考虑非定常的Prandtl 方程U( t, x ) = x mU1( t, x ) , 且m>=1,0<=x< L 的特殊情况, 在本文的条件下, 所研究的方程
具有奇性. 首先利用Crocco 变换把Prandtl 方程变换成一个关于w 的方程, 然后将其正则化, 借助于正则化以后的方程得
到w ( 正则化后方程的解) 及其各种一阶导数的估计. 利用得到的各种估计通过取极限得到了Cr occo 变换后方程解的存
在惟一性. 最后返回边界层, 得到Prandtl 方程全局解的存在惟一性

徐新英

赵俊宁

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第 45 卷 第 3 期 厦门大学学报(自然科学版) Vol. 45 No. 32006 年 5 月 Journal of Xiamen U niversity ( Natural Science) May 2006研究简报Prandt l方程整体解的存在惟一性收稿日期: 2005 06 29作者简介:徐新英( 1977- ) ,女,博士研究生.* 通讯作者: Jn zhao@ xmu. edu. cn徐新英,赵俊宁*(厦门大学数学科学学院,福建 厦门 361005)摘要: 考虑非定常的 Prandtl方程 U( t, x ) = x mU 1( t, x ) , 且 m 1, 0 ! x< L 的特殊情况,在本文的条件下,所研究的方程具有奇性.首先利用 Crocco变换把 Prandtl方程变换成一个关于 w 的方程,然后将其正则化,借助于正则化以后的方程得到 w (正则化后方程的解)及其各种一阶导数的估计. 利用得到的各种估计通过取极限得到了 Crocco 变换后方程解的存在惟一性.最后返回边界层, 得到 P randtl方程全局解的存在惟一性.关键词: Prandtl方程;整体解中图分类号: O 175 文献标识码: A 文章编号: 0438 0479( 2006) 03 0436 031 主要结论考虑下列非定常的 Prandtl方程:ut + uu x + vuy = uyy + Ut + UU xux + v y = 0(1)在区域 D = {0 < t < T , 0 < x < L, 0 < y < ∀ } 上的初边值条件为:u( 0, x , y) = u0( x , y ) , u( t , 0, y ) = 0v( t , x , 0) = v 0( t, x ) , u( t, x , 0) = 0limy # ∀u( t, x , y ) = U = xmU 1( t , x )(2)这里 m  1, U1( t, x ) > 0, UU x + U t  0, v 0( t , x ) !0[ 1] .应用 Crocco 变换:= t,  = x , !=uU, w ( ,  , !) =uyU(3)则问题(1) ~ ( 2) 被变成下列边界层问题:w + !Uw  + Aw !+ Bw - w 2w !! = 0,在 ∀T 上(4)w (0,  , !) = w 0( , !) =u0yU( 0, x ), w ( ,  , 1) = 0(5)ww !- v 0w + ( U +UU) = 0,当 != 0 (6)其中 ∀T = { ( ,  , !) | 0 < < T , 0 <  < L , 0 < !<1} ,A = (1 - !2 )U + (1 - !)UU, B = !U +UU(7)现在定义式(4) ~ ( 6) 的弱解.设sgn#s =∃s0h#( )d (8)这里 #> 0, h#( s) = 2#(1 - | s |#) + . 显然 h#( s) %C( R) , h#( s)  0; | sh#( s) | ! 1, | sgn#s | ! 1; lim## 0sgn#s= sgns, lim## 0sh#( s) = 0.本文中X = ( ,  , !) , dX = d d!d , ∀T = ( 0, L ) &(0, 1) & (0, T ) , ∀0 = (0, L ) & ( 0, 1) , ∀1 = (0, L) &(0, T ) , ∀2 = ( 0, 1) & (0, T ) .定义 1 称 w 是式 ( 4) ~ (6) 弱解, 若 w %BV( ∀T ) ∋ L ∀ ( ∀T ) 且满足下列条件:( i) w ! % L 2( ∀T ) 并且存在非负常数 C 满足C- 1(1 - !) ! w ! C(1 - !) , ( ,  , !) % ∀T(9)( ii) 对任意的 ∃% C20( ∀T ) , ∃ 0, V = w- 1满足下面的积分不等式:∃∀T I #( V - k) { ∃ + (!U∃)  + (A∃) !}dX +∃∀T B sgn#( V - k) V∃dX -∃∀T V- 2V2!sgn(#( V - k) ∃+∃∀T G #( V , k) ∃!!dX  0 (10)其中I#( s) =∃s0sgn# d ,G#( V , k) =∃Vks- 2sgn#( s - k)ds.sgn#s =∃s0h#( )d , #> 0;h#( s) =2#( 1- | s |#) + .( iii) 在迹的意义下满足初边值条件.定义 2 函数 u( t, x , y ) , v( t , x , y ) 称为非定常边界层问题(1) ~ (2) 的解,如果 u( t, x , y )、v ( t, x , y ) 满足以下条件:( i) u % L ∀ (D) ∋ BV( D) , uy % L ∀ (D) ∋BV(D) , uyy % L 2(D) ;( ii) 存在一个常数 C > 0满足C- 1U( x , t) (1 - u( t, x , y )U( t, x )) ! uy ( t, x , y ) !CU( x , t ) (1 - u( t, x , y )U( t, x )) ;( iii) 设 = t,  = x , != uU, w ( ,  , !) =uyU, 则w ( ,  , !) 是方程(4) ~ (6) 在定义 1意义下的解;( iv) v( t, x , y ) 是 D中的一个正规测度,满足∃D [ uyy∃+ u∃t + u22∃x + (UU x + U t ) ∃-vuy∃] dtdxdy = 0, ∃% C10( D) .注 如果 w , w  % L 2( ∀T ) ,那么对几乎处处( t ,x , y ) % D, ut , ux , v , v y % L 2(D) 且 u, v 满足方程(1) .定理 1 假设 U( ,  ) , w 0( , !) , v 0( ,  ) 充分光滑,U1( ,  ) > 0, U + UU  0, v 0( ,  ) ! 0;并且存在非负常数 C0 使得C- 10 (1 - !) ! w 0 ( , !) , w 1( , !) ! C0 (1- !)(11)则式(4) ~ (6) 存在弱解w % BV( ∀T ) ∋ L ∀ ( ∀T ) [ 2] .定理 2 方程( 4) ~ (6) 的解惟一.定理 3 假设U( t , x ) , v 0( t , x ) , u0 ( x , y ) , u1( t, y )充分光滑且满足下面的条件:U1( t, x ) > 0, UU x + U t  0, v 0 ( t, x ) ! 0;C- 1(1 -u0 ( x , y )U(0, x )) ! u0y ( x , y )U(0, x )!C(1 -u0 ( x , y )U(0, x )) ;C- 1(1-u1( t, y )U( t, 0)) ! u1y ( t, y )U( t , 0)! C(1- u1 ( t, y )U( t , 0)) .则问题(1) ~ ( 2) 存在定义 2意义下的惟一弱解.2 定理 1的证明为了得到问题(4) ~ (6) 的解, 我们首先是把式(4) ~ (6) 正则化,然后取正则化以后的解 w 的极限作为原问题的解. 为了证明 w 的紧致性, 我们需要对w 及其导数进行一些估计.考虑式(4) ~ ( 6) 正则化以后的问题:w + !Uw  + Aw !+ Bw - %2( w )w !! -%2( w )w   = 0,在 ∀T 上 (12)w (0,  , !) = w 0 ( , !) , w ( , 0, !) = w 1 ( , !) ,w ( , L, !) = w 2 ( , !) , w ( ,  , 1) = (13)%( w ) w !- v 0 % ( w ) + ( U +UU) = 0,当 != 0(14)其中 A , B 的表达式见式(7) , w 0 , w 1 , w 2 充分光滑且w 0 # w 0w 0 | != 1 = w1 | != 1 = w 2 | != 1 =C- 10 (1 + - !) ! w 0 , w 1 , w 2 ! C0(1 + - !)(15)% ( w ) =w , 当 w  &&2, 当 w ! 0(16)假设 % ( s) % C1( R ) , 0 ! %( ( s) ! 1, &> 0.众所周知式 (12) ~ (14) 存在惟一解 w %C2( ∀T ) ∋ C3( ∀T ) [ 8] .由强极值原理可得w  C ,这里常数 C 与 无关.在式(16) 选 &= C, 那么式(12) 和(14) 可变为:w + !Uw  + Aw !+ Bw - w 2w !! - w 2 w !! = 0,在 ∀T 上 (17)ww !- v 0w + ( U +UU) = 0,当 != 0 (18)为了证明 w 的紧致性,我们需要下面的估计.引理 1 问题( 17)、(18)、(13) 的解 w 满足C- 11 (1 + - !) ! w ! C1( 1+ - !) .引理 2 V = w- 1,它满足∃∀T ( +12 )- ∋(1 + - !) #[ ( V - 1 ) 2!+(V- 1)2 ] dX ! C,其中 C > 0与 无关, 0 < ∋< 1, #> - 1.利用引理 2和 H lder不等式,可以得到下面的推论.推论 1 假设w 是问题(17)、(18)、(13) 的解,则存在一个与 无关常数C > 0满足∃∀T | w ! | d d d! ! C.引理 3 问题( 17)、(18)、(13) 的解 w 满足∃( | w | + | w  | )d d!| = t ! C,其中 C 与 无关.437第 3 期 徐新英等: Prandtl方程整体解的存在惟一性利用引理 1 ~ 引理 3就可以证明正则化后的方程(17)、(18)、(13) 解的极限(当 # 0) 就是式( 4) ~ (6)解[ 3] , 即证明了定理 1.3 Prandtl方程解的存在性令y =∃uU( t , x )0w- 1( t , x , !) d! (19)由 C- 1(1 - !) ! w ! C(1 - !) , U  0,有u # U( t, x ) , y # ∀ .由 uy = U( t, x ) w 和定理 1,可以得到w | t= 0 = w 0 =u0yU, w | != 1 = 0,因此 u | t= 0 = u0 , u | x= 0 = u1 , u | y= 0 = 0.通过计算还可以得到的表达式 ut , ux , uy , uyy .然后令v =- ut - uux + uyy + UU x + Utuy(20)可以具体把 ut , ux , uy , uyy 代入得到 v , 再计算出v y , 通过验证, u, v 确实满足方程( 1) .4 弱解的惟一性为了证明前面得到的解的惟一性, 我们需要下面的引理.引理4 假设w 1 , w 2是方程( 4) ~ (6) 的两个解,则∃∀T | V 1 - V 2 | { ∃+ ( !U∃)  + ( A∃) !+ B∃}dX +∃∀T | V- 11 - V- 12 | ∃!!dX  0,其中 V 1 = w - 11 , V 2 = w- 12 , ∃% C ∀0 ( ∀T ) .利用上述引理就可以证明定理 2,然后由定理2就可以证明问题( 1) ~ (2) 解的惟一性.参考文献:[ 1] O leinik A Samokhin. Mathematical Models in BoundaryLayer[ M ] . USA : Chapman & H all/ CRC, 1999.[ 2] Vol(per t A I. BV space and quasilinear equations [ J ] .Mat. sb. , 1967, 73: 255- 302.[ 3] Evans L C. Weak conver gence methods fo r nonlinear partial different ial equations [ C] Conference Board of theMathematical Sciences, Reg ional Conferences Series inMathematics. Phode Island: Amer ican Mathematical Society P ro ridence, 1998: 74.The Existence and Uniquence of the Globle Solution to Prandtl EquationXU Xin ying, ZH AO Jun ning*( School of Mathmatical Science, X iamen U niversit y, X iamen 361005, China)Abstract: The Prandtl sy st em for a non stationa ry Prandtl equation is considered in this paper. It is assumed that U( t, x , y ) =x mU1 ( t, x ) in the nonstationary case, w her e m 1 and 0! x ! L . The aim of this article is to pro ve the ex istence and uniquence of thegloble solution to t his equat ion. But it is a singular equation in the condit ion o f t his art icle. F irstly the P randt l equation is changed toano ther equation o f w by Crocco transformation. Then the equation is regular ized and some estimates of w ( the solution of the regularlized equation) and the par tial o f w are gotten. The limit of w can be proved to be the solution o f the equation of w . L ast ly the exist ence and uniquence of the g loble so lution to Prandtl equat ion is proved.Key words: Prandtl equation; g loble solut ion438 厦门大学学报(自然科学版) 2006 年

Prandtl 方程整体解的存在惟一性

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