在等价鞅测度集Me≠的条件下,文章给出了最小对称熵鞅测度的概念.利用这一新的准则,确定了鞅测度,提供了存在惟一最小对称熵鞅测度的充分条件.进一步,刻画了最小对称熵鞅测度密度的特征.最后,在不完备市场的条件下,讨论了对称熵最小化和效用函数最大化的等价性

刘继春

杜立金

汤思英

Xiamen University Institutional Repository

第 43 卷 　第 4 期 厦门大学学报 (自然科学版) Vol. 43 　No. 4　2004 年 7 月 Journal of Xiamen University (Natural Science) J ul. 2004 　文章编号 :043820479 (2004) 0420465204最小对称熵鞅测度和不完备市场中的定价问题收稿日期 :2003210223基金项目 :厦门大学校级自选课题基金 (0020 Y07008)资助作者简介 :汤思英 (1978 - ) ,女 ,硕士研究生.汤思英 ,刘继春 ,杜立金(厦门大学数学科学学院 ,福建 厦门 361005)摘要 : 在等价鞅测度集Me ≠<的条件下 ,文章给出了最小对称熵鞅测度的概念. 利用这一新的准则 ,确定了鞅测度 ,提供了存在惟一最小对称熵鞅测度的充分条件. 进一步 ,刻画了最小对称熵鞅测度密度的特征. 最后 ,在不完备市场的条件下 ,讨论了对称熵最小化和效用函数最大化的等价性.关键词 : 等价鞅测度 ;对称熵鞅测度 ;不完备市场中图分类号 : O 212. 6 ; F 830. 9 文献标识码 :A 　　　　　　　　　　　　　　　　　在不完备的市场中 , 存在着一些等价鞅测度 ,完全的套期保值是不可能的. 在这种情况下 ,无套利价格是一个区间 , 它们对应着不同的等价鞅测度[1 ] .对于等价鞅测度的选择 , 人们已经给出了一些准则. 最常见的有最小鞅测度[2 ] 和最优方差鞅测度[3 ] .另外 ,基于相对熵的最小熵鞅测度准则也是人们所熟知的[4～8 ] . 相对熵是用来表示两个概率测度之间“距离”的量 ,但它不具有距离的对称性. 为了克服这一缺陷 , 首先我们将引入对称熵的概念. 然后 ,在等价鞅测度集 Me ≠ <的条件下 ,给出了最小对称熵鞅测度的准则 ,提供了存在惟一最小对称熵鞅测度的充分条件. 进一步 ,刻画了最小对称熵鞅测度密度的特征. 最后 ,在不完备市场的条件下 ,讨论了对称熵最小化和效用函数最大化的等价性.1 　最小对称熵鞅测度首先 , 通过带流的概率空间 (Ω, F , ( Ft) 0 ≤t ≤T ,P) 对金融市场随机性建立模型. 假定σ2 域流 F =( ( Ft) 0 ≤t ≤T) 满足通常的右连续和完备的条件 , 并且σ2域 F0 是平凡的且 FT = F.用定义在 (Ω, F , ( Ft) 0 ≤t ≤T , P) 上的随机过程S 0 , ⋯, S d 表示 d + 1 个可交易的资产的价格. 进一步 ,假设 S = ( S 0 , ⋯, S d) 是适应的、右连续左极限存在的严格正的半鞅. 证券 0 被认为是一个numerßire[1 ] . 折现过程 S : = 1S 0( S 0 , ⋯, S d) = (1 ,1S 0S 1 , ⋯, 1S 0S d) . 交易策略 φ = (φ0 , ⋯,φd) 是R d +1 2值、可料的随机过程 ,φit 表示在时刻 t 投资在证券 i 上的份数. G (φ) ( Gt (φ) : =∫t0φs ·d S s) 表示折现增益过程 , 而折现价值过程是 V t (φ) =V 0 (φ) + Gt (φ) ,这里 V 0 (φ) 是初始投资.L 0 ( P) 、L ∞( P) 和 L 1 ( P) 分别表示在 (Ω , F)上 P2有限、P2本性有界和 P2可积的随机变量全体.令K : = L i n{ Gt (φ) - Gs (φ) :φ ∈ L∞( P) ,　0 ≤ s ≤ t ≤ T} .其中 L i n{·} 表示由满足条件的元素所生成的线性空间. 进一步 ,令M: = { Q ν P : EQ ( k) = 0 , Π k ∈ K} ,Me : = { Q ∈M: Q ～ P} .在本文中 ,总假设Me ≠<成立. 为了方便 ,现将最小熵鞅测度 (MEM) 的概念重新叙述如下 :定义 1 　1) 设 Q 是 (Ω , F) 上的概率测度. Q 对P 的相对熵 I ( Q , P) 被定义为 :若 Q ν P ,则I ( Q , P) = EP (d Qd Pln (d Qd P) ) ,否则 , I ( Q , P) = + ∞.2) 若概率测度 Q0 ∈M满足I ( Q0 , P) = minQ ∈MI ( Q , P) ,则称概率测度 Q0 是最小熵鞅测度 (MEM) .上述所定义的相对熵可理解为两个测度之间的“距离”. 而在一般情况下 , I ( Q , P) 与 I ( P , Q) 是不相同的 ,为了克服这一不足 ,我们引入对称熵的概念.定义 2 　1) 若 Q ～ P ,则S ( Q , P) = ( I ( P , Q) + I ( Q , P) ) / 2 .被称为概率测度 Q 和 P 的对称熵.2) 若概率测度 Q0 ∈Me 满足S ( Q0 , P) = minQ ∈MeS ( Q , P) ,则称概率测度 Q0 是最小对称熵鞅测度 (MSEM) .根据上面的定义 ,显然有 S ( Q , P) = S ( P , Q) . 以下为了叙述的方便 ,省略上面定义中的系数 1/ 2 .如果 M 是 (Ω , F) 上的一个概率测度的集合.设S ( M , P) = inf{ S ( Q , P) : Q ∈Me} .注意到在 Q ～ P 的情况下 ,可以得到S ( Q , P) = EP (d Qd Plnd Qd P) + EQ (d Qd Plnd Qd P) =　EP ( (d Qd P- 1) lnd Qd P) .为了讨论方便 ,不妨设Φ( x ) = ( x - 1) ln x , x∈ (0 , + ∞) . 容易验证函数Φ( x ) 是严凸的和非单调的 ,所以它存在着惟一的最小值. 令M0 = { Q ∈Me : S ( Q , P) < + ∞} ,L : = ∩Q ∈M0L 1 ( Q) .定理 1 　若 S (Me , P) < + ∞,且 S 是有界的 ,则存在着惟一的最小对称熵鞅测度.证 　如果证明了对称熵测度的存在性 ,则其惟一性可由函数Φ( x ) 的严凸性得出. 取定{ Q n} n ≥1Α M0 ,使得 S ( Q n , P) ψ S (Me , P) . 由于supn ≥1EP (Φ(d Q nd P) ) ≤ S ( Q1 , P) ,和 lim x ϖ ∞(Φ( x ) / x ) = + ∞, 我 们 容 易 得 到{d Q nd P} n ≥1 是一致可积的. 根据 Dunford2Pettis 紧致性原理[9 ] , 我们可以找到这样一个子列 , 仍用{d Q nd P} n ≥1 来表示 ,在σ( L1 ( P) , L ∞( P) ) 拓扑空间中是收敛的. 然后 ,利用 Hahn2Banach 定理[9 ] ,可以找到 { Q n} n ≥1 的凸组合序 列 { Q n} n ≥1 , 使 得{d Q nd P} n ≥1 在 L1 ( P) 范数拓扑空间 ,对φ0 =d Q0d P∈L 1 ( P) 来说是收敛的. 因为 Q n ∈M0 ,并且过程 S 是有界的 ,有0 = EQn( f ) = EP ( fd Q nd P) ϖ EP ( fd Q0d P) =　EQ0( f ) , Π f ∈ K Α L ∞( P) .因此 Q0 ∈Me . 由 S ( Q n , P) 的凸性和对于 n的单调性 ,有 S ( Q n , P) ≤ S ( Q n , P) . 再由 Fatou 引理 ,有S ( Q0 , P) ≤ limn ϖ + ∞inf S ( Q n , P) ≤　 limn ϖ + ∞inf S ( Q n , P) = S (Me , P) .为了研究 MSEM 的密度 ,下面的引理是需要的.引理 1 　设 Q0 , Q1 ∈M0 ,并且记 Q x = x Q1 +(1 - x ) Q0 , x ∈[0 ,1 ]. 则dd xS ( Q x , P) | x = 0 = EQ1(ln (d Q0d P) -　I ( Q0 , P) + 1 - EP (d Q1d Q0) .证 　在文献[6 ] 中有 :dd xI ( Q x , P) | x = 0 = EQ1 (lnd Q0d P) - I ( Q0 , P) .因此 ,只需要证明 :dd xI ( P , Q x) | x = 0 = 1 - Ep (d Q1d Q0) .事实上 ,dd xI ( P , Q x) | x = 0 = limx ψ0EP (lnd Pd Q x- lnd Pd Q0x)=　EP ( - (lnd Q xd P)′| x = 0) = 1 - EP (d Q1d Q0) .定理 2 　假设 S (Me , P) < + ∞, Q0 是最小对称熵鞅测度 (MSEM) 当且仅当(i) 　Q0 ∈Me ;(ii) 　(d Q0d P) - 1 - lnd Q0d P= c + f 0 ;　其中 f 0 ∈L1 ( Q0) , EQ0 ( f 0) = 0 , c ≤1 ;(iii) f 0 ∈ C0 ,其中 C0 : = { f ∈L : EQ1 ( f 0) ≤0 ,　Q1 ∈M0} .证 　先证充分性. 设 Q0 ∈Me ,有S ( Q1 , P) - S ( Q0 , P) =　EQ1(lnd Q1d P) + EP (lnd Pd Q1) -　EQ0(lnd Q0d P) - EP (lnd Pd Q0) ≥　EQ1 (lnd Q0d P) + EP (lnd Q0d Q1) - EQ0 (lnd Q0d P) =　EP (d Q1d Q0) - EQ1( f 0) - 1 - EP (lnd Q1d Q0) ≥0 .相反地 ,令 c = 1 - I ( Q0 , P) ,·664· 厦门大学学报 (自然科学版) 　　　　　　　　　 　　　　　　　　2004 年f 0 = I ( Q0 , P) - 1 +d Pd Q0+ lnd Pd Q0.则 (i) 和 (ii) 成立. 利用引理 1 ,有0 ≤ dd xS ( Q x , P) | x = 0 = EQ1(ln (d Q0d P) ) -　I ( Q0 , P) + 1 - EP (d Q1d Q0) = - EQ1( f 0) .因此 (iii) 成立.定理 3 　设 C = K - L ∞+ ( P) 和 CQ 表示 C 在L 1 ( Q) 中的闭包 ,则 C0 = ∩Q ∈M0CQ .证 　若 Q ∈Me , 则对任意 f ∈ C 显然有EQ ( f ) ≤0 , 因此 ∩Q ∈M0 CQ Α C0 . 相反地 ,我们利用反证法. 设 Q ∈M0 , f 0 ∈ C0 ,但 f 0 | CQ . 根据Hahn2Banach 定理[9 ] , 存在η ∈ L ∞( Q) 使得 0 =sup f ∈C EQ (ηf ) < EQ (ηf 0) . 又因为 - 1{η< 0} ∈ C ,显然有η ≥0 Q2a. s. . 记η1 : = η/ E (η) ,进一步 ,设 dQ1/ dQ = η1 ,我们知道 Q1 ～ Q . 因 K Α C 是一个 线 性 空 间 , 所 以 对 任 意 f ∈ K , 由sup f ∈C EQ (ηf ) = 0 可以得到 EQ1( f ) = 0 ,进而 Q1∈Me . 再根据η1 ∈L ∞( Q) 和 Q ∈M0 ,知道S ( Q1 , P) = EQ (η1lnη1) + EP (η1d Qd Pln (d Qd P) ) -　EP (lnη1) + I ( P , Q) < + ∞,所以 , Q1 ∈M0 . 而 EQ1( f 0) > 0 ,与 f 0 ∈C0 矛盾.推论 1 　如果定理 2 的 (i) 和 (ii) 成立 , 且S (Me , P) < + ∞,则a) 若 f 0 ∈ K 或 f 0 ∈ C , 则 Q0 是 MSEM ;　　　　　　　　　　　(a) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(b) 　　图 1 　4 种函数曲线图 　(a) : y ≥1 ; (b) :0 . 1 ≤ y ≤1①y = e- x 　②y = ( x + 1) -56 　③y = ( x + 1) - 1 　④y + xy + yln y = 1　Fig. 1 　Graphs of functionsb) 若 Q0 是 MSEM , 则 f 0 ∈CQ0 ∩L 或 f 0 ∈KQ0 ∩L ( KQ 表示 C 在 L 1 ( Q) 中的闭包) .对于离散时金融市场 ,即交易只在整数时 1 ,2 ,⋯, T 发生时 ,给出下面的结论. 首先 ,记KΛ: = L i n{ ρTt = 1φt ·( S t - S t - 1) :φ ∈L0 ( P) } ,K0 : = KΛ∩L.类似文献[6 ] 中的定理 2 . 5 证明 ,可得以下定理.定理 4 　如果用 K0 代替 C0 ,定理 2 仍然成立.2 　对称熵鞅测度的金融解释投资组合的最优化 ,通常是基于效用函数期望的最大化.定义 3 　1) 如果一个函数 u : R ϖ R 满足 :a) u 是二次可微 ;b) lim x ϖ ∞u′( x ) = 0 ;c) 对任意的 x ∈ R , u′( x ) > 0 , u″( x ) < 0 ,则称 u 是一个效用函数.2) 我们用 L ′( S ) 表示满足 EP (| V T (φ) | ) <∞的所有投资组合φ的集合.3) 如果一个投资组合φ ∈L ′( S ) 满足对任意的投资组合φ ∈L ′( S ) 都有EP ( u ( V T (φ) ) ) ≥ EP ( u ( V T (φ) ) ) ,则φ被称为 u - 最优的.这样 ,得到 u2最优的φ就是求解下面的问题 :supφ∈L′( S)EP ( u ( V T (φ) ) ) .设 x : = V 0 (φ) , U x : =supφ∈L′( S ) EP ( u ( V T (φ) ) ) . 知道 x 与φ无关. 由文献[10 ] ,确定的等价鞅测度的密度为·764·第 4 期 　　　　　　　　　　　汤思英等 :最小对称熵鞅测度和不完备市场中的定价问题d Qd P=u′( V T (φ) )U′x,其中φ是一个 u2最优的投资策略.现在 , 回到最小对称熵鞅测度. 假设 S 有界.若 S (Me , P) < + ∞, 则存在惟一的 MSEM Q0 ∈Me . 特别是对于一个离散时金融市场 ,由定理 2 ,知(d Q0d P) - 1 - lnd Q0d P= c + f 0 ,其中 f 0 = ∑Tt = 1φt ·( S t - S t - 1) ∈ K0 , c = 1 -I ( Q0 , P) . 因此 , 最小对称熵鞅测度所对应的效用函数 u 应满足下式 (其中 a = U x′是常数) :( au′( x ) ) - 1 - ln ( au′( x ) ) = c + x .常见的效用函数有 u1 ( x ) : = ln ( x + 1) ,u2 ( x ): = - e - x 和 u3 ( x ) : = ( x + 1)1 - b/ (1 - b) ,0 < b<1 等. 它们分别满足 :u′1 ( x )- 1 = x + 1 ; 　 - ln ( u′2 ( x ) ) = x ;u′3 ( x ) = ( x + 1)- b .我们利用图形来对 u′, u′1 , u′2 , u′3 进行比较. 不失一般性 ,取 a = c = 1和 b = 5/ 6 ,分别令 y = u′,u′1 , u′2 , u′3 得到 4 条曲线方程为 :y + xy + yln y = 1 (1)y = ( x + 1) - 1 , 　x > - 1 (2)y = e - x (3)y = ( x + 1) - 5/ 6 , 　x > - 1 (4)从图 1 ,可知 ,当 y > 1时 , u′的值最小. 对 y ≤1 , u′和 u′1 最接近.参考文献 :[1 ] 　El Karoui N ,Quenez M C. 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Moreover , the characterization of the density of the minimal symmetricentropy martingale was provided. Finally , the equivalence between the minimization of the symmetric entropyand the maximization of the utility function was discussed.Key words : equivalent martingale measure ;symmetric entropy martingale measures ; incomplete markets·864· 厦门大学学报 (自然科学版) 　　　　　　　　　 　　　　　　　　2004 年

最小对称熵鞅测度和不完备市场中的定价问题

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