图G的零阶广义Randi指标定义为0Rα(G)=v∈V(G)d(v)α,其中d(v)为图G的顶点v的度,α为任意实数.研究了树的零阶广义Rα指标的极值问题,利用分析和图的理论,确定了任意给定最大匹配数的树的最大和最小Rα的值,并刻画了达到该极值的树

林启法

钱建国

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2010年4月第26卷 第2期纯粹数学与应用数学Pure and Applied MathematicsApr. 2010Vol.26 No.2给定最大匹配数的树的零阶广义 Randić指标林启法 1, 钱建国 2(1. 宁德师范高等专科学校数学系, 福建 宁德 352100; 2. 厦门大学数学科学学院, 福建 厦门 361005)摘要：图 G 的零阶广义 Randić 指标定义为 0Rα(G) =∑v∈V (G) d(v)α, 其中 d(v) 为图 G 的顶点 v 的度,α 为任意实数. 研究了树的零阶广义 Rα 指标的极值问题, 利用分析和图的理论, 确定了任意给定最大匹配数的树的最大和最小 Rα 的值，并刻画了达到该极值的树.关键词：树; 零阶广义 Randić 指标; 最大匹配数中图分类号：O157.5 文献标识码：A 文章编号：1008-5513(2010)02-0339-061 引言设图 G = (V (G), E(G))，其中 V (G) 和 E(G) 分别表示 G 的顶点集和边集. 对任意实数 α, 图 G 的广义 Randić 指标 (或连通指标) 定义为Rα = Rα(G) =∑uv∈E(G)(d(u)d(v))α,其中 d(u) 表示顶点 u 的度, (d(u)d(v))α 是边 uv 的权. 特别地, R− 12被称为 Randić 指标, 它是由著名化学家 Randić于 1975 年首先提出的 [1], 该指标与有机物的结构和物理化学性质有着非常紧密的联系, 因而吸引了许多化学家和数学家的关注并取得了大量的研究成果 [2,10-11]. 在 1977 年,Kier 和 Hall[12] 发展了 Randić 指标, 定义了零阶 Randić 指标,即 0R(G) =∑v∈V (G) d(v)− 12 . 之后, Li 和 Zheng [13] 又提出了图的零阶广义 Randić 指标,即 0Rα =0 R(G) =∑v∈V (G) d(v)α, 其中 α 为任意非零实数. 对零阶 Randić指标的研究, 近几年也取得了许多成果, 详见 [14-17]. 特别地, 当 −1 ≤ α < 0 和 0 < α < 1 时, 林和钱 [18] 确定了给定最大匹数的树的零阶广义 Randić 指标的最小值和最大值. 本文将 α 的讨论范围拓广到任意实数, 即: 对任意实数 α, 确定了任意给定最大匹配数的树的零阶广义 Randić 指标的最大和最小值及达到该极值的树, 这一结果使该极值问题得到了完全地解决.2 预备知识先介绍一些术语和概念. 设图 G = (V (G), E(G)), 其中 V (G) 和 E(G) 分别表示 G 的顶点集和边集, N(v) 和 d(v) 分别表示顶点 v 的邻集和度, P (n) 表示顶点数为 n 的路. 设 M 是收稿日期：2008-02-10.基金项目：国家自然科学基金 (10831001), 福建省教育厅科技项目 (JA08266), 宁德师范高等专科学校科研项目 (2008102).作者简介：林启法 (1969-), 硕士, 研究方向：图论及其应用.340 纯粹数学与应用数学 第26卷图 G 的一个最大匹配, 称 M 中元素的个数为图 G 的最大匹配数, 若 M 饱和图 G 的每个顶点,称图 G 为完美匹配图. 度为 1 的顶点称为悬挂点, 与 1 度点相关联的边称为悬挂边, S1,n−1 表示顶点数为 n 的星图, 星图中唯一非悬挂点的顶点称为中心点 (记为 vn−1). T (n,m) 表示最大匹配数为 m 顶点数为 n 的树的集合 (n > 2m).设 F 为按如下方式递归定义的树集：(i) 对任意的正整数 k(k ≥ 2), S1,k ∈ F ;(ii)若树 T ∈ F , 则对任意的正整数 k(k ≥ 2), T ¯S1,k ∈ F , 其中 T ¯S1,k 表示把星图 S1,k的一个悬挂点与树 T ∈ F 的一个悬挂点粘在一起得到的树.特别地,设 F (n,m)表示 F 中最大匹配数为m顶点数为 n的树集. 易见 F (n,m)中的树是由m个星图 S1,k 按上述方式连接而成的,且每个星图 S1,k 的中心点 vk 的度为 k(即 d(vk) = k).对任意树 T ∈ F (n,m), 通过简单地计算, 得到n = |V (T )| =m∑i=1(d(vk)− 1) + m + 1 =m∑i=1d(vk) + 1 = mk + 1,即 k = n−1m , 而且有0Rα(T ) =2 +m∑i=1(d(vk)− 2) + (m− 1)2α +m∑i=1d(vk)α=(n− 1) + (m− 1)(2α − 2) +m∑i=1d(vk)α=(n− 1) + (m− 1)(2α − 2) + m(n− 1)αmα.设树 T 0(n,m) 是由 m− 1 条边粘到星图 S1,n−m 的 m− 1 个悬挂点. 显然 T 0(n,m) 是一棵最大匹配数为 m 顶点数为 n 的树. 特别地, 当 n = 2m, 树 T 0(2m,m) 是顶点数为 2m 的完美匹配树. 通过简单地计算, 得到0Rα(T 0(n,m)) = (n−m) + (m− 1)2α + (n−m)α .3 主要结果对任意树 T ∈ T (n,m), 易得下面两个简单的结果：(i) 当 α = 0,0Rα(T ) =∑v∈V (T )d(v)α = n, 这里 n 是树 T 的顶点数;(ii) 当 α = 1,0Rα(T ) =∑v∈V (T )d(v)α = 2e, 这里 e 是树 T 的边数.因此, 对任意实数 α, 我们仅考虑两种情况：α ∈ (0, 1) 和 α ∈ (−∞, 0) ∪ (1,+∞).下面五个引理将在定理 1 的证明中会被用到.引理 1 设函数 f(x) = xα − (x− 1)α − (2α − 1), 这里 x 为不小于 2 的正整数, 则(i) f(x) 6 0, 如果 α ∈ (0, 1) ;(ii) f(x) > 0, 如果 α ∈ (−∞, 0) ∪ (1,+∞);且 (i) 和 (ii) 式等号成立当且仅当 x=2.第2期 林启法 等: 给定最大匹配数的树的零阶广义 Randić 指标 341证明 注意到, 当 x = 2 时, 函数 f(x) = 0. 考虑 x > 3, 由拉格朗日中值定理, 则至少存在一点 ξ1 ∈ (x − 1, x), 使得 xα − (x − 1)α = αξα−11 , 以及至少存在一点 ξ2 ∈ (1, 2), 使得 (2α − 1) = αξα−12 , 这里 1 < ξ2 < 2 6 (x − 1) < ξ1 < x. 于是,f(x) = α(ξα−11 − ξα−12 )；再由拉格朗日中值定理, 则至少存在一点 ξ ∈ (ξ2, ξ1), 使得 f(x) = α(α − 1)ξα−2(ξ1 − ξ2), 显然,ξα−2 和 (ξ1 − ξ2) 是正数, 因此, 如果 α ∈ (0, 1), 则 f(x) < 0；如果 α ∈ (−∞, 0) ∪ (1,+∞),则 f(x) > 0. 故, 引理 1 证毕.引理 2 设函数 g(x) = (m−1)(n−x−1)α(m−1)α −m(n−1)αmα + xα, 这里 0 < x < (n − 1) 且 n >2m,m > 2, 则(i) g(x) 6 0, 如果 α ∈ (0, 1) ;(ii) g(x) > 0, 如果 α ∈ (−∞, 0) ∪ (1,+∞);且 (i) 和 (ii) 式等号成立当且仅当 x = n−1m .证明 首先注意到, 当 x = n−1m 时, 函数 g(x) = 0；其次求函数 g(x) 的一阶导数dg(x)dx=−α(m− 1)(n− x− 1)α−1(m− 1)α + αxα−1 =α((mx− x)α−1 − (n− x− 1)α−1)(m− 1)α−1 ,令 dg(x)dx = 0, 得 x =n−1m , 将定义域分成两个区间：(0,n−1m ) 和 (n−1m , n− 1).情形 1 如果 α ∈ (0, 1), 当 0 < x < n−1m 时, 有 0 < (xm− x) < (n− x− 1), 则 dg(x)dx > 0,于是, 函数 g(x) 是单调递增的；当 n−1m < x < n − 1 时, 有 0 < (n − x − 1) < (mx − x),则 dg(x)dx < 0, 于是, 函数 g(x) 是单调递减的；因此, 如果 α ∈ (0, 1), 当 0 < x < (n − 1), 恒有 g(x) 6 0.情形 2 如果 α ∈ (−∞, 0)∪ (1,+∞), 同理可证得, 当 0 < x < (n− 1), 恒有 g(x) > 0. 故,引理 2 证毕.引理 3[19] 设 T 是顶点数为 n(n > 2) 的完美匹配树, 则树 T 中至少有两个悬挂点, 使得每个悬挂点都相邻一个 2 度点.引理 4[19] 设 T 是顶点数为 n(n > 2) 最大匹配数为 m 的树 (n > 2m), 则树 T 中存在一个 m- 匹配 M 和一个悬挂点 v, 使得 M 不饱和顶点 v.引理 5 设函数 φ(x) = xα − (x− 1)α − (pα − (p− 1)α), 这里 p 为某一不小于 3 的正整数,而 x 为不小于 2 且不大于 p 的正整数, 则(i) φ(x) > 0, 如果 α ∈ (0, 1) ;(ii) φ(x) 6 0, 如果 α ∈ (−∞, 0) ∪ (1,+∞);且 (i) 和 (ii) 式等号成立当且仅当 x = p.证明 注意到, 当 x = p 时, 函数 φ(x) = 0. 考虑 2 6 x 6 p − 1, 由拉格朗日中值定理, 则至少存在一点 ξ1 ∈ (x − 1, x), 使得 xα − (x − 1)α = αξα−11 , 以及至少存在一点 ξ2 ∈ (p − 1, p), 使得 (pα − (p − 1)α) = αξα−12 , 这里 (x − 1) < ξ1 < x 6 (p − 1) < ξ2 < p.于是,φ(x) = α(ξα−11 − ξα−12 )；再由拉格朗日中值定理, 则至少存在一点 ξ ∈ (ξ1, ξ2), 使得 φ(x) = α(α − 1)ξα−2(ξ1 − ξ2), 这里 ξα−2 是正数,(ξ1 − ξ2) 是负数, 因此, 如果 α ∈ (0, 1),则 φ(x) > 0；如果 α ∈ (−∞, 0) ∪ (1,+∞), 则 φ(x) < 0. 故, 引理 5 证毕.定理 1 设树 T ∈ T (n,m). 当 α ∈ (0, 1) 时,n−m) + 2α(m− 1) + (n−m)α 6 0Rα(T ) 6 (n− 1) + (m− 1)(2α − 2) + m(n− 1)αmα(1)342 纯粹数学与应用数学 第26卷且第一个不等式等号成立当且仅当 T ∼= T 0(n,m); 第二个不等式等号成立当且仅当 T ∈F (n,m) 且 k = n−1m ; 当 α ∈ (−∞, 0) ∪ (1,∞) 时,(n− 1) + (m− 1)(2α − 2) + m(n− 1)αmα6 0Rα(T ) 6 (n−m) + 2α(m− 1) + (n−m)α (2)且第一个不等式等号成立当且仅当 T ∈ F (n,m) 且 k = n−1m ; 第二个不等式等号成立当且仅当 T ∼= T 0(n,m).证明 我们先证明 (1) 式第二个不等式成立. 对任意树 T ∈ T (n,m), 当 m = 1 时, T 是星图, (1) 式第二个不等式显然成立. 现假设 m > 2, 且对 m 用归纳法证明. 因为 T ∈ T (n,m)为树图, 于是总存在顶点 u ∈ V (T ), 使得 N(u)={u0, u1, u2, · · · , ut−1}(t > 2),d(u0) > 2且 d(ui) = 1(i = 1, 2, · · · , t − 1). 易得, T − uu0 = T ′ ∪ Tu, 这里 T ′ ∈ T (n − t,m − 1)且 |V (Tu)| = t. 方便起见, 不妨设 d(u0) = d(> 2). 如果 0 < α < 1, 于是, 由归纳假设, 有0Rα(T ) = 0Rα(T ′) + tα + (t− 1) + dα − (d− 1)α6 n− t− 1 + (m− 2)(2α − 2) + (m− 1)(n− t− 1)α(m− 1)α + tα + t− 1 + dα − (d− 1)α= (n− 1) + (m− 1)(2α − 2) + m(n− 1)αmα+(m− 1)(n− t− 1)α(m− 1)α −m(n− 1)αmα+tα + dα − (d− 1)α − (2α − 1)6(n− 1) + (m− 1)(2α − 2) + m(n− 1)αmα.由归纳假设知, 上述第一个不等式等号成立当且仅当 T ′ ∈ F (n − t,m − 1) 且 k = n−t−1m−1 ; 再由引理 1 和引理 2 知, 上述第二个不等式等号成立当且仅当 d = 2 且 t = n−1m . 将 t =n−1m代入 k = n−t−1m−1 , 易得, k =n−1m . 因此, (1) 式中第二个不等式等号成立当且仅当 T ∈ F (n,m)且 k = n−1m .下面证明 (1) 式第一个不等式成立. 注意到, 如果 T ∼= T 0(n,m), 结论显然成立. 先证明如果任意树 T ∈ T (2m,m), 则 (1) 式第一个不等式等号成立当且仅当 T ∼= T 0(2m,m). 如果 m = 1, 2, 则显然 T 0(2m,m) ∼= P (2m). 于是, (1)式第一个不等式成立. 现假设 m > 3, 对 m用归纳法证明, 因为 T 是顶点数为 2m的完美匹配树 (即 T ∈ T (2m,m)), 由引理 3知, 树 T 中有一个悬挂点 v 相邻一个 2 度点 w, 而且树 T 中存在唯一一个顶点 u(6= v), 使得 uw ∈ E(T ),这样有 2 6 d(u) 6 m. 设 T ′ = T − v − w, 则 T ′ ∈ T (2(m − 1),m − 1). 如果 0 < α < 1,设 d(u) = d, 由归纳假设, 有0Rα(T ) = 0Rα(T ′) + 2α + 1 + dα − (d− 1)α> (m− 1) + 2α(m− 2) + (m− 1)α + 2α + 1 + dα − (d− 1)α= m + 2α(m− 1) + mα −mα + (m− 1)α + dα − (d− 1)α> m + 2α(m− 1) + mα.第2期 林启法 等: 给定最大匹配数的树的零阶广义 Randić 指标 343由归纳假设知, 上述第一个不等式等号成立当且仅当 T ′ ∼= T 0(2(m− 1),m− 1); 再由引理 5 知,上述第二个不等式等号成立当且仅当 d = m(即 d(u) = m). 因此,(1) 式第一个等式等号成立当且仅当 T ∼= T 0(2m,m).下面假设 n > 2m, 对 n 进行归纳且假设对顶点数小于 n 的树结论均成立. 由引理 4知, 树 T 有一个 m- 匹配 M 和一个悬挂点 v, 使得 M 不能饱和 v. 设 uv ∈ E(T ), 这样有 2 6 d(u) 6 n−m. 设 T ′ = T − v, 则 T ′ ∈ T (n− 1,m). 如果 0 < α < 1, 设 d(u) = d, 由归纳假设, 有0Rα(T ) = 0Rα(T ′) + 1 + dα − (d− 1)α> (n−m− 1) + 2α(m− 1) + (n−m− 1)α + 1 + dα − (d− 1)α= (n−m) + 2α(m− 1) + (n−m)α − (n−m)α + (n−m− 1)α+dα − (d− 1)α> (n−m) + 2α(m− 1) + (n−m)α.由归纳假设知, 上述第一个不等式等号成立当且仅当 T ′ ∼= T 0(n− 1,m); 再由引理 5 知, 上述第二个不等式等号成立当且仅当 d = (n−m) (即 d(u) = n−m). 于是, 当 n > 2m 时, (1) 式第一个不等式等号成立当且仅当 T ∼= T 0(n,m).因此, 任意树 T ∈ T (n,m)(n > 2m), (1)式第一个不等式等号成立当且仅当 T ∼= T 0(n,m).故, 定理 1 中 (1) 式证明完毕.运用定理 1 中 (1) 式第二个不等式的类似证明方法以及引理 1 和引理 2, 可以证明 (2) 式第一个不等式成立, 而且 (2) 式第一个不等式等号成立当且仅当 T ∈ F (n,m) 且 k = n−1m .运用定理 1 中 (1) 式第一个不等式的类似证明方法以及引理 3, 引理 4 和引理 5, 可以证明 (2) 式第二个不等式成立, 而且 (2) 式第二个不等式等号成立当且仅当 T ∼= T 0(n,m). 因此,定理 1 证明完毕.参 考 文 献[1] Randić M. 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In this paper, an upper bound and a lower bound for the treeswith given size of the maximum matching are determined, respectively. Further, the corresponding extremaltrees are characterized.Keywords: tree, zeroth-order general Randić index, maximum matching2000MSC: 05C70

给定最大匹配数的树的零阶广义Randi指标

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