国家自然科学基金和国家青年自然科学基金资助项

彭联刚

林亚南

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甲‘ 魂心‘ , 召勺撼熟算热倾斜模唯一性的有效判定彭 联 刚 林 亚 南北京师范大学数学系 , 北京关桩词 倾斜模、顶、底座、代数的通常箭图本文总假设 天为代数闭域,为 天上基的 连通的 有限维代 数 结 合的,带单位元 代数 上的模总指有限生成左 一模 在同构的意义下,记 。 。 〔 ,表示所有不可分解投射模的 集 合,试 。 〔 表 示 所 有 不 可 分 解 人 射 模 的 集 合,沼 〔 表示所有单模的集合,这里 了 是固定的有限集 合,一 ‘‘ 。 在不 引起混淆的情况下,我们可以省略下标 汉。另外,对于,我们记一 ,吞正在本文中,态射的合成总是从左到右一个一模 称为倾斜模,如果下面条件被满足, 簇头,一存在正合序列 , , ’ , ’,,,其中 ’,’,是 了 的直和项的直和。我们知道,本身是倾斜模 什么时候仅存在这样唯一的倾斜模呢 一个自人射代数显然仅有唯一倾斜模 给出一个非 自人射代数但具有唯一倾斜模的例 子 见 文 献 【,给 出了代数仅有唯一倾斜模的充要条件 见文献 【 】, 。现在,对这个问题,我们得到一个有效判定定理 设 是一个代数,则下面条件等价才 仅有唯一的倾斜模对任意非投射 才一模,有 , 一每个单模 都是某个不可分解入射模 的直和项。证 片 见文献,, 否则,假设对任意人射模,单模 不是 的直和项,那么对任意 〔, , , 由文献 引理 知 ,一显然不是投射模 矛盾峥 否则,假设存在一个倾斜模,含非 投射 不 可 分 解 直 和 项、, 则汉 。 由文献 引理,我们得到对任意 〔 , 月, 、 一。因为本文 , 年 月 斗 日收到 , 年 月 日收到修改稿。国家 自然科学基金和国家青年自然科学基金资助项目绍 呼 期 科 学 通 报铸 。, 我们可以设 。 是 的一个直和项,即 ‘ 是 的一个单子模 根据题设,存在某个不可分解人射模 使得 是 石 的直和项,即 ‘,粉 , 从而 通, 钾,矛盾 证毕因为局部代数只有一个单模,我们显然有下面的推论 局部代数仅有唯一倾斜模推论 设 是自人射代数,则‘ , 一 ‘。· ‘,, 上的倾斜模只可能为 月“,·‘, , 。 务。·‘ , ·‘, ,,这里, , , 一 八, , , 二在 的通常箭图顶点 。 处有圈 当且仅当 一 八 。 只有唯一倾斜模证 容易看到一模 如果 饭‘ ,由文献吕。· “ ”是 , 的理想,且 一模 蒸。尸·‘, , 。 烈。·‘“· “ , 是一 是投射人射 一模 如果 〔, , 一。推论 ‘,。 力 必是倾斜一模的直和项 我们只要证明 若 是倾斜一模的非投射的不可分解直和项,则存在 ‘ ’,使得 百 , ‘ 设 是某个倾斜 一模的直和项,那么 材 成。所以对于任意 〔, ,材当 饭,时, 石 吞 一 , 吞 , 所以 材 的支撑只能是 , , ,,的子集,因而存在模满同态 艺 舒 ‘ 。,这里 、 是非负整数,它导出一模满同态 习 , ”,另一方面,当 〔‘时,一,即对于任意 〔’ , 一 刁 ,,所以有满同态 习, , ‘,奋饭 ,因为 不可分解,所以存在 〔‘ ,使得 一 ‘,即 衬 一 叮 , 。设在才 的通常箭图的某顶点 处存在圈,我们将证明 仅有唯一倾斜模 由,我们只要证明如果 百 。 铸,则 云 。 根据代数的通常箭图的构造,我们知道存在 烤 〔 才, 尸遨 , 满足 既不可裂满也不可 裂 单 如 果可经过投射分解,这里 是 投 射 模, 〔 通 尸 , , ‘ 〔 , ,则或 可裂单或 花可裂满 显然 设 护 , 戒 是, 的投射盖,那么存在 通, ,使得 一 矛 我们断言 户非可裂满 否则为投射模,从下面交换图今一乙沐‘ 。 。 〕这里 为标准嵌人,从条件,知 。 一 ‘,矛盾 所以 为可裂单,即为 尸的 直 和 项 由于 与 的 投 射 盖 相 同,从 而 是的直和项,故 ,, 今,即 一,铸 由文献 引理,我们有 ‘反过来,假设 只有唯一倾斜模 如果 吓 钾,由 知 吓,科 学 通 报 年卜从而存在某个,使得,,钾 当 饭’时, 一沼 , 所以只可能是 ,,钾,即 , 尸,钾 设 怜〔 , , , , 则 必满射 设 护 ” 是投射 盖, 那 么 存 在 〔一 习,使得 步一。设 是标准嵌人 ”,显然 既非可裂单也非可裂满 如果 可通过投射模分解 盯 一 “,这里 为投射模, , 抓 ,尸 , 〔 , ,。假设 非可裂满,我们断言 , 必可裂单 事实上, 因 , 非可裂满,我们有 二 尸,所以 , 诱导 犷〔 ,,使得 了 一 ,,一 “。这样,从 护一 ,,可知,钾 我们可以提升 ’ 到 〔, , , 使得 脚 一 ’,故矛一 ,’ 一 夕 如果 非满同态,那么 ,,这意味着 , 一 认 夕,故护一 萝一 。,矛盾 所以 , 为满射,因而是同构 这样 可裂单 我们已经证明了 , 是相对不可约映射,即才 的通常箭图在顶点 处存在圈 证毕我们知道,当才 的通常箭图存在 幼 时 , 通 的倾斜模不唯一 这种情况至少有才 与一个一倾斜模 一般的,此结论的逆命题不成立 例如,我们取 才 一 无口了,其中口 不士 十生, , 一 二口, 声,月易见 不是任意人射模的 的直和项 从我们的定理知, 才 的倾斜模不唯一。但是我们有推论 设 为根方为零的代数,则 仅有唯一倾斜模当且仅当 的通常箭图不 存 在幼。证 假设在 的通常箭图中不存在 血。那么,对于任意单模,存在箭向 , ,因为 ,,容易看到 。 是 的直和项 所以定理保证才 仅有唯一倾斜模另一方面是显然的。证毕注 给 出的非 自人射但仅有唯一倾斜模的代数 见文献 〔 】,如下 及口,这里了 口、司、为所有长度为 的路生成的理想 由推论 知 只有唯一倾斜模注 对偶于倾斜模,有余倾斜模的概念 见文献 【, 。在本文的定理与推论中,把投射与人射,顶与底座,与 。 的概念互换,容易得到相应的余倾斜模唯一性的有效判定和相应的推论 另 由推论 知,仅有唯一倾斜模并不等价于汉 仅有唯一余倾斜模致谢 作者感谢导师刘绍学教授的指导,感谢肖杰博士的有益建议。参 考 文 献, · , , 巴 萝 , 行 阴 材 ‘,一, , , 。君。 , 一, ·· ,介 ‘一 , 户 。 , 。,咭 , 盆一心 ,氏第 呼 期 科 学 通 报,刀, 决

倾斜模唯一性的有效判定

http://dspace.xmu.edu.cn/bitstream/handle/2288/6496/1992-4-P289-292-%e5%bd%ad%e8%81%94%e5%88%9a%e3%80%81%e6%9e%97%e4%ba%9a%e5%8d%97--%e5%80%be%e6%96%9c%e6%a8%a1%e5%94%af%e4%b8%80%e6%80%a7%e7%9a%84%e6%9c%89%e6%95%88%e5%88%a4%e5%ae%9a.pdf?sequence=1&isAllowed=y

倾斜模唯一性的有效判定

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