文献[ 4] 给出Catmull-Clar k 细分曲面控制网格的收敛速率和一个误差计算公式. 本
文在这基础上提出一个新的算法, 并借助此新算法得到关于Catmull-Clar k 细分曲面控制网络的收
敛速率的更精确的估计和给出更好的误差计算公式国家自然科学基金计划( 10571145) 资

古达·维

曾晓明

连博勇

陈旭

Xiamen University Institutional Repository

总 40 卷　第 4 期2007 年 12 月数　学　研　究Journal of M athematical StudyV ol. 40　N o. 4D ec. 2007Catmull-Clark曲面控制网格的收敛性质陈　旭1　　曾晓明1　　连博勇1　　古达·维2( 1. 厦门大学数学科学学院, 福建 厦门 361005; 2. 内达吉技术学院应用科学所, 印度 新德里 110075)摘　要　文献 [ 4]给出 Catmull-Clar k 细分曲面控制网格的收敛速率和一个误差计算公式. 本文在这基础上提出一个新的算法,并借助此新算法得到关于 Catmull-Clar k 细分曲面控制网络的收敛速率的更精确的估计和给出更好的误差计算公式.关键词　Catmull-Clark 曲面; 控制网格; 细分曲面; 收敛速度中图分类号　O T P 391　　　　文献标识码　A1　引　　言从 1978年 Catm ull-Clark 细分曲面产生至今, 经历了二十多年的发展, 细分曲面方法在理论研究方面已取得不少成果. Catm ull-Clark 曲面是一种逼近形式的细分曲面框架, 因此一个重要的问题是研究其控制网格的收敛速率以及极限曲面产生过程的误差估计. 文献[ 4]利用相邻点的概念和一阶差分给出了这方面研究的初步结果. 本文在文献[ 4]基础上提出新的算法,并借助此算法得到关于 Catmull-Clark细分曲面控制网格的收敛速率的更精确的估计和给出更好的误差计算公式.2　定义和记号假设控制网格已经过至少两次细分,其奇异点是孤立的. 记∏( 0)= {P ( 0)i 1 i 2N +8} 为 Catm ull-Clark 曲面片 S( u, v ) , 0 u 1, 0 v 1的初始控制网格(假定曲面片按Stam[ 2] 的方法参数化) , 如图1所示, 其中P1 是一个度数为N 的奇异点. 经过一次细分后,得到一组新的控制顶点,它们构成一个新的控制网格,记为∏( 1)= { P ( 1)i 1 i 2N + 17} , 如图 2所示. 记细分 n次后形成的控制网格为∏( n)= {P ( n)i 1 i 2N + 17} .下面引入相邻点的概念.定义 1　在控制网格∏( n)内, 若某个小空间四边形以 P( n)i 为其一个顶点,则此四边形其它顶点称为 P ( n)i 的相邻点.如图 1, P ( 0)1 的相邻点为 P ( 0)2 , P ( 0)3 , ⋯, P ( 0)2N + 1 .收稿日期: 2006- 10- 31基金项目: 国家自然科学基金计划( 10571145)资助定义 2　在第 n层控制网格∏( n)中, 令△( n)= max{‖P( n)i - P( n)ij ‖, 其中 P( n)ij 是 P(n)i 的相邻点} ,其中‖ ‖是三维欧氏空间 R3 中的距离范数.在下文中,为方便起见,将 P0i 简写为 Pi, 并将△( 0) 简写为△.图 1　细分前的控制网格　　　　　　图 2　细分后的控制网格3　定理及证明本节给出本文主要结果及其证明. 注意到按 Stam [ 2] 关于控制顶点的排列顺序, 每次细分后,图 2中左上角的控制子网格(即由点 Pi, 1 i 2N + 1组成的控制子网格) 具有相同的拓扑结构(参见文献[ 2] , P397) . 关于这些子网格的关系,本文证得如下结论:定理 1　对于第 2n层控制网格∏( 2n ), 有如下估计:△ ( 2n) M ( N ) n△,这里M ( N ) =65256,　　　　　N = 369256,　　　　　N = 48N3+ 39N2- 280N + 22016N3 ,　N 5　　证明　含奇异点的子控制网格 (∏( 1)1 = {P( 1 )i 1 i 2N + 8} ) 的顶点组成的向量C1可以由细分矩阵A 乘以细分前控制网格(∏( 0))的顶点组成的向量C0得到. 而初始网格(∏( 0))细分后得到的控制网格(∏( 1)) 的顶点组成的向量(参见图[ 2] ) C-1 则可以由增广细分矩阵 A-乘以∏( 0)的顶点组成的向量 C0 得到:C1 = A C0 ,　　C-1 = A-C0 ,CT0 = ( P1, P2 ,⋯, P 2N + 8,·387·第 4期　　　　　　　　陈　旭等: Catmull-Clar k 曲面控制网格的收敛性质CT1 = ( P( 1)1 , P( 1)2 ,⋯, P( 1)2N + 8,C-T1 = ( P ( 1)1 , P ( 1)2 ,⋯, P ( 1)2N + 17.　　关于细分矩阵 A 和它的增广矩阵A- 的具体形式, 参见 Stam [ 2] .要证明定理, 显然只需证有△( 2) ≤ M ( N )△　　根据C1 = A C0,显然有 C2 = A 2C0.直接计算得, 当 N = 3时,△( 2)≤65256△;当 N = 4时,△( 2)≤69256△;下面详细考虑当 N ≥ 5时,如图 1所示, 计算可得:P( 2)1 = 16N2- 46N + 4916N2 P1 +19N - 218N3 P 2 +8N - 716N3 P3 + ⋯ +19N - 218N3 P2N　 +8N - 716N 3P2N + 1 ;P( 2)2 =19N - 2132NP1 +23N 2 + 72128N 2P 2 +11N 2 + 24256N 2P 3 +N2 + 916N 2P4 +N2 + 24256N 2P5　 +N2 + 144256N 2P 6 +332N 2P 7 +916N 2P 8 + ⋯ +9N16N 2P 2N - 4 +332N 2P 2N - 3　 +N2 + 144256N 2P 2N - 2 +N2 + 2464N 2P2N - 1 +N2 + 916N 2P2N +11N 2 + 24256N 2P2N + 1 ;P( 2)3 =8N - 716NP1 +11N 2 + 2464N 2P2 +3N 2 + 232N 2P 3 +11N 2 + 2464N 2P4 +N2 + 464N 2P5　 +N2 + 2464N 2P6 +116N 2P7 +38N 2P8 + ⋯ +38N 2P2N - 2 +116N 2P2N - 1　 +N2 + 2462N2 P2N +N2 + 464N2 P2N + 1.则有:64N3( P( 2)1 - P( 2)3 ) = ( 32N3- N aN - N bN ) P 1 - ( 11N3- aN ) P2　 - ( 6N 3 - bN ) P3 - ( 11N 3 - aN ) P4 - ( N 3 - bN ) P5　 - ( N3- aN ) P6 + bNP 7 + aNP8⋯ + aNP2N - 2　 + bNP2N - 1 - ( N 3 - aN ) P 2N - ( N 3 - bN ) P 2N + 1,其中aN = 128N - 168, bN = 26N - 28.令 64N3( P( 2)1 - P( 2)3 ) = H 1 + H 2, 其中:H 1= [ 8N3- ( N - 6) aN - ( N - 2) bN ] P1 - ( 6N3- bN ) P 3 - ( N3- bN ) P5　 - ( N 3 - bN ) P2N + 1 + bNP 9 + aNP10 + ⋯ + aN P2N - 4 + bNP2N - 3 ;H 2= ( 24N3- 6aN - 2bN ) P1 - ( 11N3- aN ) P2 - ( 11N3- aN ) P 4　 - ( N 3 - aN ) P 6 + bN P7 + aNP 8 + aN P2N - 2 + bNP2N - 1　 - ( N3- aN ) P 2N .则有:·388· 数学研究 2007 年H 1= ( 6N3- bN ) ( P 1 - P3) + ( N3- bN ) ( P1 - P 5)　 + ( N 3 - bN ) ( P1 - P2N + 1) + bN ( P 9 - P1) + aN ( P10 - P1 )　 + ⋯ + aN ( P2N - 4 - P1) + bN ( P 2N - 3 - P1)≤ [ 8N 3 + ( N - 6) aN + ( N - 8) bN ]△.当 5≤ N ≤ 10时, P6 和 P2N 的系数 - ( N 3 - aN ) 是正数, 则有:H 2= - ( N3- aN ) ( P6 - P4 ) - ( N3- aN ) ( P2N - P2 )　 + ( 12N 3 - 2aN ) ( P1 - P 2) + ( 12N 3 - 2aN ) ( P1 - P4 )　 + bN ( P 7 - P1) + aN ( P8 - P1 ) + aN ( P2N - 2 - P 1)　 + bN ( P 2N - 1 - P1 )≤ ( 22N 3 + 2bN )△;当 N ≥ 11时, P6 和 P2N 的系数 - ( N3- aN ) 是负数, 则有:H 2 = ( 11N 3 - aN ) ( P1 - P 2) + ( 11N 3 - aN ) ( P1 - P4 ) + K ,其中K = ( 2N 3 - 4aN - 2bN ) P1 - ( N 3 - aN ) P6 - ( N 3 - cN ) P 2N　 + bN P7 + aNP8 + aN P2N - 2 + bNP2N - 1≤( 2aN + 2bN )△, 　　11≤ N ≤ 16,( 2N 3 - 2aN )△,　　　　N ≥ 17.则有:H 2 ≤( 22N3+ 2bN )△,　　11≤ N ≤ 16,( 22N 3 - 4aN )△,　　　　N ≥ 17.于是就有:‖P ( 2)1 - P ( 2)3 ‖≤164N 3‖H 1 + H 2‖≤8N 3 + 39N 2 - 280N + 22016N 3△, 　N ≥ 5.　　直接计算可得,‖P ( 2)1 - P ( 2)2 ‖≤ ‖P ( 2)1 - P ( 2)3 ‖同理可得,‖P( 2)1 - P( 2)i ‖≤8N3+ 39N2- 280N + 22016N3 △,　N ≥ 5,这里 3≤ i≤ 2N + 1.下面再考虑‖P ( 2)i - P ( 2)ij ‖, 这里 2≤ i≤ 2N + 8, P ( 2)ij 是 P ( 2)i 的所有相邻点.若 P( 2)ij = P( 2)1 , 那么同以上的结论一样.若 P ( 2)ij ≠ P ( 2)1 , 则结合文章[ 4] 中的结论, 显然有:‖P ( 2)i - P ( 2)ij ‖≤916‖P ( 1)i - P ( 1)ij ‖≤9163N 2 + 7N - 404N 2△.即证明了当 N ≥ 5时,△( 2) ≤8N 3 + 39N 2 - 280N + 22016N 3△.·389·第 4期　　　　　　　　陈　旭等: Catmull-Clar k 曲面控制网格的收敛性质　　至此,定理证毕.利用定理 1和细分曲面的凸包性质,我们有如下定理:定理 2　设n为细分次数, > 0,要使得第n层控制网格∏( n)与极限曲面S( u, v ) 的距离 dn≤ , 只要:n≥ 2logM ( N ) - 1 7△2.　　证明　对于第 2n层控制网格, 以 P (n)0 =14( P ( n)1 + P ( n)4 + P ( n)5 + P ( n)6 ) 为球心, 以74M ( N )n△为半径作一个球,则第2n层控制网格完全被包含在这个球内. 根据细分曲面的凸包性质,显然极限曲面也在这个球内. 则第 2n层控制网格到极限曲面的距离不会超过球的直径72M ( N ) n△. 要使得第 n 层控制网格∏( n)与极限曲面 S( u, v ) 的距离 dn ≤ , 只要72M ( N )n2 △ ≤ , 就有:n≥ 2logM ( N ) - 17△2.　　下面是应用定理 2的一个实例. 图 3至图 6分别是 N = 3时的初始网格, 细分一次的网格,细分四次的网格以及极限曲面. 设对细分两次后的网格取 △ = 1, 要求最大误差不超过0. 01. 则由定理 2的计算公式得到 n = 9,这时控制网格到极限曲面距离的最大误差不超过0. 00733.图 3　 原始的控制网格 　　　　　　　　　　图 4　细分一次后的控制网格图 5　细分四次后的控制网格　　　　　　　　　　图 6　极限曲面　　　　·390· 数学研究 2007 年参　考　文　献[ 1]　Catmull E, Clark J. Recursively g enerated B -spline sur faces on arbitrar y topolog ical m eshes. ComputerA ided Design. 1978, 10( 6) : 350- 355.[ 2]　Jos Stam . Ex act evaluatio n of Catmull-Clark subdivision sur faces at arbitrar y param eter values. I n Pr o-ceedings o f SIGGR A PH 98[ C] , 1998, 395- 400.[ 3]　Halstead M , K ass M , DeRose Efficient T . F air Inter polat ion U sing Catmull-Clark surfaces. In Pr oceed-ings of SIGG RA PH 93[ C] , 1993, 35- 44. Addison-Wesley Publishing co mpany, A ug ust 1993.[ 4]　杨军,曾晓明. Catmull-Clark 细分曲面的误差分析. 厦门大学学报(自然科学版) , 2004, 43( 1) : 1- 3.Convergence Property of Control Meshes ofCatmull-Clark SurfacesChen Xu1　　Zeng X iaoming1　　Lian Boy ong1　　V ij ay Gup ta2( 1. Department of M athematics, Xiamen U niver sity , X iamen 3610052. School of A pplied Sciences, N etaji Subhas Institute of T echno log y, N ew Delhi 110075, India)Abstract　A rticle [ 4] g ave t he co nv ergence rate of contr ol meshes of Catmull-Clark subdiv isio n surfacesand a computatio nal for mula for erro r estimate. In this paper, w e pr esent a new algor ithm. By means of thisnew algor ithm we obtain a mo re precise estimate of conv er gence rate of contr ol meshes of Catmull-Clark subdiv i-sio n sur faces and a better comput ational for mula for err or estimate.Key words　Catmull-Clar k surfaces; contro l meshes; subdivision sur faces; conv erg ence rate·391·第 4期　　　　　　　　陈　旭等: Catmull-Clar k 曲面控制网格的收敛性质

Catmull-Clark 曲面控制网格的收敛性质

http://dspace.xmu.edu.cn/bitstream/handle/2288/6534/Catmull_Clark%e6%9b%b2%e9%9d%a2%e6%8e%a7%e5%88%b6%e7%bd%91%e6%a0%bc%e7%9a%84%e6%94%b6%e6%95%9b%e6%80%a7%e8%b4%a8.pdf?sequence=2&isAllowed=y

Catmull-Clark 曲面控制网格的收敛性质

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Xiamen University Institutional Repository