This paper discusses an inverse singular value problem.It gives a suffi- cient and neceessary condition,an algorithm and an example for the inverse singular value problem.留学回国基金;; 国家自然科学基

卢琳璋

孙伟伟

Xiamen University Institutional Repository

1 9 9 9 年 1 2 月 高 等 学 校 计 算 数 学 学 报 第 4 期一个逆奇异值问题’卢琳璋(厦门大学数学系,厦门 3 6 1 0 0 5 )孙伟伟(香港城市大学数学系,香港 )O N A N IN V E R SE SIN G U L A R V A L U E PR O B L E ML u L in z ha n g(X ia m e n U n iv e rsi ty )S u n We iw ei(C ity U n iv er sity o f H o n g K o n g )A b stra ct T his Pa p e r d iseu s s e s a n in v e r s e sin g u la r v a lu e p r o blem.It g iv e s a s u ffi-eien ta n d n ec ~ry eon d it io n , a n alg o r ith m a n d a n e x a m p le fo r t he in v er s e s in g u la rv a lu e P r o blem.K ey w o r d s In v e r s e sin g u la r v alu e Pr o blem,inv ersee ig env alu e Pro b le m.AM S (1 9 9 1 ) s u bje e t cl assifie a tio n s 6 5H 2 0.中图法分类号 0 241.l 引 言是 c hu , M.T [21.首先提出逆奇异值问题,他 (那时就 )认为[2],尽管还没看到这样的问题在物理等方面的应用,但这个间题本身是有意义的.在文【6] 中,R a m Y.M.和 El hay,s.就提出了一个具有物理背景的逆奇异值间题.本文考虑的问题如下:问题 P 找 (如果存在的话 )一个n阶的单位下三角阵,使它有预先给定的正数 几,处,⋯,氏 作为它的奇异值.这个问题与 Ra m 和 El hay 提出的问题【6〕相近,但显然要简单得多.在下一节我们将讨论问题 P 的可解性和解存在的充分必要条件,第三节给出求解问题 P 的算法和一个例子此作者得到留学回国基金,国家自然科学基金资助,收稿 日期: 1 9 9 9 一 0 6一 2 9··3 6 0. 卢琳璋等:一个逆奇异值问题 第4 期2 问题 P 的.可解性引理 2.1 设 m Xn矩阵 A 和: X t 矩阵 B 分别有 (正 )奇异值d l , 。2 , ⋯, 丙 和 氏,几,⋯,「 A O 门.__._ _岛,则对任意实数 p,(m +‘) X (n + ‘)矩阵 C 一 L, ,、v了 。 ]有‘正’奇异值’“1’“2’“2 ”’几’姚J3⋯ 氏.这里 AT Av , ~ 时v: ,}}v ,}: 一 1,BBT p;一 赶p; ,!} p,!}: 一 1.夕: ,8:是 2 x Z 矩阵 G -〔仁夏」的奇异值·证明 设 U D V丁和 尸E梦 分别是 A 和 B 的奇异值分解,这里 U 一 (u: , u : , ⋯, u . ),V =(v, , v : , ⋯, v , ),p = (p, ,p: ,⋯,p:)和 Q = (q, , q :,⋯,q。)都是正交矩阵.D 和 E 是 m xn和s x矩、.D 一叮:」,E 一比:」,C CT~乏一d ia g (a: , 。: , ⋯, 几), △一d ia g 份 :,几,⋯,岛)·我们有超刀沪于刀刀T + 产Pl 可.容易验证[八月T 势P lv fA二。、」〔州刀 :对Pi刀刀? 介 〕一 、〔曹」, ‘一 2, 3 , 二’ ,‘= 。助i一 2, 3,“’, ‘l时‘al P产丫,〕口一 毋盯 :鱿盲一 ‘’图即卜则我们又有: i一 1,2 时CT 翩一〔器宕咒。Bly;+ 尸p:,〕一嘿六笨+ 、、,]一 毋翩这个引理得证.定义 2.1 我们称一个n阶单位下三角阵 L 实现了 二个正数a : , 丙,⋯,氏(没有排序 ),如果d : , 几,⋯,氏 是 L 的奇异值.后面我们将用 S,表示所有能被某个n阶单位下三角阵实现的n个正数组成的集合.定理 2.2 若 (a ; , a Z , ⋯,‘ )任S ,,(月1 ,风,⋯,月,)〔 S, ,且对某个r > 0,存在 1《￡( m,1镇 j镇n ,使得。, ,1, 、~。衅‘r‘一 1 少十 户从万 一土少沪U ’ (1 )那么,d 二 (必 r,尽/r, a : ⋯隽一; , 久+ ,⋯‘,月,⋯几一 : ,风+ : ⋯风)任5. + 二·证明 设 A 和 B 分别是实现 (al,气,⋯,‘ )和明: ,月: ,⋯,风)的单位下三角阵.再设厂Au ‘一时u‘ ,BBTv , 一那vj.应用引理 2. 1,我们容易验证单位下三角阵:〔众 小“了d,这里。一〔、(一1 ) + 礴(青一 1 )〕1 9 9 9 年 1 2 月 高等学校计算数学学报。3 6 1。注 条件 (1) 是容易满足的,当r < 1 时,只要 ai 簇风, r) 1 时,只要 久) 岛,(1) 都成立下一个定理给出了问题 P 的可解性.定理 2.3 份, , d Z , ⋯,氏 )任 5.当且仅当口, , d : , ⋯,氏 满足(2 )月.上一久n证明 必要性.设 L 实现了份、 , 。: , ⋯,几 ),则由于d e t (厂L ) 一 ( de tL ) , ~ 1 一 n 时即 ( 2) 成立.下面我们用归纳法证明充分性.当一时,不”“。1)。2 , ,卜““易“证矩阵「(叮釜一 1 ) ( 1一雌)闪1实现了 ( al,几 ).1 J对。> 2,不失一般性,设 。,ae 使得不等式 时(丢一 1 ) + (‘一 , )》。.令 ; 一。。,; 2一 。3,C, 豆⋯,氏一 : 一。,那么 n 民一 n。 一 1,由归纳假设, (于, ,于2,⋯ , 氏一 1 ) 任 凡一 ,应用定理 2.2 到 二1. 、 ,,, . 、, 。 , 。, , ,、。, , 。 , “一 可 以汉、上夕 七 。 , ’刀p汤忱”J得王”1r , —r 乳,⋯,民一 ; ) 任 S一l 十 , ,即 (内,处,⋯,氏) 任S, .3 算法及例子定理 2.3 的构造性证明基本上给出求解间题 P 的方法.算法 3.1 给定满足 ( 2 ) 的正数口: , 。: , ⋯,氏,本算法计算一个具有奇异值。: , 。: , ⋯,氏阶单位下三角阵 L.‘ .一_{ 1 仍, , _“__. _ ‘ 、_1. 计 算 A;一 1.},便之买 现 (r , , 口: ),这里 rl\ a 1 1一奇,当 。》‘时,一〔‘减一‘, “ -奋,当 。< l 时, 。一〔(代一 1 ) ( 1 一雌)〕告.2.对 i = 1, 2,⋯, n 一 2‘ .__[ 入 O、 _、_ _计算 ”汗互一}云;},使之实现 ‘长十‘而口2 ’n, .的、声产代,ai+, ),这里 。一 1 / n 巧,八是一个实数,由方程1对 ~r矛(子一 一 1 ) 十 (哈1”‘哈: ‘”“ 一i-f1决定,C ‘由方程可浅C、 ~ 讨C‘I! C !l解出.3.L 一人一 1实现了 (几,几,⋯,久 ).注 1 注意到 。是 入 的奇异值,因此 (4) 是有解的.注 2 (3 )式可整理成一 1 ) ( 3 )( 4 )奋+ I f+ 1对 ~ ( i 一 哈: ) ( 1 一 n 弓) / n 弓‘= i,2,⋯, n 一 z ( 5 )j. l j一 1因此要保证上述算法能够完成,应首先对给定的奇异值进行适当的重排 (给出时,并不假定吸 , 几,⋯,氏 按其下标具有某种大、小顺序 ),使。: , 凡,⋯,氏 这样的下标排序满足一3 6 2.卢琳璋等:一个逆奇异值间题 第 4 期当 。+1 簇 1 时,n 弓簇卜 当 吼+,> 1 时,n 弓)1 ‘一 1, 2 , ⋯, , 一 2 (6 )然后才能开始我们的算法.但是,如果给 巩 排序,使 (6) 成立,仍然是一个问题.下面对此问题作一个简要的说明,假定 艺是给定的n个正数的集合,且 艺 中小于 1 的数比大于 1 的数多 (相反的情况类似讨论 ).若 艺 中只有一个数大于 1,那我们只要把这个数排到最后 (即作 为 氏,也看后面的例3.1 ),(6 )即成立.若 艺 中有二个数大于 1,设为a , 月,且a> 月,记集合 。一孰{a ,闭.若有 y 〔。,使 y,月簇 1,则排序。; 一月,几 ~ r,⋯,氏一 a 满足 (6).否则,对任意的r 任口,都有r · 月> 1,我们必能选到忿一 I tr , , r Z , ⋯,r, 任侧, < 。一 2),使 nri 层 > 1,而nri 夕< 1.这时,可选择的一种排序为: 。 一 r‘ ,矛一 1 1一 1i 一 1,2,⋯, t 一 1, 巩 二 夕,汽+ 1 一 rt,⋯,氏 ~ a. 这种排序满足 (6 ).对于 艺中多于 2 个大于 1l一厅1一厅、一厅的数的情况,可以类推.例 3. 1 求 4 X 4 的单位下三角阵 L,使它的奇异值是,丫丽解 显然,令。‘~ 艺而的任一种排法都能使 (6) 成立.我们取其中一种: 。 : -丁育’“, 一7 育’叮 , - 丫夕万’a4 = 了丽.按算法 3.1 进行计算得到Al一⋯AZ一{1 0’六1众,)实现了 (了~百,实现 了 (了丁弓,),其中叮 -1了万(丫万,l ),对= 5 (3 一 1 )+; 1一厅分l一厅1一厅1一厅1一厅A3-A2八叮一L 实现了 (了丽, ),其中 c 百一鱼六 (丫百亏,了下,2 了1 11一2’连了- ; 二 、 , , _ , , . 、 . ,1犷 乙 夕 , P三= 1 勺气乙一 1 ) 一 仁二子一 1 ) =乙参 考 文 献Chu ,M.T. ,I n v e r s e e ig e nva lue pro bl e m,S IA M R ev ie w, 4 0 ( 1 9 81 ), 1一 3 9.C h u,M.T. ,N u mer ie a l m e t heds fo r i n ve r se sin 即lar v a lu e pro ble m,S IA M J.N umer.A n a l. , 2 9( 1 9 9 2 ), 8 8 5 一 9 0 3.G a n tmae h e r,F.R. ,T h e T h e o r y o f Ma tri e e s,C h e lse a,N e w Y o rk,19 5 9.G o lu b,G.H. a n d V a n L o a n,C.Ma t r ix Com 即t a t i o n s,N o rt h o x fo r d A e a de m ie , O x fo r d, 1 9 8 3.L u L.2. a n d S u n W.W. ,O n n e ce sa r y e o n d it io n s fo r r e c o n s t r u e t io n o f a s p e e ia lly s t rue tur ed ja e o b im a t r i x fro me ig e nva lu e s, t o 叩pe ar in Inv er se Pr o b le m.R a m,Y.M. a n d E lh ay,5. ,C o n st ru ct i n g t he s h a p e o f a rod fr ome ig e n v a lu es,Co mu n , N u m e r.Me t h.E n 幼g,1 4 ( 1 9 9 8 ), 5 9 7一 6 0 8·周树荃、戴华,代数逆特征值间题,河南科学技术出版社, 1 9 9 1.

一个逆奇异值问题

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