简要回顾了异方差ARCH(GARCH)模型的有关背景,并以此为基础提出了一族广义自回归条件异方差(GARCH)模型hδt-1,然后讨论了这族广义自回归条件异方差(GARCH)模型的严平稳性及遍历性,t=gt-1+ct-1hρ同时给出了该模型存在高阶矩的充分条件,并对这族GARCH模型的一类子模型进行了模拟

刘继春

姚伟杰

李正开

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第 43卷 第 4期 厦门大学学报(自然科学版) Vol. 43 No. 42004 年 7 月 Journal of Xiamen University ( Natural Science) Jul. 2004文章编号: 0438 0479( 2004) 04 0460 05一族 GARCH 模型的概率性质收稿日期: 2003 11 05基金项目:厦门大学校级自选课题( 0020Y07008)作者简介:李正开( 1977- ) , 男,硕士研究生.李正开,刘继春, 姚伟杰(厦门大学数学科学学院, 福建 厦门 361005)摘要: 简要回顾了异方差 ARCH( GARCH) 模型的有关背景, 并以此为基础提出了一族广义自回归条件异方差(GARCH) 模型 h t = g t- 1 + c t- 1h t- 1 ,然后讨论了这族广义自回归条件异方差(GARCH) 模型的严平稳性及遍历性,同时给出了该模型存在高阶矩的充分条件, 并对这族 GARCH 模型的一类子模型进行了模拟.关键词: 广义自回归条件异方差; 严平稳性;遍历性; 惟一性;模拟中图分类号: O 211. 6 文献标识码: A自回归条件异方差( ARCH) 的时间序列模型,最早由 Engle[ 1]提出: 假定预测误差  t 为实随机变量, 记 F t为时刻 t 的信息集, 且 t = z th1/ 2t ;ht = !0+qi= 1!i 2t- i ;z ~ i. i. d. , E ( z t ) = 0, Var ( z t ) = 1.其中, ht是 t在给定信息集合F t- 1时的条件方差, !0> 0, !i  0, i = 1, 2, !, q .Bollerslev[ 2] 将上述 ARCH 模型推广到广义ARCH( GARCH) 模型, 即再把时刻 t之前的条件方差也加人到时刻 t 的条件方差函数之中:h t = !0+qi = 1!i 2t- i +pj = 1∀jh t- j , ∀j  0, j =1, 2, !, p .之后, 许多计量经济研究者还把 GARCH 模型推广为 EGARCH( exponent ial GARCH)、AVGARCH( absolute value GARCH)、NLGARCH( nonlinearGARCH)、T GARCH( threshold GARCH) 模型等等.He等人[ 3] 将多种 GARCH 模型综合成下面的形式 (沿用文献[ 3] 的有关说法, 我们不妨称之为general GARCH 族) ,并给出矩的性质: t = z th t ;hkt = g( z t- 1) + c( z t- 1) hkt- 1, k = 1或 2;P { hkt > 0} = 1.Ling等人[ 4] 进一步研究了 general GARCH 的平稳性和矩的存在性.Diebolt 等人[ 5] 提出 ∀ARCH 的概念, 接着,Gu gan等人[ 6] 给出了 ∀ARCH 的概率性质,H ili[ 7]讨论了 ∀ARCH 的估计问题.该模型为:X t = aX t- 1+ { a0 + [pi = 1( !+i ( X t- i )++a-i ( X t- i )-) ]2∀}1/ 2 t .而 ∀ARCH 的直接推广就是 ∀GARCH :X t =  th1/ 2t ,h t =qj = 1bj ht- j + { a0 + [pi = 1!+i ( X t- i )++ a-i( X t- i )-) ]2∀}1/ 2.∀ARCH ( ∀GARCH) 的优点在于: 首先, 当 ∀= 1 时即是一般意义下的 ARCH( GARCH) , 因此∀ARCH ( ∀GARCH) 适用性比 ARCH( GARCH)强; 而 且, ∀ARCH( ∀GARCH) 模 型 突 破 了ARCH( GARCH ) 只允许出现二次形式的限制, 而且系数满足很弱的条件模型就存在平稳遍历解;此外,∀ARCH ( ∀GARCH) 模型在金融应用中有重要的价值[ 6] .本文中将He[ 3]的 general GARCH 扩展成类似于 ∀GARCH的形式,并给出这族GARCH模型的平稳遍历解,高阶矩存在的充分条件,并对基本模型进行了模拟.1 基本模型及其性质在此, 首先考虑下面的 GARCH(1, 1) 模型 (基本模型) : t = z thkt ;ht = g( z t- 1) + c( z t- 1) h#t- 1 g t- 1+ ct- 1h#t- 1;P { h t > 0} = 1.( 1)其中 z ~ i. i. d. ; E [ z t ] = 0, E [ z2t ] = 1; g(∀) ,c(∀) > 0; Egt < # , Ec t < # ; 0 < #∃ 1; k = 1或12.可以直观地从模型(1) 本身看出,当 k = 1, #=1时,就是文献[ 3] 的 general GARCH (1, 1) ;而模型(1) 在形式上非常类似于文献[ 6] 的 ∀GARCH( 1,1) , 在后面又可以发现模型( 1) 在概率性质上也非常类似于文献 [ 6] 的 ∀GARCH(1, 1) , 所以有理由认为这族模型有比较广泛的适用性.注1 首先考虑模型(1) 的原因在于:这族模型比较简单,可以比较容易得到其有关性质,而在下一节中扩展模型的有关性质是模型(1) 的性质的简单推广, 证明并未有本质区别; 另外, 模型(1) 还是许多模型的概括[ 3, 4] .注 2 k 取 1或12是因为:当 k = 1时,将 ht 理解成  t 的条件标准差,而且与 He 等人[ 3] 的 generalGARCH 统一起来;当 k =12时, h t就是最常见的 t的条件方差;而且无论 k = 1还是 k =12,都不会对模型带来本质的影响,二者的区别仅仅在于: k 的取值会影响  t 矩阶数确定, 读者很容易在我们的证明中看到这一点.注 3 当考虑  t 的 r 阶矩时, 若没有特别地说明,自然地认为 z t 的 r 阶矩存在.注4 模型(1) 还没有完全包含文献[ 3, 4] 中的 general GARCH 模型, 然而我们的扩展模型可以完全涵盖这族模型.下面给出主要的定理,定理的证明在后面给出.我们只给出 k = 1时的情形,这主要是与文献[ 3] 的有关结论对应起来; 对于 k =12的情形,证明和结论完全类似,只是注意  t 矩的阶数.定理 1 当 # % ( 0, 1) 时,模型(1) 有惟一平稳遍历解;当 #= 1时,且 Ect < 1,模型(1. 1) 有惟一平稳遍历解.定理2 设 Egmt < # , Ecmt < # , 则当 #% ( 0,1) 时,模型(1) 有 m 阶矩; 当 #= 1时, 且 Ecmt < 1,模型(1) 有 m 阶矩.由定理 1和定理 2可以看出,当 # % ( 0, 1) 时,模型(1) 的一个优越性体现在无需 Ec t < 1 这样的条件,这个条件在一般常见的ARCH( GARCH) 中即是要求系数矩阵 (的 Kronecker 积) 的谱半径小于1(有关内容可以参见文献[ 8] ) , 但是,在作参数估计时往往无法达到这个要求. 因此, 从理论上讲, 对模型(1) 进行参数估计时, 只需对一个参数加以限制即可实现良好的估计.2 扩展模型及其性质上面给出了模型(1) 的结论,下面将模型(1) 扩展成为: t = z thkt ;h t = g t- 1+ ct- 1h t- 1.P{ ht > 0} = 1.(2)其中 z ~ i. i. d. ; E[ z t ] = 0, E[ z2t ] = 1; g(∀) , c(∀)> 0; E [ g t ] < # , E [ ct ] < # ; E [ g1t ] < # , E [ c1t ]< # ; 0 < ∃ ; k = 1或 12.至此,模型( 2) 完全包括了文献[ 3, 4] 的 generalGARCH 模型,在这里 k 仍然取1,模型(2) 的性质可以概括为下面的定理,证明完全类似于模型(1) , 证明不再另外给出,只在后面给出一个概要.定理3 当 0 < < 时, 模型(2) 有惟一平稳遍历解;当 = 时,且 Ect < 1, 模型(2) 有惟一平稳遍历解.定理 4 设 Egmt < # , Ecmt < # , Egmt < # ,Ecmt < # ,则当 0 < < 时,模型(2) 有 m 阶矩;当 0 < = 时,且 Ecmt < 1, 模型(2) 有 m 阶矩.3 模型(1) 的模拟我们模拟一个简单的模型:x t = ∃1x t- 1+ ∃2 x t- 2+  t ; t = z th12t ;h t = !+ %h#t- 1.(3)注 5 第2个方程的右端不是 h t而是h12t , 已经知道这并不影响我们所得的结果, 只是涉及矩的阶数,只需稍微修正一些条件就可以得到我们希望的结论.注 6 与模型(1) 比较,在此 g t = !, ct = %,并∀461∀第 4 期 李正开等: 一族 GARCH 模型的概率性质且假设模型(3) 中的参数已经满足模型(1) 以及定理 1之条件.以后若无特别说明,都假定满足所需条件.我们利用 SAS系统模拟了该模型, 共产生了 n= 200个观测值.当  t服从条件正态分布和条件t分布时, 分别采用极大似然法(MLE) 和伪极大似然法(QMLE) 进行参数估计.结果如表 1.表 1 模型(3) 参数的估计值之比较Tab. 1 T he compar ison between several different estimations of the model( 3)参数真值 ∃1 ∃2 ! % #0. 5 0. 2 1 2 0. 8估 Normal* 0. 490813 0. 215751 1. 000097 1. 999875 0. 794817计 t (30) ** 0. 573639 0. 212284 1. 000313 2. 000609 0. 794339值 t( 5) *** 0. 528167 0. 184356 0. 999864 1. 997653 0. 783290参数真值 ∃1 ∃2 ! % #0. 6 0. 3 0. 5 1. 25 0. 85估 Normal* 0. 593647 0. 305297 0. 500567 1. 254783 0. 855200计 t (30) ** 0. 582397 0. 308170 0. 499818 1. 249174 0. 848204值 t( 5) *** 0. 573590 0. 223238 0. 503766 1. 263581 0. 871715* 表示  t的条件分布为正态分布,参数估计方法为 MLE .* * 表示  t 的条件分布为 t 分布,自由度为 30, 参数估计方法为 QMLE .* * * 表示  t 的条件分布为 t 分布,自由度为 5,参数估计方法为 QMLE. (下同)表 2 模型(4) 参数的估计值之比较Tab. 2 The comparison betw een sever al differ ent estimations of t he model( 4)参数真值 ∃1 ∃2 !0 !1 % #0. 5 0. 2 1 0. 6 2 0. 8估 Normal 0. 479022 0. 190689 1. 002656 0. 631992 1. 993106 0. 801339计 t( 30) 0. 451735 0. 234524 1. 000570 0. 604830 1. 995310 0. 796901值 t( 5) 0. 512505 0. 176465 1. 0014649 0. 670276 1. 879509 0. 810535参数真值 ∃1 ∃2 !0 !1 % #0. 6 0. 3 0. 5 0. 75 1. 25 0. 85估 Normal 0. 563598 0. 3400785 0. 499314 0. 747927 1. 250242 0. 852581计 t( 30) 0. 579733 0. 322986 0. 516383 0. 772427 1. 210619 0. 852753值 t( 5) 0. 635289 0. 277055 0. 590641 0. 701722 1. 110964 0. 881392进一步,我们模拟更复杂的模型:x t = ∃1 x t- 1+ ∃2x t- 2+  t ; t = z th12t ;ht = !0+ !1(  2t- 1)#+ %h#t- 1.( 4)注 7 在此, g t = !0, ct = !1( z2t )#+ %.这次模拟出的观测值共 n = 4 000个, 模拟的结果如表 2.关于模拟结果的一些结论和说明:1) 从以上的比较结果可以看出,我们的模型从本质上不会给参数估计带来困难.另外,随着观测值个数 n的增加,估计结果的精度会显著提高(限于篇幅,在此未将其它结果列于表中) .2) 当  t的条件分布是t ( 5) 时, 我们采用QMLE方法对每一组参数进行估计, 其结果在很大程度上是令人满意的. 这说明当  t 的条件分布离正态较远时,利用 QMLE方法估计我们的模型还是在一定程度上可以得出不错的结果.3) 我们两个模型使用不同的模拟观测值个数,是因为模型(4) 当采用 QMLE方法估计参数且观测值个数 n = 1000时或更少时, !0, !1的估计值会比较差(MLE方法不存在此类问题) ,但是随着 n 的增加,估计效果会变得越来越好. 这似乎说明: 我们模∀462∀ 厦门大学学报(自然科学版) 2004年型的参数估计, QML Est imator 与 ML Est imator 存在着渐进相合性(ARCH 模型在这方面的渐进理论,参见Weiss[ 9]) . 目前在理论上, 我们还没有证明出这个猜想.4) 对于模型(4) 需用大量数据(约2 500个观测以上) 才能得出较好的估计值, 一个合理的解释是该模型可能较适用于高频数据情形.4 有关证明4. 1 定理 1的证明分成两部分来证明定理 1.当 #= 1时,见文献[ 3, 4] . 下面仅讨论 0 < #< 1的情形.( i) ht 是平稳遍历的.令h(0)t = g t- 1;h( n)t = g t- 1 + c t- 1[ h( n- 1)t- 1 ]#.( 5)( a) 命题 1: { h ( n)t } 关于 n 是增的.证明 ( 用 归纳 法可 证 明:  t , h ( n)t >h( n- 1)t . )事实上,当 n = 0时,显然  t , ht (1) > h t (0) .假设,  t , h ( k )t > h ( k- 1)t ,则由h( k+ 1)t = g t- 1 + c t- 1[ h( k )t- 1]#,h( k)t = g t- 1+ ct- 1[ h( k- 1)t- 1 ]#,以及,由归纳假设 t 的任意性知h( k)t- 1 > h( k- 1)t- 1 .又因为 ct- 1 > 0, #> 0,故有 h( k+ 1)t- 1 > h( k )t- 1.命题成立.(b) 命题 2: h ( n)t 与 h( n)t- 1 同分布.事实上, 若 { z t } 是 i. i. d, 则 f ( z 1, !, z n) 与f ( z i1, !, z in) 同分布从而由 h( n)t 的构造可知命题成立.于是,E [ h( n)t ] ∃ E [ g t- 1] + E [ ct- 1] [ E ( h ( n- 1)t ) ] #.令 E [ h ( n)t ] = x n , E[ g t- 1] = a, E [ ct- 1] = b,于是上式变为:x n ∃ a + b ( x n- 1) #, 其中, { x n } 是增的且大于0,并有 a > 0, b > 0.( c) 命题 3: 若一个正的增序列{ x n } 满足 x n ∃ a+ b ( x n- 1)#, 以及 a > 0, b > 0, # % (0, 1) , 则{ x n }有界,即存在 M > 0,使得对所有 n 都有 x n < M .证明 首先当 # % (0, 1) , 总存在 M 1,当 x >M 1时, x > a + bx#. 事实上,limx + #xa + bx# = + # .假设{ x n } 无界,则存在 x(0) % ( M 1, # ) , 使得某个xN = x( 0). 于是,xN+ 1 ∃ a+ b [ xN ] #= a+ b [ x (0)] #< x ( 0) =xN ,这与{ x n } 增相矛盾.故, { x n } 有界.(d) 命题 4: h t是遍历的.证明 由( c) 知,存在 M > 0,使得对所有 n都有 E [ h ( n)t ] < M .因此, h ( n)t 收敛 a. s,记为 h( n)ta. sht ,从而, h t =g t- 1+ ct- 1h#t- 1 a. s. 由 h( n)t 的构造知, h t为一列 i. i.d. r. v.的函数,从而 h t是遍历的. 进而  t是遍历的.由上述证明, 还可以得出 h t 平稳解的表达式:h t = limn #h( n)t , 其中, h( n)t , n = 1, 2, !, 由式( 5) 定义.( ii) h t的惟一性.设 h t , h1, t 均为h t = g t- 1+ ct- 1h#t- 1的 a. s解.令A = { &: h t ( &) > 0, 且 ht ( &) = g t- 1( &) +c t- 1( &) h#t- 1( &) } ,B = { &: h1, t ( &) > 0,且 h1, t ( &) = g t- 1( &) +c t- 1( &) h#1, t- 1( &) } ,有 P( A ) = P (B ) = 1,故 P( A & B) = 1.  & %A & B, 且不妨假设, h t ( &)  h1, t ( &) ,由于 g t- 1, ct- 1 均大于 0, 且 h t , h 1, t 均为解, 所以有 h t- 1( &)  h1, t- 1( &) . 进而有,  i = 0, 1, 2,!, ht- i ( &)  h1, t- i ( &) .所以,利用微分中值定理以及上述不等式有:| h t ( &) - h1, t ( &) | =c t- 1( &) ( h#t- 1( &) - h#1, t- 1( &) ) ∃#h1, t ( &)h1, t- 1( &)( h t- 1( &) - h1, t- 1( &) ) ∃#k h1, t ( &)h1, t- k( &)( ht- k( &) - h1, t- k( &) ) .由于存在 M 2,  t , 0 < gt ( &) < h1, t ( &) < M 2,所以| h t ( &) - h 1, t ( &) | ∃ #kM 2g t ( &)( M 2 -g t ( &) ) .当 k # 时,不等式右端趋于 0.所以,  & % ( A & B ) , h t ( &) = h1, t ( &) . 由P ( A & B ) = 1知:∀463∀第 4 期 李正开等: 一族 GARCH 模型的概率性质h t = h1, ta. s.综上所述, 定理 1得证.4. 2 定理 2的证明设 m 为一个正整数,且有 E [ gmt ] < # , E [ cmt ]< # ,利用 Cr- 不等式得:hmt = ( g t- 1+ ct- 1h#t- 1)m ∃Crgmt- 1 + Crmct- 1( hmt- 1)#g*t- 1+c*t- 1( hmt- 1)#.其中 g*t- 1 = Crgmt- 1, c*t- 1 = Crcmt- 1.记 hmt = h*t ,则h*t ∃ g *t- 1 + c*t- 1( h*t- 1)#.取 h* ( n)t = [ h( n)t ]m, 完全类似于(4. 1) 的讨论, 存在 M 3,对所有 t 和 n, E [ h* ( n)t ] < M 3.于是, 存在 ∋t , E∋t < # 使得 h* ( n)ta. s∋t , 由于h( n)ta. sh t , 所以 ∋t = ( h t )m a. s. 也 就是说,E [ h*t( n)] E[ ( ht )m] ,故 E [ ( h t )m] < # .定理 2证毕.4. 3 定理 3和定理 4的证明定理3、4的证明完全类似于定理1、2,以下仅给出概要.当 = 时,见[ 3, 4] ,在此仅说明 > .令 w t = ht , 则模型变为: t = z tw t1;w t = g t- 1+ ct- 1w#t- 1.( 6)其中 #= % ( 0, 1) .于是由模型条件知 w t 有惟一平稳解, 即 h t 有惟一平稳解,且由 f ( x ) = x 单调及E [ g1t ] < # ,E [ c1t ] < # 知, h t 有惟一平稳遍历解, 从而  t 有惟一平稳遍历解.有关高阶矩的讨论完全类似 4. 2.参考文献:[ 1] Engle R F. 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一族GARCH模型的概率性质

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