式的带权因子的Ｋｏｐｐｅｌｍａｎ－Ｌｅｒａｙ公式及其－－方程的带权因子的解，其特点是不含边界的积分，从而避免边界积分的复杂估

林良裕

邱春晖

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第 38 卷　第 1 期 厦门大学学报(自然科学版) Vo l. 38　No . 1　1999年 1月 Journal of Xiamen Univ er sity ( Natural Science) Jan. 1999　Stein 流形上具有非光滑边界的带权因子的 Koppelman-Leray 公式¹邱春晖　林良裕(厦门大学数学系　厦门　361005)摘要　得到 Stein 流形上具有非光滑边界的强拟凸域的 ( p , q ) 微分形式的带权因子的Koppelman-Leray 公式及其 5--方程的带权因子的解,其特点是不含边界的积分,从而避免边界积分的复杂估计.关键词　Stein流形, K oppelman-Leray公式,非光滑边界, 带权因子, ( p , q) 微分形式, 5--方程中国图书分类号　O174. 56熟知Stein流形是一极重要的流形,在Stein流形上有很多非常数的全纯函数. Cn就是一个Stein流形,所以在 Stein流形上研究多元复分析是很自然的[ 1].尤其对于Stein流形上的( p , q)型微分形式, 它和( 0, q ) 型微分形式不同, 这时不能像 Cn 空间一样采用 Euclid 度量, 因为在Stein 流形上 Euclid 度量不是全纯变换下的不变式. 为了解决不变度量的问题, 本文引进Hermite度量和陈联络[ 2, 3],构造了 Stein流形上( p , q) 型微分形式在不变度量下的带权因子的积分核,得到了Stein流形强拟凸域上具有非光滑边界的带权因子的Koppelman-Leray公式及其 5--方程的带权因子的解.其特点是以体积积分代替边界积分,不含有边界积分,避免了边界积分的复杂估计. 本文蕴含着文献[ 1, 4] 的结果.为简单起见, 我们采用文献[ 1～ 3] 的定义和记号.1　带权因子的 Koppelman-Leray 公式设 M 是一复n维Stein流形, D < < M 是一强拟凸域,Q是边界 5D的邻域 H上的强多次调和 C( 2)函数使得D∩H= { z ∈D :Q( z ) < 0} .记N (Q) = { z ∈ H-:Q( z ) = 0} ,并假设N (Q) < <H(我们不必假设当 z ∈ 5D时 dQ( z ) ≠ 0) .由于 D < < M ,不失一般性,可假设 M 是一更大的Stein流形的相对紧开集. 设 S( z , N) , U( z , N) ,K如同文献[ 1] 中引理 4. 2. 4所言,则由文献[ 1]中定理 4. 8. 3和引理4. 8. 2,收缩 H后, 可以找到 E> 0, A> 0以及定义在 z ∈D ∪H, N∈ H的C( 1) 函数 5 ( z , N) , 5～( z , N) 满足下列条件[ 1] :1) 5 ( z , N) 和 5～( z , N) 在 z ∈ D ∪ H上全纯;2) 5 ( z , N) ≠ 0, 5～( z , N) ≠ 0, 当 z ∈D ∪ H, N∈ H且 dist ( z , N) ≥ E时; 　　 ( 1)¹ 本文 1998-05-28收到; 　国家自然科学基金和福建省自然科学基金资助项目û5 ( z , N) û≥ A(Q( N) - Q( z ) + [ dist ( z , N) ] 2) , 当 z ∈ D ∪ H, N∈ H, 且 dist ( z , N) ≤ E;( 2)û5～( z , N) û≥ A( - Q(N) - Q( z ) + [ dist ( z , N) ] 2) ,当 z ∈ D∪ H, N∈ H,且dist ( z , N) ≤ E;( 3)　5 ( z , z ) = 0,对所有 z ∈ H. 　　 ( 4)3) 5～( z , N) = 5 ( z , N) ,当 N∈ N (Q) , z ∈ D∪ H时. ( 5)由文献[ 1] 中推论4. 9. 4,收缩 H后,可找到一定义在 z ∈D∪ H, N∈ H上的T * (M ) 值C ( 1)映射S*( z , N) 满足下列条件 [ 1] :1) S*( z , N) ∈ T *z (M ) , 当 z ∈ D ∪ H, N∈ H时;2) S* ( z , N) 关于 z ∈D ∪ H全纯;3) U( z , N) 5 ( z , N) = 〈S* ( z , N) , S( z , N)〉, 当 z ∈ D ∪ H, N∈ H时. 　　 ( 6)当 z ∈ D , N∈ 5D时,则由式( 6) 得　U( z , N) S * ( z , N)〈S*( z , N) , S ( z , N)〉=S*( z , N)5 ( z , N) 　　 ( 7)引进一 C∞ 映射 Q = ( Q1 ,⋯, Qn ) : E* (M × M ) → E~ * (M × M ) , 对于每一个固定的 N,Q ( z , N) 关于 z 全纯.设 G ( z ) 在复平面 C1 上全纯, 其定义域包含映射 M × M → C1 , ( z , N) →〈Q ( z , N) , S( z , N)〉的像集,且 G ( 0) = 1. 仍用 Q记作〈Q , DS〉,这并不会引起混乱.对在D × 5D × [ 0, 1] 的某邻域 A D × M × [ 0, 1] 的所有使得〈S * ( z , N) , S ( z , N)〉≠ 0的( z , N, K) ,定义　t*( S*, Sd, S ) = K Sd( z , N)ûS ( z , N) û2H+ ( 1 - K)S* ( z , N)〈S*( z , N) , S ( z , N)〉　　 ( 8)由式( 1) 可知, 5 ( z , N) ≠0, 因此, ( S* , 1) 是D的Leray截面.当 5D 是C ( 1) 逐块光滑时,我们有如下的带权因子的 Koppelman-Leray 公式 [ 5] .引理 1[ 5]　设D < < M 具有C ( 1) 逐块光滑边界, T≥2n¼, 1≤ q≤n,若C( T~(M ×M ) ) =D2 = 0,则对每一个在 D- 上连续并且 5-f 在 D- 仍然连续的( p , q) 微分形式 f ,有　( - 1)p + qf ( z ) = 5-z　∫5D×[ 0, 1] f (N) ∧ 8- ( z , N, K) +∫D f (N) ∧ 8 ( z , N) -　　∫5D×[ 0, 1] 5-Nf (N) ∧ 8-( z , N, K) +∫D 5-Nf (N) ∧ 8 ( z , N) , z ∈ D　　 ( 9)其中　8 ( z , N) = ( - 1)n- 1( 2P) n UT( z , N)6n- 1k= 01k!G(k) (〈Q , S〉) ( 5-Q) k ∧〈Sd, DS〉∧〈ý ″Sd, DS〉n- k- 1ûSû2( n- k)H　8-( z , N, K) = ( - 1)n- 1( 2P) n UT( z , N)6n- 1k= 01k! G( k)(〈Q , S〉) ( 5-Q)k∧〈t * , DS〉∧〈$″t* , DS〉n- k- 1　ý ″Sd= 5-z , Nud( ud为 Sd的局部坐标表示)　$″t * = ( 5-z , N+ dK) T, ( T为 t* 的局部坐标表示)特别地, 对每一个在 D-上连续在 D 内满足 5-f = 0的( p , q) 微分形式 f ,·12·　　　　　　　　　　　　　　　　厦门大学学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　　1999年　g : = ( - 1) p + q　∫5D×[ 0, 1] f (N) ∧ 8-( z , N, K) +∫Df (N) ∧ 8 ( z , N)是 5--方程 5-g = f 的连续解.2　不含边界积分的带权因子的 Koppelman-Leray公式选取 V ∈ C∞0 (H) ,使得在 N (Q) 的某邻域上有 V = 1. 由式( 1) 和( 3) 可知, 对每个 z ∈ D ,存在N (Q) 的邻域 V z A H,使得当 N∈ ( D ∩ H) ∪V z 时, 有 5~( z , N) ≠ 0. 由于 SuppV < < H,因此对固定的 z ∈ D ,映射V (N) S* ( z , N)5～( z , N)在 N∈ D ∪ V z 上是 C ( 1) 的.令　t~* ( S * , Sd, S ) = K Sd( z , N)ûS ( z , N) û2H+ ( 1 - K)V (N) S* ( z , N)5～( z , N),　0≤ K≤ 1则对 z ∈ D- , N∈ D- \ { z } ,映射 UT( z , N) t~* ( S * , Sd, S) 关于N有连续的一阶导数, 关于 z 有连续的小于或等于 2阶的导数(参考文献[ 1] 中引理 4. 2. 4( V ) ) .因此,微分形式　8～( t~* , Sd, S ) = ( - 1)n- 1( 2P) n UT( z , N)6n- 1k= 01k !G( k) (〈Q , S〉) ( 5-Q ) k ∧〈t~*, DS〉∧〈$″t~* , DS〉n- k- 1　　 ( 10)　8d( t~* , Sd, S) = ( - 1)n- 1( 2P) nUT( z , N)6n- 1k= 01k!G( k) (〈Q , S〉) ( 5-Q) k ∧ 〈$″t~* , DS〉n- k　　 ( 11)关于 z ∈ D- , N∈ D- \ { z } 连续(关于 z 是 C ( 1) 的) .设 t~* 的局部坐标表示为 v * ,记　W ( DS) = DS j1∧⋯∧ DS jn- k　W ( $″t~* ) = 5-v*j1∧ ⋯∧ 5-v*jn- k　W′( $″t~* ) = 6n- kl= 1( - 1)jl- 1v*j l ∧l≠p 5-v*j p其中 1≤ j 1 < ⋯ < j n- k ≤ n.引理 2　1)n!k!W ( $″t~* ) ∧W ( DS) = ( - 1) ( n- k) ( n- k- 1)k〈$″t~* , DS〉n- k　　 ( 12)2)〈t~* , DS〉∧〈$″t~* , DS〉n- k- 1 = ( - 1) ( n- k) ( n- k- 1) k 1n - kõ n!k!W′( $″t~* ) ∧ W ( DS )( 13)证　1) 显然.2) 定义向量 [ 3] a = 6n- kl= 1v*jl55-v*jl,用向量 a对式( 12) 两边作收缩运算　, 利用　a　W ( $″t~* ) = W′( $″t~* )　a　〈$″t~* , DS〉n- k = ( n - k )〈t~* , DS〉∧〈$″t~* , DS〉n- k- 1即可得式( 13) .引理 3　若 C( T~(M × M ) ) = D 2 = 0, 则　d8~( t~* , Sd, S ) = ( 5-z , N+ dK) 8~( t~* , Sd, S) = 8d( t~* , Sd, S )　　 ( 14)证　由于 C( T~(M × M ) ) = D 2 = 0, G( z ) 关于 z 全纯,由引理 2有·13·第 1 期　　　邱春晖等: Stein 流形上具有非光滑边界的带权因子的 Koppelman-Leray 公式　　　　　　　　　( 5-z , N+ dK) 8~( t~* , Sd, S) = ( 5-z , N+ dK) [ ( - 1)n- 1( 2P) n UT( z , N) 6n- 1k= 01k!G( k) (〈Q, S〉) ( 5-Q ) k ∧　( - 1) ( n- k) ( n- k- 1) k1n - kõ n!k !W ( $″t~* ) ∧ W ( DS) ] =　 ( - 1)n- 1( 2P) nUT( z , N) 6n- 1k= 01k!G( k) (〈Q , S〉) ( 5-Q ) k ∧ ( - 1) ( n- k) ( n- k- 1) k n!k!W ( $″t~* ) ∧W ( DS )　 =( - 1) n- 1( 2P) n UT( z , N)6n- 1k= 01k!G( k)(〈Q , S〉) ( 5-Q )k∧〈$″t~* , DS〉n- k = 8d( t~* , Sd, S) .引理 4　 8~( t~* , Sd, S ) ûK= 1 = 8 ( z , N)　 8~( t~* , Sd, S ) ûK= 0 = 8-∧( z , N)其中 8-∧( z , N) = ( - 1)n- 1( 2P) n UT( z , N) 6n- 1k= 01k!G( k) (〈Q, S〉) ( 5-Q ) k ∧〈W 1, DS〉∧〈$″W 1, D S〉n- k- 1W 1( z , N) = V (N) S* ( z , N)5～( z , N)引理 5　设( p , q) 形式 f 在D 上连续,并且 C( T~(M × M ) ) = D2= 0,则　dN, K[ f (N) ∧ 8~( t~* , Sd, S ) ] = 5-Nf (N) ∧ 8~( t~* , Sd, S ) +　( - 1) p + qf (N) ∧ 8d( t~* , Sd, S ) - 5-z [ f ( N) ∧ 8~( t~* , Sd, S) ]　　 ( 15)证　因为　 dN, K[ f (N) ∧ 8~( t~* , Sd, S) ] = ( 5-z, N+ dK) [ f ( N) ∧ 8~( t~* , Sd, S ) ] -　5-z [ f ( N) ∧ 8~( t~* , Sd, S ) ]由引理 3立得式( 15) .引理 6　设 N∈ 5D ,则　8~( t~* , Sd, S) = 8-( z , N, K)　　 ( 16)引理 7　对于 D- 上每一连续有界的( p , q) 形式 f ,有1)∫D f (N) ∧ 8-∧( z , N) = 0　( z ∈ D ) ,若 q ≠ 1　 ( 17)2) 5-z∫D f ( N) ∧ 8-∧( z , N) = 0　( z ∈ D ) ,若 q = 1　　 ( 18)证　1)因为S * ( z , N)、5~( z ,F)和Q ( z , N) 关于 z 全纯, 8-∧( z , N) 中5-z的次数为0, 因此, 8-∧( z ,N) 中 5-N的次数为 n - 1, 所以,当 q≠ 1时,式( 17) 中的积分必为 0.2) 当 q = 1时,由于 S* ( z , N)、5~( z , N) 和 Q ( z , N) 关于 z 全纯, 因此,式( 18) 成立.定理 1　设 D是Stein流形M 上边界不必光滑的强拟凸域,并设 D具有满足式( 1) ～ ( 6)的全纯支撑函数 5 ( z , N) 和5~( z , N) .若C( T~(M ×M ) ) = D 2 = 0,则对于D上每一连续有界的( p , q) 形式 f 使得 5-f 在 D 上仍然连续有界, 0≤ p ≤ n, 1≤ q ≤ n,有　f ( z ) =∫D×[ 0, 1] 5-f (N) ∧ 8d( t~* , Sd, S ) + 5-z∫D×[ 0, 1] f (N) ∧ 8d( t~* , Sd, S )　　 ( 19)特别地, 若在 D 上 5-f (N) = 0,则　g∶ =∫D×[ 0, 1] f (N) ∧ 8d( t~* , Sd, S )　　 ( 20)·14·　　　　　　　　　　　　　　　　厦门大学学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　　1999年是 D 上 5--方程 5-g = f 的连续解.注 1　5-方程解的表达式( 20) 中不含有边界积分, 从而避免了边界积分的复杂估计.注 2　当 G ≡ 1, Q≡ 0时, 定理 1蕴含着文献[ 1, 4] 的结果.定理 1的证明 　先证明特殊情形dQ( N) ≠ 0, N∈ 5D 时, 定理 1成立.在 D × [ 0, 1] 上,对 dN, K[ f (N) ∧ 8~( t~* , Sd, S ) ] 应用 Stokes 公式得　∫D×[ 0, 1]dN, K[ f (N) ∧ 8~( t~* , Sd, S ) ] =∫5{D×[ 0, 1] } f ( N) ∧ 8~( t~* , Sd, S )又　　5{D × [ 0, 1] } = 5D × [ 0, 1] + D× { 1} - D × { 0}则由引理 5,有　∫D×[ 0, 1] 5-Nf (N) ∧ 8~( t~* , Sd, S) + ( - 1) p + q∫D×[ 0, 1] f (N) ∧ 8d( t~* , Sd, S ) -　∫D×[ 0, 1] 5-z [ f (N) ∧ 8～( t~*, Sd, S ) ] =∫5D×[ 0, 1] f (N) ∧ 8～( t~*, Sd, S) +　∫D×{ 1} f (N) ∧ 8～( t~* , Sd, S ) -∫D×{ 0} f ( N) ∧ 8～( t~* , Sd, S )由引理 4和引理 6, 有　∫D×[ 0, 1] 5-Nf (N) ∧ 8～( t~*, Sd, S) + ( - 1) p+ q∫D×[ 0, 1] f (N) ∧ 8d( t~*, Sd, S) +　5-z∫D×[ 0, 1] f (N) ∧ 8～( t~* , Sd, S) =∫5D×[ 0, 1] f (N) ∧ 8-( z , N, K) +　∫D f ( N) ∧ 8 ( z , N) -∫D f ( N) ∧ 8-∧( z , N)即　∫D×[ 0, 1] f ( N) ∧ 8d( t~*, Sd, S ) = ( - 1) p+ q[∫5D×[ 0, 1] f (N) ∧ 8-( z , N, K) +　∫Df (N) ∧ 8 ( z , N) ] + ( - 1) p + q+ 1[∫D×[ 0, 1] 5-Nf (N) ∧ 8～( t~* , Sd, S) +　5-z∫D×[ 0, 1] f (N) ∧ 8～( t~*, Sd, S) +∫D f ( N) ∧ 8-∧( z , N) ]　　 ( 21)对式( 21) 两边求 5-z　5-z∫D×[ 0, 1] f (N) ∧ 8d( t~* , Sd, S ) = ( - 1) p + q5-z [∫5D×[ 0, 1] f (N) ∧ 8-( z , N, K) +　∫Df (N) ∧ 8 ( z , N) ] + ( - 1)p + q+ 1[ 5-z∫D×[ 0, 1] 5-Nf (N) ∧ 8～( t~*, Sd, S) +　5-z∫D f (N) ∧ 8-∧( z , N) ]　　 ( 22)在式( 21) 中用 5-Nf ( N) 代替 f (N) 得　∫D×[ 0, 1] 5-Nf (N) ∧ 8d( t~* , Sd, S) = ( - 1) p + q+ 1 [∫5D×[ 0, 1] 5-Nf (N) ∧ 8-( z , N, K) +　∫D 5-Nf (N) ∧ 8 ( z , N) ] + ( - 1) p + q[ 5-z∫D×[ 0, 1] 5-Nf (N) ∧ 8～( t~* , Sd, S) +　∫D 5-Nf (N) ∧ 8-∧( z , N) ]　　 ( 23)由引理 7, 有·15·第 1 期　　　邱春晖等: Stein 流形上具有非光滑边界的带权因子的 Koppelman-Leray 公式　　　　　　　　　∫D 5-Nf (N) ∧ 8-∧( z , N) = 0(∵q ≥ 2) , 5-z∫D f (N) ∧ 8-∧( z , N) = 0　将式( 22) 和( 23) 相加得　5-z∫D×[ 0, 1] f (N) ∧ 8d( t~* , Sd, S ) +∫D×[ 0, 1] 5-Nf (N) ∧ 8d( t~* , Sd, S )　 = ( - 1)p+ q 5-z [∫5D×[ 0, 1] f (N) ∧ 8-( z , N, K) +∫D f (N) ∧ 8 ( z , N) ] +　( - 1)p + q+ 1[∫5D×[ 0, 1] 5-Nf (N) ∧ 8-( z , N, K) +∫D 5-Nf (N) ∧ 8 ( z , N) ]　　 ( 24)由引理 1, 式( 24) 的右边恰好就是 f ( z ) , 即式( 19) 成立.对于一般情形,不必假设 dQ( N) ≠ 0, N∈ 5D .此时,只须考虑一列一致趋于D 的强拟凸开集 Dm,在 Dm 上如本节开头重新构造新核,利用“关于 m 的一致性”, 定理 1可得证.参　考　文　献1　Henkin G M , Leiter er J. Theor y o f function on complex manifolds. Ber lin: Akademic-Verlag , 19842　Demailly J P, Laurent-Thiebaut Ch. Formules intgr ales pour les fo rmes dif fr entielles de type ( p , q )dans les va rits de Stein. Ann. Sci. E c/o le No rm Sup. , 1987, 20( 4) : 579～5983　钟同德,黄沙. 多元复分析.石家庄: 河北教育出版社, 19904　范国兴. Stein 流形上( p , q)形式 5--方程解的不含边界积分的表示及其一致估计: [硕士学位论文] . 厦门:厦门大学数学系, 19915　王志强. Stein 流形上( p , q)形式带权因子的积分表示.厦门大学学报 (自然科学版) , 1994, 33( 2) : 151～1546　Berndt sson B, Ander sson M . Henkin-Ramirez fo rmulas w ith weight factor s. Ann. Inst . F our ier . Greno-ble, 1982, 32( 3) : 91～110T he Koppelman-Leray Formula w ith Weight Factors fora St rictly Pseudoconvex Domain w ith Non-smoothBoundary on Stein M anifoldsQ iu Chunhui　Lin Liangyu( Dept . of M ath. , Xiamen Univ. , Xiamen　361005)Abstract　T he Koppelman-Leray formula w ith w eight factors of ( p , q) dif ferentialfo rms for a st rict ly pseudoconvex domain with unnecessarily smooth boundary on a Steinmanifold is obtained, and an integ ral representat ion fo r the solut ion with w eight factors o f 5--equat ion on this domain, w hich does not invo lve integr al on boundary , is given, so that onecan avo id complexity est imat ions of boundary integrals.Key words　Stein manifold, Koppelman-Leray formula, Non-smoo th boundar y,Weight factor, ( p , q) differ ent ial fo rm, 5--equat ion·16·　　　　　　　　　　　　　　　　厦门大学学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　　1999年

Stein流形上具有非光滑边界的带权因子的Koppelman-Leray公式

http://dspace.xmu.edu.cn/bitstream/handle/2288/19027/Stein%e6%b5%81%e5%bd%a2%e4%b8%8a%e5%85%b7%e6%9c%89%e9%9d%9e%e5%85%89%e6%bb%91%e8%be%b9%e7%95%8c%e7%9a%84%e5%b8%a6%e6%9d%83%e5%9b%a0%e5%ad%90%e7%9a%84Koppelman-Leray%e5%85%ac%e5%bc%8f.pdf?sequence=1&isAllowed=y

Stein流形上具有非光滑边界的带权因子的Koppelman-Leray公式

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