我们首先提出了一个带ARMA(1,1)条件异方差相关的随机波动模型,它是基本的随机波动模型的一个自然的推广.进一步,对于这一新模型,我们给出了一个马尔可夫链蒙特卡罗(M CM C)算法.最后,利用该模型的模拟数据,展示了M CM C算法在这种模型中的应用

刘继春

邱崇洋

陈永娟

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总 39 卷　第 4 期2006 年 12 月数　学　研　究Journal of M athematical StudyVol. 39　No. 4Dec. 2006带 ARM A( 1, 1)条件异方差相关的随机波动模型的 M CMC算法邱崇洋　　刘继春*　　陈永娟(厦门大学数学科学学院, 福建 厦门 361005)摘　要　我们首先提出了一个带 ARM A( 1, 1)条件异方差相关的随机波动模型, 它是基本的随机波动模型的一个自然的推广. 进一步, 对于这一新模型, 我们给出了一个马尔可夫链蒙特卡罗( M CM C)算法. 最后, 利用该模型的模拟数据, 展示了 M CM C 算法在这种模型中的应用.关键词　ARM A( 1, 1)条件异方差; 随机波动模型; M CM C 算法中图分类号　O 211. 6　　　文献标识码　A1　引　　言近年来, 随着统计计算技术的迅速发展,它使得许多统计方法,尤其是贝叶斯( Bayes)统计得到广泛的应用. 马尔可夫链蒙特卡罗( MCMC)算法就是最近发展起来的一种简单且行之有效的 Bayes计算方法. MCM C算法在统计物理学中得到广泛应用已有四十多年的历史,但它在 Bayes统计对各种模型的分析应用,则是近十几年内的事. 随机波动模型是对广义自回归条件异方差( GARCH)模型族的一个自然选择,它允许条件异方差带独立的误差过程,基本的随机波动模型是对条件异方差用对数自回归过程. [ 1]和[ 2]说明了随机波动模型比经典GARCH 模型族很多时候都有更好的可行性. [ 3]对基本的随机波动模型应用马尔可夫链蒙特卡罗( MCMC)算法做了 Bayes分析. 在此基础上, [ 4]对带重尾和相关误差的随机波动模型应用M CMC 算法做了 Bayes分析. 在他们工作的基础上, 我们很自然的提出了条件异方差是对数ARMA( 1, 1)形式的随机波动模型,并对它做了 Bayes分析. 由于大量的金融数据中都呈现出了相关的性质,所以我们也加入了对相关性的 Bayes分析.本文的行文安排如下:第二节, 介绍了基本的随机波动模型加重尾和相关的随机波动模型,并在此基础上提出了模型的推广,分析了我们新模型的 MCMC 算法. 第三节, 对我们推广的模型应用 MCM C算法做了模拟计算.2　模型的M CM C算法2. 1　模型:收稿日期: 2006- 03- 06* 通信作者基本的随机波动模型为:y t = ht t ,loght = +  loght- 1 + v t .( 1)( t , v t) ～ N ( 0, ! ) , ! =1 00 ∀2, ( t, v t ) idd, t = 1, 2,⋯ T . ( 2)[ 3]对基本的随机波动模型进行了 Bayes分析. 进一步[ 4]给出了带重尾的随机波动模型: ( 1)和t ～ t( v ) , v t ～ N ( 0, ∀2 ) , t 与 vt 不相关, { t } , { v t} iid , t = 1, ⋯, T . ( 3)并且分析了它的 MCMC 算法. 接着, [ 4]又在基本随机波动模型的基础上单独加了对相关性的考虑,分析了它的 MCMC 算法. 相关的随机波动模型是: ( 1)和( t , v t ) ～ N ( 0, ! ) , ! =1 #∀#∀ ∀2, ( t, v t) iid , t = 1, ⋯, T . ( 4)最后, [ 4]把重尾和相关的性质都考虑进来,得到加重尾和相关的随机波动模型,它是由( 1)和t ～ t ( v ) , v t ～ N ( 0, ∀2) , t 与 v t 相关, ( t , v t ) iid, t = 1, ⋯, T , ( 5)组成.从上面的基本的随机波动模型和其推广形式,我们看到log h t = +  log ht + v t ,实质上是一 AR( 1)模型. 因此,为了使 M CMC 算法用于更一般的随机波动模型的分析,我们将上面的AR( 1)模型自然地推广为 ARM A( 1, 1)模型. 这样基本的随机波动模型就有一个推广为带 ARM A( 1, 1)条件异方差的随机波动模型,它的定义如下:y t = ht t,loght = +  loght- 1 + v t + ∃v t- 1.( 6)和( 2) . 另外,我们在带 ARMA ( 1, 1)条件异方差的随机波动模型上同样加入对相关性的考虑,得到带 ARMA ( 1, 1)条件异方差且相关的随机波动模型,它由( 6)和( 4)组成.2. 2　带 ARM A( 1, 1)条件异方差的随机波动模型的 MCM C算法我们先对带 ARM A( 1, 1)条件异方差的随机波动模型做 M CMC 算法的分析. 考虑线性方程loght = +  loght- 1 + v t + ∃v t- 1 ,中的参数 ,  , ∃, ∀2,我们把 h = { ht} ( t = 1, ⋯, T ) 也看作参数. M CMC算法有Gibbs抽样器和 M etropolis算法, 我们用 Gibbs抽样器抽取 ,  , ∃, ∀2,用 M etropolis算法抽取h. 我们先求 , , ∃的条件后验分布, ∀2和 h的条件后验分布我们放在后面考虑. 这里 ,  , ∃的共轭先验分布为正态分布,取: ～ N (% , ∀2 ) ,  ～N (% , ∀2 ) , ∃～N ( %∃, ∀2∃) , 且假设 ,  , ∃使得 ARMA ( 1,1) 的可逆性和因果性都成立.p ( ,  , ∃ ∀2, h, y ) : p ( ,  , ∃ ∀2, h, y ) = p ( ,  , ∃ ∀2, h) 就是一个简单的线性回归的联合后验分布,容易得到各个参数的条件后验分布.求 的条件后验分布:令 y*t , x*t 分别是:·415·第 4期　　邱崇洋等: 带 ARM A( 1, 1)条件异方差相关的随机波动模型的 M CM C 算法y*t = loght -  loght- 1 - ∃y*t- 1 , x *t = 1 - ∃x *t- 1.当 t 0时, y *t = 0, x *t = 0; 这样 v t可表成 y *t - x *t ,我们这里取 vt = 0, 当 t 0时. 似然函数可写成:f ( logh ,  , ∃, ∀2 ) = ∏Tt= 112&∀2exp -( y *t - x *t ) 22∀2.的先验分布为: p ( ) ～ N ( % , ∀2 ) ,所以 的条件后验分布为:p (  , ∃, ∀2 , h) ～ N (% , ∀ 2 ) .其中:% = ∀ 2 ∑Tt= 1x*t y*t∀2 +%∀2, ∀ 2 = ∑Tt= 1x*t x*t∀2 +1∀2- 1.　　· 求  的条件后验分布:令 y~t, x~t 分别是:y~t = loght - - ∃y~t- 1, x~t = logh t- 1 - ∃x~t- 1 .这里,当 t 0时 y~t = 0, x~t = 0. 则 v t = y~t - x~t , 似然函数为:f ( logh ,  , ∃, ∀2) = ∏Tt= 112&∀2exp -v2t2∀2 = ∏Tt= 112&∀2exp -( y~t - x~t ) 22∀2 . 的先验分布为: p (  ) ～ N (% , ∀2 ) ,所以有  的条件后验分布为:p (  , ∃, ∀2 , h) ～ N (%  , ∀ 2 ) .其中,%  = ∀ 2 ∑Tt= 1x~ty~t∀2 +% ∀2 , ∀ 2 = ∑Tt= 1x~2t∀2 +1∀2 - 1.　　· 求 ∃的条件后验分布:把 v t 看成 ∃的函数, v t (∃) 展成一阶泰勒形式:v t( ∃) v t(∃* ) + ∋t(∃- ∃* ) .其中 ∋t 是 v t( ∃) 的一阶导数. 当 t 0时, ∋t = 0.在 ∃* 处求导可知: ∋t = - v t- 1 (∃* ) - ∃* ∋t- 1 . 为了得到一个合适的近似,选择 ∃* 比较关键,我们这里取 ∃* 为 ∃的最小二乘估计值:∃* = argm in∃∑Tt= 1v2t (∃) .则似然函数为:f ( log h ,  , ∃, ∀2) ∝∏Tt= 112&∀2exp -v2t2∀2∝∏Tt= 112&∀2exp -( v t (∃* ) + ∋t (∃- ∃* ) ) 22∀2∝∏Tt= 112&∀2exp -( y +t - x +t ∃) 22∀2.·416· 数学研究 2006 年其中y+t = ∋t∃* - v t (∃* ) , x +t = ∋t .∃的先验分布为: ∃～N (%∃, ∀2∃) , 则条件后验分布:p (∃ ,  , ∀2 , h) ～ N (% ∃, ∀ 2∃) .其中:% ∃ = ∀ 2∃ ∑Tt= 1x+t y+t∀2 +%∃∀2∃, ∀ 2∃ = ∑Tt= 1x+t x+t∀2 +1∀2∃- 1.2. 3　带 ARM A( 1, 1)条件异方差相关的随机波动模型的 MCM C算法的分析参数 ,  , ∃的条件后验分布与带ARM A( 1, 1) 条件异方差基本模型一样,而参数h和! 的条件后验分布是本文的关键.记 r t ≡ ( t, v t )′, 则数据和方差的联合分布为:p ( y , h , (, ∃, ! ) ∝∏Tt= 1h- 3/ 2t py th t, log ht ht- 1 , ,  , != ∏Tt= 1h- 3/ 2t ! - 1/ 2exp - 12tr( ! - 1A ) .其中, A = ∑tr tr′t 是残差矩阵, 则所有参数的联合后验分布为:p ( h, !, ,  , ∃ y ) ∝ p ( ! ) p ( ,  )∏Tt= 1h- 3/ 2t exp - 12tr( ! - 1A ) .　　这里记 ! = ) , #∀= ∋. 这样求#, ∀2的条件后验分布就转化成了求) , ∋条件后验分布,我们有! - 1 = 1)∋2 - ∋- ∋ 1+1　00　0≡C) +1　00　0.记 A =a11　a12a21　a22, t r( ! - 1A ) = t r( CA )) + a11, 其中 a11 = ∑tv2t 与 ) , ∋无关.求 p (∋, ) ,  , ∃, h, y ) : 我们有 ∋, ) 的联合后验分布:p (∋, ) ,  , ∃, h, y ) ∝ 1)T2exp -tr( CA )2) p (∋, ) ) .记 a22. 1 = a22 -a212a11, ∋ = a12a11,则 t r( CA ) = a22. 1 + (∋- ∋ ) 2a11.取先验分布: p ( ) ) ～ I G( v 0, t0 ) , p (∋ ) ) ～ N ∋0, )p 0. 则p (∋ ) , ,  , ∃, h, y ) ∝ exp - a11 (∋- ∋ ) 22) exp -p 0 (∋- ∋0) 22)∝ exp -a11 + p 02) ∋-a11∋ + p 0∋0a11 + p 02令 ∋∨=a11∋ + p 0∋0a11 + p 0, 则p (∋ ) , ,  , ∃, h, y ) ～N ∋∨,)a11 + p 0,·417·第 4期　　邱崇洋等: 带 ARM A( 1, 1)条件异方差相关的随机波动模型的 M CM C 算法p ( ) ,  , ∃, h, y ) ～ I G( v 0 + T - 1, 1/ ( t0 + a22. 1 ) ) .　　· 求 h的条件后验分布:把 h分成 T 个部分 p ( ht hT , ⋯, h t+ 1 , h t- 1, ⋯, ,  , ∃, ! ) , 这里我们有!- 1 = 1)) + ∋2 - ∋- ∋ 1=1)b11 b12b21 b22.　　考虑条件异方差 ARM A( 1, 1)线性模型,不失一般性,我们设 v~0 = 0. 在已经抽出其他参数的情况下,通过 v~t = log( ht ) - -  log( ht- 1 ) - ∃v~t- 1 , 可以迭代计算出序列{ v~} ( t = 1, ⋯,T ) . 从这里可以看出 v~s , ( s< t) 的计算都没有用到h t, 而 ~s =y sh s, ( s< t) 的计算也与ht 无关. 所以我们有 ht 的条件后验分布:p ( ht hT , ⋯, h t+ 1, ht- 1, ⋯, ,  , ∃, ! )∝ h-32t exp -tr ( ! - 1r1r′1) + tr ( ! - 1r2r′2 ) + ⋯ + tr( ! - 1rT r′T )2∝ h-32t exp -tr( ! - 1r tr′t) + tr( ! - 1r t+ 1r′t+ 1 ) + ⋯ + tr( !- 1rT r′T )2∝h-32t exp-b11y2th t+ 2b12∑Tj= ty jhjv~j + b22∑Tj= tv~2j2)∝ h-32t exp-( ) + ∋2) y2th t- 2∋∑Tj= ty jh jv~j + ∑Tj= tv~2j2).2. 4　算法步骤与计算过程:第一步: 给 ,  , ∃, ∀2, #, h1, h2,⋯, hT 赋初值 0 ,  0, ∃0, ( ∀2 ) 0, #0 , h01 , h02, ⋯, h0T .第二步: 假设我们已经得到了参数的第 i步的值 i,  i , ∃i, ( ∀2) i , hi1 , h i2, ⋯, hiT .1. 抽取 的第 i+ 1个值. i+ 1从条件后验密度 p (  i, ∃i, ( ∀2 ) i, hi1 , hi2 , ⋯, hiT ) ～N (% ,∀ 2) 中抽取.2. 抽取  的第 i + 1个值.  i+ 1从条件后验密度 p (  i+ 1 , ∃i, ( ∀2 ) i, hi1 , hi2, ⋯, hiT ) ～N (%  , ∀ 2 ) 中抽取.3. 抽取∃的第 i + 1个值. ∃i+ 1从条件后验密度 p (∃ i+ 1 ,  i+ 1 , ( ∀2 ) i, h i1, hi2 , ⋯, hiT ) ～N (% ∃, ∀ 2∃) 中抽取.4. 抽取 ∀2和 #的第 i + 1个值, 可通过变换求 ∋i+ 1 , ) i+ 1得到,其中 ∀2 = ) + ∋2 , #= ∋/) + ∋2 .5. 抽取 ) 的第 i + 1个值. ) i+ 1从条件后验密度 p ( ) i+ 1 ,  i+ 1, ∃i+ 1 , hi1 , hi2 , ⋯, hiT , y )～ I G( v 0 + T - 1, 1/ ( t0 + a22. 1 ) ) 中抽取.6. 抽取∋的第 i+ 1个值. ∋i+ 1从条件后验密度 p (∋ i+ 1 ,  i+ 1 , ∃i+ 1 , ) i+ 1 , hi1 , hi2, ⋯, hiT ,y ) ～ N (∋∨, ) / ( a11 + p 0) ) 中抽取.7. 抽取 h t 的第 i + 1个值. h t 从条件后验密度 p ( ht hi+ 11 , ⋯, hi+ 1t- 1, hit+ 1 , ⋯, hiT ,i+ 1,·418· 数学研究 2006 年 i+ 1, ∃i+ 1, ) i+ 1, y ) 中抽取. 它不是一般已知的分布, 不能直接抽取. 我们通过先求( loght )i+ 1, 再得 hi+ 1t . 这里我们知道 log ht 的条件后验密度 p ( log ht ) = p ( ht ) h t. 我们用Metropolis方法抽取( log h t) i+ 1, 具体过程如下:a. 从 N ( log hit , 1) 中抽取一个值( log ht) * .b. 计算条件后验密度的比值 r = p ( ( log ht) * ) / p ( log hit ) .c. 以概率 min( r , 1) 接受( log ht) * .d. 如果接受( log ht ) * , 则( log h t) i+ 1就是( log ht ) * ,否则, ( log ht) i+ 1 就为( log ht ) i. 而 hi+ 1t= exp( ( log ht) i+ 1 ) .第三步: 不断重复第二步.3　数据模拟给定一个随机波动模型:y t = ht t,log ht = 0. 2 + 0. 3 log h t- 1 + v t + 0. 3 v t- 1 ,( t , v t ) ～ N ( 0, ! ) , ! =1 0. 50. 5 1, ( t, v t) iid, t = 1, ⋯, T .　　我们分别抽取 3000个相互独立的服从标准正态分布的随机数 { ′t} , { v′t} , 然后令 t =′t , v t = 0. 5 ′t + 0. 866 v′t, 这样可构造3000个相关系数是 0. 5的服从标准正态分布的二维随机数{ ( t, v t) } . 给定 h0 = 1, 我们把{ v t} 代入上面给定的随机波动模型.图 1　参数 的抽样分布情况.通过 log ( h t) = +  log ( ht- 1 ) + v t + ∃v t- 1, 可得到3000个{h t} 的值,再通过 y t = h t t可产生 3000个{ y t} . 我们用这 3000个数来估计模型的参数.图 2　参数  的抽样分布情况.·419·第 4期　　邱崇洋等: 带 ARM A( 1, 1)条件异方差相关的随机波动模型的 M CM C 算法图 3　参数 ∃的抽样分布情况.我们给出各个参数的先验分布: ～ N ( 0. 5, 1) ,  ～ N ( 0. 7, 1) , ∃～ N ( 0. 7, 1) , ) ～I G( 1, 0. 005) , ∋～ N ( 0, ) / 2) ; 取初值 0 = 0. 5, (0 = 0. 7, ∃0 = 0. 7, ( ∀2) 0 = 0. 5,#0 = 0. 7, h02t = 0. 5, h02t+ 1 = 1. 5, ( t = 1, ⋯, T ) ; 根据第二部分的算法得到 5000个各参数的估计值,前 2000个值作为预热, 用后 3000个值做统计分析, 得到各个参数的均值,众数, 标准差和 90% 的置信区间. 具体如表 1:表 1　参数估计的结果参数 真值 均值 众数 标准差 置信区间0. 2 0. 217 0. 218 0. 0352 ( 0. 162, 0. 276) 0. 3 0. 287 0. 291 0. 0664 ( 0. 174, 0. 392)∃ 0. 3 0. 284 0. 284 0. 0810 ( 0. 156, 0. 401)∀2 1. 0 1. 054 1. 028 0. 0540 ( 0. 972, 1. 159)# 0. 5 0. 485 0. 484 0. 0216 ( 0. 449, 0. 512)　　从表中我们可以看到, 参数的估计值和真实值很接近, 在真实值附近波动,标准差较小., ∀2, #的置信区间很小,  , ∃的置信区间稍有点大,但均值和众数都在置信区间中间,和真实值比较接近.我 们也把各个参数的模拟结果作出图形. 各个参数收敛的速度较快, 从图中可以直观地看到各个参数收敛的较好, 都在真实值上下波动,大部分值在靠近真实值的附近出现. 我们认为这个算法是可行的.图 4　参数 ∀2的抽样分布情况.图 5　参数 #的抽样分布情况.·420· 数学研究 2006 年结论　我们对相关的随机波动模型做了简单而自然的推广,并给出了它的 M CMC 算法.模拟检验的结果证明我们的算法是可行的. 我们可以在此基础上进一步分析带 ARMA ( p , q)异方差相关的随机波动模型的 MCMC 算法.参　考　文　献[ 1] 　Geweke J. 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Finally we applied t he M CM C algo rithm in the new stochastic v olatility modelsw ith simulated datas.Keywords　ARM A( 1, 1) conditional heteroskedasticity; stochastic v olatility models; M CM C algorithm·421·第 4期　　邱崇洋等: 带 ARM A( 1, 1)条件异方差相关的随机波动模型的 M CM C 算法

带ARMA(1,1)条件异方差相关的随机波动模型的MCMC算法

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带ARMA(1,1)条件异方差相关的随机波动模型的MCMC算法

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