考虑非定常Prandtl 方程组整体弱解的存在性. 引进Crocco 变换,将Prandtl 方程组(1) 、(2) 转化成一个初边值
问题(3) . 通过对问题(3) 的正则化问题作一致估计,类似文Xin2Zhang 或Zhang2Zhao 的方法可证明整体弱解的存在
性. 这改进已有的Prandtl 方程组存在整体BV 弱解的条件.国家自然科学基金(19971070) 资

张剑文

赵俊宁

考虑非定常Prandtl方程组整体弱解的存在性.引进Crocco变换,将Prandtl方程组(1)、(2)转化成一个初边值问题(3).通过对问题(3)的正则化问题作一致估计,类似文Xin Zhang或Zhang Zhao的方法可证明整体弱解的存在性.这改进已有的Prandtl方程组存在整体BV弱解的条件

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第 43 卷 第 5期 厦门大学学报(自然科学版) Vol. 43 No. 52004 年 9月 Journal of Xiamen University (Natural Science) Sep. 2004快 讯 文章编号: 0438 0479( 2004) 05 0585 03关于 Prandtl方程组整体弱解的存在性收稿日期: 2003 11 13基金项目:国家自然科学基金( 19971070)资助作者简介:张剑文( ( 1977- ) ,男, 博士研究生.张剑文,赵俊宁(厦门大学数学科学学院, 福建 厦门 361005)摘要: 考虑非定常 Prandtl方程组整体弱解的存在性.引进 Crocco变换, 将 Prandtl方程组( 1)、( 2)转化成一个初边值问题( 3) . 通过对问题( 3)的正则化问题作一致估计,类似文 Xin Zhang 或 Zhang Zhao 的方法可证明整体弱解的存在性.这改进已有的 Prandtl方程组存在整体 BV 弱解的条件.关键词: Prandtl方程组;整体解; 存在性中图分类号: O 175. 2 文献标识码: A考虑研究非定常边界层问题的 Prandtl方程组ut + uux + vuy = uy y - Px ,ux + vy = 0.(1)u(0, x , y ) = u0( x , y ) , u( t , 0, y ) = u1( t , y ) ,v( t , x , 0) = v0( t , x ) ,u( t , x , 0) = 0, limy  u( t , x , y ) = U( t , x ) .(2)其中( t , x , y ) ! D ∀ {0 < t < T, 0 < x < L , 0 <y <  } , 是粘性常数, P 与 U满足:Px + UUx + Ut = 0.引进 Crocco 变换,= t ,  = x , ! =uU; w ( ,  , !) =uy( t , x , y )U( t , x ).并假设 = 1,则式(1)、(2) 可化为w + !Uw + Aw! + Bw - w2w !! = 0,ww! - v0w + ( U + U- 1U ) = 0, != 0,w (0,  , !) = w 0(  , !) , w ( , 0, !) = w 1( , !) ,w ( ,  , 1) = 0.(3)其中( ,  , !) ! ∀ ∀ {0 < < T , 0 <  < L , 0 <!< 1} ,且A = (1 - !2) U + (1- !) U- 1U ,B = !U + U- 1U .w 0(  , !) ∀u0yU(0, x ) , w 1( , !) ∀u1yU( t , 0) .文献[ 1] 证明了非定常牛顿流及拟可塑流边界层问题局部古典解的存在性;文献[ 2] 在假设(H ) U> 0, U + U- 1U #0; v0 ∃ 0条件下证明了非定常牛顿流边界层问题整体 BV解的存在性; Zhang Zhao的文章 % 在类似文献[ 2] 的假设下证明非定常拟可塑流边界层问题整体 BV 解及可膨胀流边界层问题局部BV解的存在性及惟一性.在上述文章中为了保证问题(3) 的解有所要求的界, 假设(H ) 起到关键作用.在本文中,我们考虑对文献[ 2]和Zhang Zhao的文章%的假设(H ) 进行弱化, 即考虑允许 - Px =UUx + Ut变号的情形.为此,考虑问题(3) 的正则化问题(4) :w + !Uw + Aw! + Bw - ( w2+ #) w !! -#( w 2 + #) w  = 0,ww!- v0w + ( U + U- 1U ) = 0, != 0,w (0,  , !) = w0#(  , !) ,w ( , 0, !) = w 1#( , !) ,w ( , L , !) = w 2#( , !) , w ( ,  , 1) = #.(4)根据抛物方程经典理论[ 3] 可知,问题任何可能存在的解如果有先验的界, 则问题(4) 存在古典解% Zhang Jianwen, Zhao Junning. On the global exilstence anduniqueness of solutions of nonstationary boundary layersystem, to appear.w#.下面将分别对几种情形对 w#作一致估计.引理 1 假设:( i) C- 10 (1 + #- !) ∃ w 0#, w1#, w 2# ∃C0(1 + #- !) ,( ii) v0 ∃ 0, U + U- 1 U 在(0, T ) & (0, L ) 上变号,成立,则问题(4) 的解 w#满足min( v- 10 ( U + U- 1U ) e∃) ∃w# ∃ C (1+ #- !) e% .其中 C, ∃, %是与#无关的正常数.证明 先证明不等式的左端(为了方便起见省略 #) .令 w = we- ∃,则 w 满足:w + !Uw + Aw!+ ( B + ∃) w -(w2+ #) w! ! - #( w2+ #) w  = 0 (5)ww! - v0w + ( U + U- 1U ) e- ∃= 0,!= 0 (6)选取 ∃充分大使得B+ ∃> 0,则由假设( i) , 式(5) 及极值原理可知, w不能在 = 0,  = 0,  = L ,!= 1及 ∀内部取得负的极小.若w 在!= 0取得负的极小,则此时 w! # 0.由式(6) 及( ii) ,在 w 的极小值点有:v0w ∃ ( U + U- 1 U ) e- ∃ ,由此得出w # min( v0- 1( U + U- 1 U ) e∃ ) .现证明不等式的右端,为此令V = C (1+ #- !) e% ,选取 %, C 充分大,则有L ( V) ∀ V + !UV + AV!+ BV -( V2+ #) V! !- #( V2+ #) V  =%C (1+ #- !) e%- ACe%+BC(1 + #- !) e% =Ce%(1+ #- !) ( %-A1 + #- !+ B ) > 0,l ( V) ∀ VV! - v0 V + ( U + U- 1 U ) =- ( Ce%)2(1+ #) - Ce%(1+ #) v0 +( U + U- 1U ) < 0.令 Z = V - w ,则 Z 满足:Z + !UZ + AZ!+ BZ - (w2+ #) Z!! -#( w2+ #) Z  > 0,VZ! + (w! - v0) Z < 0, != 0.再令 Z = Pe- &1 !+ &2 ,则 P 满足:P + !UP + [ 2&1( w2+ #) + A ] P! +[ &2 + B - &1A - &21( w2+ #) ] P -(w2+ #) ( P! !+ #P  ) > 0,VP! - ( &1V - w! + v0) P < 0, != 0.选取 &1( #) , &2( #) 充分大,使得:&1 V - w !+ v 0 > 0, != 0.&2 + B - &1A - &21( w2+ #) > 0.注意到,若 C选取足够大,则 P | = 0, P |  = 0, L,P | != 1 # 0. 因此由极值原理可得到P #0在 ∀中,即有 Z # 0, w# ∃ C(1 + #- !) e% 在 ∀ 中.引理2 假设引理 1的条件成立, 则存在 C , ∃,%> 0,使得当U + U- 1U #- C2 e- 2% ( ∃- 1) + Cv0e- % ,Ce∃ ∃ C0- 1,时,问题(4) 的解 w#满足:w# # Ce∃!- % ( 1+ #- !) ,其中 C0 为引理 1( i) 中的常数.证明 为证明引理 2,令V = C(1 + #- !) e∃!- %,显然V | = 0 ∃ w0#, V |  = 0 ∃ w1#,V |  = L ∃ w 2#, V | != 1 ∃ #.选取 %适当大, ∃> (1+ #)- 1,则L ( V) ∀ V + !UV + AV! + BV -( V2+ #) V!! - #( V2+ #) V  =C (1+ #- !) e∃!- % [- %+ ∃A -A1 + #- !+ B ] - ( V2+ #) [ ∃2(1+#- !) - 2∃] Ce∃!- % ∃C (1+ #- !) e∃!- % {- %+ ∃A -A1 + #- !+ B - [ ∃2(1 + #- !) - 2∃] &V2+ #1 + #- !} < 0,l ( V ) | != 0 ∀ VV!- v 0V + ( U + U- 1 U ) =(1+ #) ( Ce- % ) 2[ ∃(1+ #) - 1] -v0 C(1+ #) e- %+ ( U + U- 1U ) > 0 (7)令 Z = V - w ,则有Z + !UZ + AZ! + [ B - (w + V) Vm ] Z -(w2+ #) ( Z! !+ #Z  ) < 0,l ( V ) - l( w ) = VZ!+ ( w!- v 0) Z > 0, != 0.类似引理1的证明即可证明 Z ∃ 0.因此,w # Ce∃!- % (1 + #- !) .586 厦门大学学报(自然科学版) 2004年引理 3 假设引理 1中的条件( i) 成立, U +U- 1U > 0且允许 v0变号,则问题(4) 的解w#满足:C- 1( T) (1+ #- !) ∃ w# ∃ C(T ) (1+ #- !) .证明 只需注意到在下界估计中,当 v0 变号,U + U- 1U > 0时,若选取 C > 0充分小,则仍然有式(7) 成立.因此类似引理1, 2的证明可证明引理3.利用引理2, 3类似Zhang Zhao的文章%的证明,得到:定理 1 在引理2, 3的假设下,问题(3) 存在惟一的整体 BV 弱解.参考文献:[ 1] Oleinik O A, Samokhin V N .M athematical Models in Boundary Layer Theory[ M] .USA: Chapman and Hall/ CRC, 1999.[ 2] Xin Z, Zhang L. On the global ex istence of solutions to thePrandtl∋ s system [ J] . Adv . in Mathematics, 2004, 181: 88 -133.[ 3] Lady znskaja O A, Solonnikov V A, Uralceva N N. Linearand Quasilinear Equations of Parabolic Type[M ] . USA: American Mathematical Society providence, rhode island, 1969.On the Global Existence of Weak Solutions tothe Prandtl∋ s SystemZHANG Jian wen, ZHAO Jun ning( School of Mathematical Science, Xiamen Univ. , Xiamen 361005, China)Abstract: In this paper, we consider the global existence of weak solut ions to the non stat ionary Prandtl∋ s system ( 1)、(2) . However, we consider the initial boundary problem ( 3) instead of the Prandtl∋ s system via Crocco transformationand obtain some uniform estimates of the solutions to the regularized problem of ( 3) under some assumptions. Similar tothe argument in the paper by Xin Zhang or the paper by Zhang Zhao, we can prove the global existence of weak solutionsand the conditions for the global existence have been improved.Key words: Prandtl∋ s system; global solution; existence587第 5期 张剑文等:关于 Prandtl方程组整体弱解的存在性

关于Prandtl方程组整体弱解的存在性

第 43 卷 　第 5 期 厦门大学学报 (自然科学版) Vol. 43 　No. 5　2004 年 9 月 Journal of Xiamen University (Natural Science) Sep. 2004 　·快　讯· 文章编号 :043820479 (2004) 0520585203关于 Prandtl 方程组整体弱解的存在性收稿日期 :2003211213基金项目 :国家自然科学基金 (19971070)资助作者简介 :张剑文 ( (1977 - ) ,男 ,博士研究生.张剑文 ,赵俊宁(厦门大学数学科学学院 ,福建 厦门 361005)摘要 : 考虑非定常 Prandtl 方程组整体弱解的存在性. 引进 Crocco 变换 ,将 Prandtl 方程组 (1) 、(2) 转化成一个初边值问题 (3) . 通过对问题 (3) 的正则化问题作一致估计 ,类似文 Xin2Zhang 或 Zhang2Zhao 的方法可证明整体弱解的存在性. 这改进已有的 Prandtl 方程组存在整体 BV 弱解的条件.关键词 : Prandtl 方程组 ;整体解 ;存在性中图分类号 : O 175. 2 文献标识码 :A 　　　　　　　　　　　　　　　　　考虑研究非定常边界层问题的 Prandtl 方程组ut + uux + vuy = νuy y - Px ,ux + vy = 0.(1)u (0 , x , y) = u0 ( x , y) , u ( t ,0 , y) = u1 ( t , y) ,　v ( t , x ,0) = v0 ( t , x) ,u ( t , x ,0) = 0 , limy ϖ ∞u ( t , x , y) = U ( t , x) .(2)其中 ( t , x , y) ∈D ≡{ 0 < t < T ,0 < x < L ,0 <y < ∞} ,ν是粘性常数 , P 与 U 满足 :Px + UUx + Ut = 0.引进 Crocco 变换 ,τ = t ,ξ = x ,η = uU; w (τ,ξ,η) =uy ( t , x , y)U ( t , x).并假设ν = 1 ,则式 (1) 、(2) 可化为wτ +ηUwξ + Awη + Bw - w2 wηη = 0 ,wwη - v0 w + ( Uξ + U- 1 Uτ) = 0 ,η = 0 ,w (0 ,ξ,η) = w0 (ξ,η) , w (τ,0 ,η) = w1 (τ,η) ,w (τ,ξ,1) = 0.(3)其中 (τ,ξ,η) ∈Ω ≡{ 0 < τ < T ,0 < ξ < L ,0 <η < 1} ,且A = (1 - η2) Uξ + (1 - η) U - 1 Uτ,B = ηUξ + U - 1 Uτ.w0 (ξ,η) ≡u0 yU (0 , x), w1 (τ,η) ≡u1 yU ( t ,0).文献[1 ] 证明了非定常牛顿流及拟可塑流边界层问题局部古典解的存在性 ;文献[2 ] 在假设 ( H) U> 0 , Uξ+ U - 1 Uτ ≥0 ; v0 ≤0条件下证明了非定常牛顿流边界层问题整体 BV 解的存在性 ; Zhang2Zhao 的文章①在类似文献[2 ] 的假设下证明非定常拟可塑流边界层问题整体 BV 解及可膨胀流边界层问题局部BV 解的存在性及惟一性. 在上述文章中为了保证问题 (3) 的解有所要求的界 , 假设 ( H) 起到关键作用.在本文中 ,我们考虑对文献[2 ]和 Zhang2Zhao的文章①的假设 ( H) 进行弱化 , 即考虑允许 - Px =UUx + Ut 变号的情形.为此 ,考虑问题 (3) 的正则化问题 (4) :wτ +ηUwξ + Awη + Bw - ( w2 +ε) wηη -　ε( w2 +ε) wξξ = 0 ,wwη - v0 w + ( Uξ + U- 1 Uτ) = 0 ,η = 0 ,w (0 ,ξ,η) = w0ε(ξ,η) ,w (τ,0 ,η) = w1ε(τ,η) ,w (τ, L ,η) = w2ε(τ,η) , w (τ,ξ,1) = ε.(4)根据抛物方程经典理论[3 ] 可知 ,问题任何可能存在的解如果有先验的界 , 则问题 (4) 存在古典解① Zhang Jianwen ,Zhao Junning. On the global exilstence anduniqueness of solutions of nonstationary boundary layersystem ,to appear.wε.　　下面将分别对几种情形对 wε作一致估计.引理 1 　假设 :(i) C - 10 (1 +ε - η) ≤w0ε, w1ε, w2ε ≤C0 (1 +ε - η) ,(ii) v0 ≤0 , Uξ + U- 1 Uτ在 (0 , T) ×(0 , L ) 上变号 ,成立 ,则问题 (4) 的解 wε满足min ( v - 10 ( Uξ + U- 1 Uτ) eατ) ≤　wε ≤ C(1 +ε - η) eβτ.其中 C ,α,β是与ε无关的正常数.证明 　先证明不等式的左端 (为了方便起见省略ε) . 令 w = we -ατ,则 w 满足 :wτ +ηUwξ + Awη + ( B +α) w -　( w2 +ε) wηη - ε( w2 +ε) wξξ = 0 (5)wwη - v0 w + ( Uξ + U- 1 Uτ) e-ατ = 0 ,　η = 0 (6)选取α充分大使得 B +α > 0 ,则由假设 (i) ,式(5) 及极值原理可知 , w 不能在τ = 0 ,ξ= 0 ,ξ= L ,η = 1及Ω内部取得负的极小. 若 w 在η = 0取得负的极小 ,则此时 wη ≥0. 由式 (6) 及 (ii) ,在 w 的极小值点有 :v0 w ≤ ( Uξ + U- 1 Uτ) e-ατ,由此得出w ≥min ( v0- 1 ( Uξ + U- 1 Uτ) eατ) .现证明不等式的右端 ,为此令V = C (1 +ε - η) eβτ,选取β, C 充分大 ,则有L ( V) ≡Vτ +ηUVξ + AVη + BV -　( V2 +ε) Vηη - ε( V2 +ε) Vξξ =　βC (1 +ε - η) eβτ - ACeβτ +　BC (1 +ε - η) eβτ =　Ceβτ(1 +ε - η) (β - A1 +ε - η + B) > 0 ,l ( V) ≡VVη - v0 V + ( Uξ + U- 1 Uτ) =　 - ( Ceβτ) 2 (1 +ε) - Ceβτ(1 +ε) v0 +　( Uξ + U - 1 Uτ) < 0.令 Z = V - w ,则 Z 满足 :Zτ +ηUZξ + A Zη + B Z - ( w2 +ε) Zηη -　ε( w2 +ε) Zξξ > 0 ,V Zη + ( wη - v0) Z < 0 ,η = 0.再令 Z = Pe -γ1η+γ2τ,则 P 满足 :Pτ +ηUPξ + [2γ1 ( w2 +ε) + A ] Pη +　[γ2 + B - γ1 A - γ21 ( w2 +ε) ] P -　( w2 +ε) ( Pηη +εPξξ) > 0 ,V Pη - (γ1 V - wη + v0) P < 0 ,η = 0.选取γ1 (ε) ,γ2 (ε) 充分大 ,使得 :γ1 V - wη + v0 > 0 ,η = 0.γ2 + B - γ1 A - γ21 ( w2 +ε) > 0.注意到 ,若 C 选取足够大 ,则 P |τ= 0 , P |ξ= 0 , L ,P | η= 1 ≥0. 因此由极值原理可得到 P ≥0在Ω中 ,即有 Z ≥0 , wε ≤ C(1 +ε - η) eβτ在Ω中.引理 2 　假设引理 1 的条件成立 ,则存在 C ,α,β > 0 ,使得当Uξ + U- 1 Uτ ≥- C2 e - 2βτ(α - 1) + Cv0 e-βτ,Ceα ≤ C0- 1 ,时 ,问题 (4) 的解 wε满足 :wε ≥ Ceαη-βτ(1 +ε - η) ,其中 C0 为引理 1 (i) 中的常数.证明 　为证明引理 2 ,令V = C (1 +ε - η) eαη-βτ,显然V |τ= 0 ≤w0ε, V |ξ=0 ≤w1ε,V |ξ= L ≤w2ε, V | η=1 ≤ε.选取β适当大 ,α > (1 +ε) - 1 ,则L ( V) ≡Vτ +ηUVξ + AVη + BV -　( V2 +ε) Vηη - ε( V2 +ε) Vξξ =　C (1 +ε - η) eαη-βτ[ - β+αA -　 A1 +ε - η + B ] -( V2 +ε) [α2 (1 +　ε - η) - 2α] Ceαη-βτ ≤　C (1 +ε - η) eαη-βτ{ - β+αA -　 A1 +ε - η + B - [α2 (1 +ε - η) - 2α] ×　 V2 +ε1 +ε - η} < 0 ,l ( V) | η= 0 ≡VVη - v0 V + ( Uξ + U- 1 Uτ) =　(1 +ε) ( Ce -βτ) 2[α(1 +ε) - 1 ] -　v0 C (1 +ε) e-βτ + ( Uξ + U- 1 Uτ) > 0 (7)令 Z = V - w ,则有Zτ +ηUZξ + A Zη + [ B - ( w + V) Vm ] Z -　( w2 +ε) ( Zηη +εZξξ) < 0 ,l ( V) - l ( w) = V Zη + ( wη - v0) Z > 0 ,η = 0.类似引理 1 的证明即可证明 Z ≤0. 因此 ,w ≥ Ceαη-βτ(1 +ε - η) .·685· 厦门大学学报 (自然科学版) 　　　　　　　　　 　　　　　　　　2004 年引理 3 　假设引理 1 中的条件 (i) 成立 , Uξ +U - 1 Uτ > 0且允许 v0 变号 ,则问题 (4) 的解 wε满足 :C - 1 ( T) (1 +ε- η) ≤wε ≤C ( T) (1 +ε- η) .证明 　只需注意到在下界估计中 ,当 v0 变号 ,Uξ + U- 1 Uτ > 0时 ,若选取 C > 0充分小 ,则仍然有式 (7) 成立. 因此类似引理1 ,2的证明可证明引理3.利用引理2 ,3类似 Zhang2Zhao的文章①的证明 ,得到 :定理 1 　在引理 2 ,3 的假设下 ,问题 (3) 存在惟一的整体 BV 弱解.参考文献 :[1 ] 　Oleinik O A ,Samokhin V N. Mathematical Models in Bound2ary Layer Theory[M]. USA :Chapman and Hall/ CRC ,1999.[2 ] 　Xin Z , Zhang L. On the global existence of solutions to thePrandtl’s system[J ] . Adv. in Mathematics ,2004 ,181 : 88 -133.[3 ] 　Lady θznskaja O A , Solonnikov V A ,Uralceva N N. Linearand Quasilinear Equations of Parabolic Type[M]. USA :Amer2ican Mathematical Society providence ,rhode island ,1969.On the Global Existence of Weak Solutions tothe Prandtl’s SystemZHANGJian2wen ,ZHAO Jun2ning(School of Mathematical Science ,Xiamen Univ. ,Xiamen 361005 ,China)Abstract :In this paper , we consider the global existence of weak solutions to the non2stationary Prandtl’s system (1) 、(2) . However ,we consider the initial2boundary problem (3) instead of the Prandtl’s system via Crocco transformationand obtain some uniform estimates of the solutions to the regularized problem of (3) under some assumptions. Similar tothe argument in the paper by Xin2Zhang or the paper by Zhang2Zhao ,we can prove the global existence of weak solutionsand the conditions for the global existence have been improved.Key words : Prandtl’s system ;global solution ;existence·785·第 5 期 　　　　　　　　　　 　　　张剑文等 :关于 Prandtl 方程组整体弱解的存在性

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