 文[1]给出了求解超越方程的多种方法,其中Newton-Raphson法、弦截法和Muller法为最常用,它们在实用上各有优缺点。为获得更好方法,[2]中提出了称为平行弦法的改进程序,它不必计算导数值而具有2阶速率,因此优于其它方法

林群

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第 卷 第 期 丫过年 月厦 门 大 学 学 报 自然 科 学 版 !   五。忍·简报求解超越方程的相交弦方法’林 群数 学 系 学 生文汇划给出了求解超越方程的 多种 方法,其 中一 。 法、弦截 法 和法为最常用,它们在实用上各有优缺点。为获得更好方法,「 中提出了称为平行弦法的改进程序,它不必计算导数值而 具有 阶速率,因此优于其它方法。本文在平行弦法的基础上提出一种相交弦方法,不仅在程序 匕较平行弦法为简,而且收敛速率增加为 工 侧万设 劝为实变矛一的实值函数且具有实零点 “,用、 ,丧 示 劝 的一 阶差商,即了 ‘,“ 一 ,环— 下若 大, , 文 , 一 为 “ 的近似值,令, 佗翔韶介〔火 ,, 戈。 一了大,了介, 。 ,以确定 。 的新的近似位,这样 工 式便定义 了相交弦程序 可见,程序 工 较平行弦法简单些。但下述定理说明,式定义的迭代序列在一定条件下是收敛的,且收敛速率为 工十训万二。牡 由于此法不必计算导数值,因而尤适用于导数值不便使用的情形。以下给出相交弦法的收敛性定理及数值实例定理 记 一 一司 舀,且设函数 满足下述条件对任意, 、〔石,有】伍,李刘·任意 “, , 、、 〔石,有 扭, ,一,《材 一过 存在常数,使 占 乳则对任意选定的初始值。 , 、一 〔五,式定义的所 有 、, , 二〔石, ,⋯ 且 迭 代序列 公 收敛于。 ,并有偏差估计本文承李文清、陈传淡和陈文忠等老师热情指导,特致衷』已的谢意厦 门 大 学 学 报 年。一 、 叼‘王。, , 二 一, , ,⋯ 由下式 确定, ,二、 ‘ 二 。 一 一。一言 侧”” 一了” ’】证明 由 式可得如下的误差递推关系式中兮。一了。一,介一 , 一, 一 , , 。尤。一 , 。 一 一、些一‘卜 , 一。 一 二。一 一。 、, , 乡·。一⋯、‘‘” 一思蕊芳土竺一,沙。一·戈二 一 一雌镇首一先以归纳法证明不等式。一 吞 及。一司 古 石从而所 有的, , 。任 伽 ,, ,⋯当 凡 时,由 斗,及 式易证 式成立,设 式当 乙时成 立,而当 。 艺十 时依归纳假设有, , 、 ,一 箕。, 。、, ,一‘黑。 、 , 一。,从而对所有的 。,式成立。七次,命 泛。二盗 。, ,⋯ 满足差分方程, 十加。 。 。一夕一“山定义 及归纳法证 明不等式当。二 时,应 川,岁,及 得一 , 纂’器。故 式成立 现设 式当 簇乙时成立,而证明当 玲 不十 时也 成立 由 归 纳假设和  , , ,式,有解生 沪 七尹 二二 、 、,时八卜 “ 决 那 ’叼 ”人‘一 “ ’一撇知、一’食、一‘枷, 口 , ‘。一器户一式证毕,第 妈 求解超越方程的相交弦方法再次求出。的值  设差分 方程 的 解 为,几左妞 一, ,王,⋯ 则 孟满足二次方程人 一 孟一卜其两相异根为义, 士 万于足,’差分方程 的通解。 , 训了”一训一才其中常数,由 夕 式的初始条件确定,它们满足 方程组,十 。一训泛,+ ( 1 一侧‘泛一)C;=‘_. ,_ _ _1_二 , _ 、 ___ . 、 ,_ 二, . _二 ___ _ __ _ . ‘ . _ .解得 C:= c :一令,且代入 ( 8 ) 式得 、 的值,从而证明了偏差估计式 ( 2 )·由 ( 8 ) 式知,当n、二 时,a。”的 且 (2 ) 式右端趋于零,故序列 伙。} 收敛于 “。定理证毕.最后仍举 【21 中述及的数值例子,比较诸方法的收敛速率。求 j( x) ”尸 一Zx 一夕二 O 在 x。一2 附近的实根 [3J.为与平行弦法对比,取‘1~ 2.2. 由 【2] 知方程的解 。〔(2,2.2 )。易 证,f ( 劝满足上述定理的条件.故由相交弦法算出迭代序列x i“2.0 9牛86丈;xZ‘ 2.09 斗55 14 8而山 【2」知,用平行弦法算出序列戈1“ 2。0 9 月49 5 ;x :“2.09巧乡13 1此外,由 N ew ton一R a p玩on 法算出序列火2 “2。0 9 朽681又 M u ller 法算出序列欠 2 , 2。0 9 4 牛925而准确结果[3l 是:“二2。0 叫551铭l岁斗232 65 9 14 823 87 ⋯由上可见,用相交弦法算出 的x:准确到 小 数点后 8 位,平 行弦法则 是 石位,而 M ul le r法与 N cwto n 一R a P ha on 法仅分别为斗位和 3 位。因此认为相交弦法有较高敛速。以 门 大 学 学 报 1982年参 考 文 献[1J R :, l s t o n,A卜 ,WI I f,工I。5. ,盯at左。。 召ti 、a l 二 。t左o ds 了。 , 石g ital c 。, P:‘t o r ,,V.1 1JohnWi ley &s o n :,In e. ,1 9 e 8.t 2] 陈为雄,解超越方件的一f石弦方法,计算数学,3 ( 1 9 8 1),2.[3] Os to wsk i,A.M. ,501。 , i。。 口f E 穿“ a z王。。 , a o J S 夕‘, 。。; 。j E 夕:‘a t i o n ,,1 9 6 0.TheInte rseeting Ch ord 二4 e th o d fo r S o lv 五n必T ran s减, e n d e ”t a l 及IuationsLin Q u刀(Ma rh。Depa r t一)A bstr a c tT h isz、al〕e : l,ro po s e s 0i tera t io n( 王) ea IJe d in rers ee七in g c l、o rd m 己th o d,w l、icl、 c a nbe u o ed 亡0 so lv e the 亡t.a nsc 。、d e n ta leq u a t io n s.In u s in g t h isformula ,it15 n o t n ee e s s a ry to e orn pu r e the v alu e s of 山rivative for eaeh :tep ,。。d 工+ 侧’万 15 tl, e e o ; , v e明en ce rate.T 五e m e t五o d (工) t五ere fo化 15 b ot:er rh anrh e N ew to zl,Raphso nrnethod,theMul le rmet}, od决1飞d t l, e p a ra l lel: e e a n tme 亡子10 (1 v resen tod i丸 1 2 {.

求解超越方程的相交弦方法

http://dspace.xmu.edu.cn/bitstream/handle/2288/18963/%e6%b1%82%e8%a7%a3%e8%b6%85%e8%b6%8a%e6%96%b9%e7%a8%8b%e7%9a%84%e7%9b%b8%e4%ba%a4%e5%bc%a6%e6%96%b9%e6%b3%95.pdf?sequence=1&isAllowed=y

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