利用三角形线性元的积分恒等式,给出了二维非定常对流扩散方程的半离散有限元解和真解的一致最优误差估计,即误差与ε无关,而仅与右端f和初值u_0有关

周俊明

张书华

林群

王宏

陈竑焘

Xiamen University Institutional Repository

第 41 卷第 21 期2011年 11 月数学的实践与认识M A T H E M A T IC S IN P R A C T IC E A N D T H E O R YVo l.4 1 , N o .2 1N ov ., 20 1 1对流扩散方程三角形有限元解的一致估计林 群 ,, 王 宏 /, 周俊明3, 张书华 4, 陈蛇寿 0(1. 中国科学院 数学与系统科学研究院, 北京 1001 90)(2. 南卡罗莱纳大学 数学系, 南卡罗莱纳州 29205)(3. 河北工业大学 理学院, 天津 300 160)(4. 天津财经大学数学经济研究中心, 天津 30 02 2 )(5.厦门大学数学科学学院, 厦门 361005)摘 要: 利用三角形线性元的积分恒等式, 给出了二维非定常对流扩散方程的半离散有限元解和真解的一致最优误差估计, 即误差与 : 无关, 而仅与右端 f 和初值 坳有关.关键词: 三角形线性元;积分恒等式;一致误差估计;半离散 G al er ki n 方法1 引言本文考虑对流扩散方程{"亡+ 口(x , t) #V "一:V #(a (x , t)V u)= f(x , t), (x , t)任几x (O, T ]二(#,0)= 二0, in 几 (1)其中几= (0 ,1)x (0 ,l), r 二口fl 为 几的边界 , 空间变量 x = (xl,xZ),月= (口1,热)为速度场 ,"(二,约表示扩散系数, 并且满足 0 < ami "三a(二,约三 "max < + o , (; ,约任几x [0 ,到 , 参数0 < - 5 1.定解条件取为周期边界条件, 这就要求方程 (l) 的系数函数也是空间的周期函数.该种类型方程有广泛的应用背景 I,一0}, 同时也是一种比较典型的数学问题.本文旨在探讨半离散的有限元逼近与真解的误差.所谓的一致最优估计 , 即指误差与 : 无关, 而仅与右端项 f 及初值 二"有关.文中所用的空间及范数, 均指标准的形式 [.] , 使用时不一一做说明.2 半离散 G al er ki n 有限元方法假定将区域 几做均匀一致三角形剖分 (如图 1) .小直角三角形直角边长度为2h l和 2h 2.码 (卿 c H -(卿 是由几上的周期函数构成的空间.从 c 玛 表示在该剖分下的连续分片线性函数空间, 且满足周期边界条件.并设尺 是无次多项式的集合.收稿日期:2009一11一17资助项目: /973 创新计算,, (Zoose B 32i700 , Zoose B32i川i);国家重点基础研究发展项 目(Zoo7e B 8i49o6),国国家自然科学基金 (10471103 , 10771158)21期 林 群, 等:对流扩散方程三角形有限元解的一致估计 2 3 3/ / /厂厂// 厂户图 1 剖分示意图 图 2 公共边单元方程 (l) 所对应的变分方程:求函数二任码 , 使得(":,v)+ (月#v ", ")+ :(av u,v v)= (f,v) V, 1玛(几), t> o相应半离散有限元逼近就是换到子空间 呱 中, 求解 "!(幻:= "!(#, t) 任呱:("!,亡, v)+ (月 #v "", ")+ :("v "!, , ") = (f, ") Vv 1 Vh , t > O(2)(3)3 误差分析本节我们将讨论半离散有限元逼近与真解的误差:e = U h 一 U由 (3) 减去 (2), 可得误差方程(e, , ")+ (口 #V e, v)+ :("V e, V v)= 0 二任玖为估计误差 e, 需要做分解e = (0!一u , )一("一", ) := 8 一刀并取 "= 0 1玖:(0-, 0) + :(aV O , V S)(4)一五(一 ,!)0+#五"v(一 )v/+五"#v-一 ,0一五-0#v/, /= 1 + 几 + 几 十几由插值的性质知11 1 - C hZll",11211011- 11夕112+ e凡4.1",日弓而八二告(v #口,尹)被10 12 估计,剩下的几和几需要用到积分恒等式[6](5.)(6)4 积分恒等式引理 1 如果 " - H /(卿,五, "1玖 , 则v(一)#v#,:C/2!#!3,#}1 (7)2 3 4 数 学 的 实 践 与 认 识 41卷证明 C /(卿在H /(卿中是稠密的, 因此只需要考虑 "任c /(卿即可.注意到分片函数岛在一对单元 "一"1日eZ上相等(如图 /), 因而积分不等式是建立在单元对上的#为表达方便 , 不妨设 B D 的中点为坐标系原点, 则尤丝些迈塑上,-竺兰业2二必一 /U 工 1 J e口("(一xl,一xZ)一u , (一xl, 一xZ))a x l(8)若记二(x:, xZ) = "(x:, xZ)一"(一x , , 一xZ此时二, (xl,xZ)= ", (xl,xZ)一", (一xl,一xZ)那么有{/色共平卫{一,/处事里+ 厂嘿二些}IJ e 口x l } {J el U x l J eZ a x l }口(u 一", )口x l 关0("(一x l,一xZ)一二, (一xl,一xZ))a x lO{["(xl, xZ)一"(一xl,一xZ)]一[", (x l, xZ)一u , (一xl, 一xZ){}口x ia(二一二川a x l }产/关抑了.此一三C h }二{2,o ,"!m eas(el)丛C 人2 }"!3,co ,"m ea s(el) (9)} f a ("一ul) O: } _ _ , ".! 了一一石, ) 石万, }冬 - n 一! u 13, 0 ,"Ivl l,1 ,"!J e U x 1 U工1 }(10)从 (10 )可以看出!.了!,夕1上Q白11/了.!l关0("一!I) av口x i a x l !二一", ! : "("), !奥 "!(")O 工 1所以从 B ra m blo Hi lber t 引理得到} f a("一"I) 口v l _ _ , ",} I 一一; , , 一一二不, } 圣 - n一l , 13," IU ll, 1,"}儿 U xl 口工川那么, 对单元求和可知} f a(二一", ) 口"} _ " } f 口(二一二I) a二}!了 一 兀刃, 一一 石二, }圣 夕 J ! 了一一万尸一一百一一}IJ n U x 1 U工1 1 丫 IJe U芯1 U x l l三c劝训3}vl l,1三c峭川3}"{1这里由周期边界条件可知与边界相交的三角形网格恰好能两两组合成图 2形.类似可得(13)所示的平行四边1/ 处毛创里纠 :ch .吨lvI}J O 口苏2 口苏2 }(14)联立 (13)(14), 引理 1 得证二引理 2 设 a (#,亡)任W , ,co 脾), "任H 3 如果 v 1呱 , 那么!产,1比V自c,/{介v(一 .- 三C hZI!"}13Ivll (15)21期 林 群, 等:对流扩散方程三角形有限元解的一致估计23 5证明 令司":一斌丈万fe "(x ,t)d二是"在单元对上的平均, 这里么, 由 (23)可知e = /IU eZ(如图 2).那} f a(u 一ul) ov }}J o o xl 口xl l_}二 r_a("一",) ": {.{二 [, _!"("一二,) ""}圣 l夕 , a 一一下下一 一一 二丁一一} 十 }夕 : 了L住 一 口夕一一下于甲一一一二犷 , }l一 J , O 劣1 U T I } l一 J o U 工1 口工1 1三C hZ(1"}3 + 110 112)I:{1!!J尹,夕八01了用.上1-!.r三C hZJIoJJ3}vJ,这里同样用到周期边界条件.类似地有} f a ("一"I) av!, _ "一下霖下一~石{了IJ S乙 u 山 Z L, 山 2兰C hZll"日31"11联立 (16)(17), 引理 2 得证.弓l理 3 设 "1H 3(卿 , 如果 "任玖 , 那么五-一 )聂一O("2)}一}#,," (18)证明 c 0-几)在H 0-0)中是稠密的, 因此只需要考虑 "1c 0(卿 即可.由泰勒公式, 如果(x 1, xZ) c e, 这里 "二"1u eZ(如图 2).简便起见 , 设 B D 中点是原点 , 那么一-", #睿舞(")一告二于云二-(0)x -x l口艺-口x J口2祝+ o (人3)l",3,o ,e (19)n-一卜q二一权!Zq "直8苍才经计算 ,关#可得4h lh2"(0)十沁会0)+ 言又由于 /:,:磊 (0卜考"1!:杂("卜"("5)}#}3,一,"(20)J 二义一{合;#(A)+#(e)卜;!#(二卜#(")}},#;几2 .人2一上二竺 了n ! ,-.Zax l石而 !u/了n名-上h洲̀a一3+!!刀0了J几!U一212一劣口一2h3,1h2十!2.n曰七了.tL2h,生h4一 一-!J.苦!了口,土29曰2矛砂-.!;"1!:鑫(0,+O-00,,#,3,一这里 A , B , C D 如图 2 所示.13因此关-;2些 .: : aZ二-.0,由子下-// -2赢 石王万匀2 .+ h鑫器 )+o(!5)}"{3,aO ,"七声谈 J几山U一U此力厂f, !av, 气,a 一牡, )石: ,J e 口 X I1 f十 二 ,J Je时黔人1惋念 (23)从 (23)立刻看出 + //鑫)聂卜C!3,#}3,一,"!#}1,王,#f , !J v I fje气/一0-.石 +百je时鑫+hlz 森 +!豁聂!!J苦产扮41勺今习,曰汀矛.吸!12/ ""(e), 0聂"P0回所以从 B ram blo H ilbert 引理得到[ , !口v l [je气/一/-,丽 十百关自2 .伍 罗竺-竺\ 一, 1 仁卜 伙+ /1/2磊 + /:鬓)会,:C/3}一!1,1,#2 3 6 数 学 的 实 践 与 认 识 41卷[, !如I 又u 一 u l )石丫一 =J e U x l 关(!杂+ /1!口Zuax z口x几 2 ". 几"._ " 以 场 ! U U _ , _ , ! .一+ h鑫万:万)石二.+ U (九-少}u 13, "}0!z,1, "Z U苏乏 U工z(26)将 (26 )对单元求和, 并分部积分得到l , !口: . f , !口v左!/一/-,丽一令关又,u一/-,石1 产 月3 " 月3 " 自3 "人 , , . q L, 场 . ~ L, 伪 _ 几 U 肠 ! _ , _ , ! -一宫刀城两 + /-/2石王骊王石+ /鑫石;石藉)0+U( /J)!0目01= O (hZ)101311"If (27)这里用到周期边界条件和逆不等式.引理 3 得证.与引理 2 类似 , 引理 3 可推广为引理4 设口(#,t): (w -,O旧))2 , ": 万3牌).如果二"叭, 那么五, -一 , #v一O-/0,-#-,3,,#,, (28)5 稳定性估计下面在不同的正则性假设下, 给出间题 (l) 的一致先验稳定性估计 , 即与 : 无关 [l] .引理 5 设 "任石co (o,T ;w k+, ,co 牌)), 口 "(五co (o,T ;w k+ -10牌)))., u"任万k牌)和f 任石2(o ,T ;H k牌)), 那么有/ / :亡 \ 1/2\-, /-., -, 0#三-(0/"0无+仁j0 0了-,-d-) ) O < t < T (29)又如果a "石O(o,T ;w -,OC (")),口: (五!(o,T ;w 4,o脾)))., u""万3价)和了:石2(o,T ;H 3(几)), 那么关-,川:d#:e(.}一}:+关-!.,日置d!),0:-:T (30)上述估计中的 C 都只依赖于 ",口, 而与 : 无关.6 主要结果定理 设 " 任 L - (0 ,界L Z(o ,T ;H 3价)), 如果 "(t)和11"(t)一二!(t川这里常数 C 与 ", :, h 均无关,证明 由于w 4,O (几)), 口二!(t) 分别是任(俨 (o,T ;w -,co (几)))., ""任万3(几)和 了"(2)和 (3)的解 , 那么_ / / r: ! -/2 !三-h/(lu "03+又j0 0-,,扣口夕0 < t < T (31)1.p(艺)}l二e h211二(, )112 (32)!l!产es.1一2!!/11Sd2一2,-一关-一,2三一{.}一(关-一因此关键问题是估计 0( t) .取 v 二o, 应用分部积分 ,{13 }可知引五v #脚/-/}旅/ #vo"-21期 林 群, 等:对流扩散方程三角形有限元解的一致估计 2 3 7-!.卫,产14JQJnO百了-!古lf _ _ _. - I _ 口O _ 口0 .= 1 1 div口p81+ 1 1 口lp云= + 伪p云二!.无 一 .尸r一0 .九 尸-r无l .尸~ 衡: .直接应用插值误差估计和引理 4, 立即可知!13 }三C 1lpllllo日+ O (hZ),10113110.1三C llo}12+ C h4llul}置由引理 2, 知_ _ ".. , _. 1 ._." _ _ . , 二}1, }三C /九-日/日0}日}-丛百/a ? -n}/!; + / -/ .日/ 1言< 二日一 2Q V O注意到盖:(a v e, , 0) 被(5)左端吸收,及 (35)式 , 得到v e)+ C h4}!"!>聋 (35)且吸收后剩余的告:(av o, , 0)全O,所以由(5)!(6)!(34)(0, ,0)三C JJO}!2+ C h4(J,二,}!鑫+ ,{",}考)两端积分 , 注意到 110(0)11= Ilu !(0)一u , (0川 = 0, 可知}!"(:)日2:e!4关-(一:+.,,:)d#+C关-:0.}Zd一0:-:T应用 G ro nw al l不等式, 得到(36)(37)1:"(,),,:eoZ(丈-(.,一};+.,};)d#) . (38)联立 (32)(38)和引理 5, 有}#(!)一(:)!}:一{,一,,:ChZ(.,U",2#(关-(,,一,-#,,#,!,)d#)-}3#(关-}.,.!:d!)/2)(39)这里 0 兰艺三T.参考文献=1 : W ang H an d W angK .Unifo rm estim at es fo r Eulerian- Lagr an gi an m ethodsfo rsin , lar ly perturbedtim e- dependent problem s=J}.SIA M J N um er A nal, 2007(45): 1305一1329.!21 W ang K , M 厄ng H an d AI一Law at ia M .A n Eulerian- Lagr an gi an diseontinuous G alerkin m et hod fo rtran sient ad ve ction一difu sion equat ions[Jl#Num erieal M ethodsfo r pD Es, 2007(23): 1343一1367.=3 8W ang H .A n optim al一ordererror estim ate fo ran E LL A M sch em e for t~ d im ensional linear ad vec tion-d ifu sion equat ions[Jl#SIA M J N um er A n al, 2000(37): 133& 1368.[4 } A d am s R A .Sobolev spac es[M l. A m sterd am A ead em ie P r./A n im pri nt of E Ise vi er seien ee, 2003.=51 Lar sson 5 and T hom -e V #part ialD ife rentialEquat ions w ith N um erieal M et hods(影印版)=M l.北京: 科学出版社, 2006 .[0] 林群, 周俊明, 陈姑煮. 椭圆问题四面体线性元的超逼近与外推 [s] .数学的实践与认识, 2009 , 3以15):2 0住 2 08 .[v] 林群,严节 #高效有限元构造与分析[M }#保定:河北大学出版社, 1996 #[8 : L in Q and L in J f. F inite E lem ent M ethods:A eeu rac y and Im prove m ent{M I.B eijing: Seienee p ress,20 6.[0l 朱起定, 林群.有限元超收敛理论 !M ].长沙:湖南科学技术出版社, 1989 .2 3 8 数 学 的 实 践 与 认 识 41卷A U n ifo r m E r ro r E stim a t e fo r Tr ia n g u la r F in it e E le m e ntS o lu tio n o f A d v e e tio n 一d ifi lsio n E q u at io n sL IN Q un l仁认7A N G H ong Z, z H o u Jun一m ing 3, z H A N G s hu一h ua 4, e H E N H on片tao s(1. A ead enly of M athem aties and System s Seienee, Chinese A eadelny ofSeienee, Beijing 100190 , C hina)(2. D epar tm ent ofM at hem at ies, U nive rsity ofSouth Carolina , South C ar olina 29208, U SA )(3.Sehoolof Seienees, H ebeiU nive rsity ofTe ehnolo卧 T ianj in 300160, C hina)(4.R esear eh Center ofM at hem at iealEeonom ies, T ianj in U nive rsity ofF inanee and E eonom ics , T ianj in 30O222C hina)(5.Sehoolof M athem at iealSeienees, X iam en U niversity, X iam en 361005, C hina)A b st ra e t: In th is P ap er , th e a uth o rs u se th e in tegr al id ent ities o f trian gu lar lin ea r e lem en tsto P rov e a u n ifo rm o P tim al一ord er erro r e stim at e fo r th e sem i一d ise rete tria n gu la r fi n ite elem en tso lu tion o f th e two- d im en sion a l tim e一d eP e n d ent ad v eetio n一d ifu sion eq u at io n s , w h ieh d eP en d so n ly on th e in itia l an d rig h t d at a b u t n ot o n th e sealin g P a ra m ete r -.K e y wo rd s : trian g u la r lin ea r e lem e nt: in tegra l id entities: u n ifo rm erro r estim at e ; sem i二d iserete G a lerk in m eth od

对流扩散方程三角形有限元解的一致估计

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