Bernstein-Bezier 算子是一种重要的逼近算子, 在计算机辅助几何设计中也扮演了重要角色. 为了进一步了解它的理论及其逼近性质, 研究了它对一类绝对连续函数的逼近. 本文主要利用经典的Bojanic-Cheng 分解方法, 结合分析技术, 分别讨论了Bernstein-Bezier 算子在0=1 时, 对这类绝对连续函数的逼近. 首先扩展了文献Liu 的结果, 得到了
Bernstein-Bezier 算子的一阶中心绝对矩B?; 接着估计了另外一项B?, 最后得到了比较精确
的收敛价.国家自然科学基金( 10571145

曾晓明

连博勇

陈旭

Xiamen University Institutional Repository

第 45 卷  第 6 期 厦门大学学报(自然科学版) Vol. 45 No. 6 2006 年 11月 Journal of Xiamen U niversity ( Natural Science) Nov. 2006关于 BernsteinBzier 算子对一类绝对连续函数的逼近连博勇,陈  旭,曾晓明*(厦门大学数学科学学院,福建 厦门 361005) 收稿日期: 20060407基金项目:国家自然科学基金( 10571145)资助作者简介:连博勇( 1982- ) ,男,硕士研究生.* 通讯作者: xm zeng@ x mu. edu . cn摘要: BernsteinBzier 算子是一种重要的逼近算子, 在计算机辅助几何设计中也扮演了重要角色.为了进一步了解它的理论及其逼近性质,研究了它对一类绝对连续函数的逼近. 本文主要利用经典的 BojanicCheng 分解方法, 结合分析技术, 分别讨论了 BernsteinBzier 算子在 0<  1及  1 时, 对这类绝对连续函数的逼近. 首先扩展了文献 Liu 的结果, 得到了BernsteinBzier 算子的一阶中心绝对矩 B ( )n ( t- x , x ) ; 接着估计了另外一项 B ( )n (!txx ( u)du, x ) ,最后得到了比较精确的收敛价.关键词: BernsteinBzier 算子;逼近度; 绝对连续函数中图分类号: O 174. 41    文献标识码: A      文章编号: 04380479( 2006) 06074903  对于定义在区间 [ 0, 1] 的函数 f 及  > 0,BernsteinBzier 算子定义为:B()n ( f , x ) = ∀nk= 0f ( k/ n)Q()nk ( x ) (1)其中 Q()nk ( x ) = J n, k ( x ) - J n, k+ 1( x ) ,J n, k ( x ) = ∀nj = kP nj ( x ) , ( J n, n+ 1( x ) # 0) ,Pnk ( x ) =nkxk( 1- x ) n- k .算子族B ()n 由Chang G [ 1] 首先引进和研究.后来,Li P 和 Gong Y H [ 2] , L in Z X[ 3] , Zeng X M 和 PiriouA[ 4, 5] 等对算子族B ()n 作了进一步的推广和深入研究.本文讨论了 B ()n ( f , x ) 对一类绝对连续函数的逼近性质,首先给出一些基本记号及定义.1  基本记号及定义BV[ 0, 1] = { f | f 是[ 0, 1] 上的有界变差函数} , B = { f | f 在[ 0, 1] 上有界} , DB = { f | f ( x ) = f (0) +!x0 h( t)dt; 0  x  1, h( t) ∃  B } ,!x ( f ,∀) = supt ∃ [ x- ∀, x+ ∀] | f ( t ) - f ( x ) | ,其中 x ∃ [ 0,1] 固定,∀ 0.易得( i) !x ( f ,∀) 对变量 ∀来说是单调非减函数,( ii) 若 f ( t ) 在 x 点连续, 那么有lim∀% 0 !x ( f , ∀) = 0,( iii) 若 f ∃ BV[ a, b] , Vba( f ) 表示 f 在[ a, b] 上的全变差,那么有 !x ( f , ∀)  Vx+ ∀x- ∀( f ) .x ( u) =h( u) - h( x + ) , x < u  10  ,      u = xh( u) - h( x - ) , 0  u < x,K n, ( x , t) = ∀k  ntQ ()nk ( x ) ,  0 < t  10,      t = 0.由 LebesgueSt ielt jes积分形式 [ 4, ( 21) ] , 算子 B ()n ( f , x )可表示成:B()n ( f , x ) = !10 f ( t)dtK n, ( x , t ) (2)本文主要结果如下:定理  对于 f ∃  DB ,并且 x ∃ [ 0, 1] , h( x+ ) ,h( x - ) 存在,有:( i) 当  1时,B()n ( f , x ) - f ( x )  2+ 2n ∀[ n]k= 1 !x ( x , 1/ k) + ( h( x + ) + h( x - ) )M n- 1/ 2 (3)( ii) 当 0 <   1时,B()n ( f , x ) - f ( x )  4 + 2Ax (1 - x ) - 1n ∀[ n]k= 1 !x ( x , 1/ k) + ( h( x + ) + h( x - ) )M n- 1/ 2 (4)其中 A , M为与 有关的正常数.2  基本引理引理 1( i) 当  1且 0  t < x 时, K n, ( x , t)  x (1 - x )n( x - t)2 ,( ii) 当  1且 x < t  1时, 1 - K n, ( x , t )  x (1 - x )n( x - t)2 ,( iii) 当 0 <   1且 0  t < x < 1时, K n, ( x , t)  K n, 1( x , t)  x (1 - x )n( x - t)2 ,( iv) 当 0 <   1且 0  x < t < 1时, 1 - K n, ( x , t )  A  x (1 - x ) n( x - t)2 ,其中 A 为与有关的正常数.证明  ( i) , ( ii) 见文献[ 4] 的引理 8, ( iii) , ( iv ) 见文献[ 5] 的引理 4及引理 7.引理 2  设 > 0,则存在与 有关的正常数M ,使得:B()n ( t - x , x )  M n- 1/ 2 (5)证明  由文献[ 3] 引理 2知:B()n ( t - x , x ) M 1 #/ n 1/ 2 , 12n x  1M 2 # + #n- 1 , 0  x < 12n(6)其中 # = x (1- x ) , M1 , M2 为与 有关的正常数.由式(6) 得:当 x  12n时, B ()n ( t - x , x )  M 1n- 1/ 2 ;当 x < 12n时,B()n ( t - x , x )  M 2 12n+12n  32 M2n- 1/ 2 ,取 M= max M 1 ; 32M2 ,则式(5) 成立.引理 3( i) 设  1, 则有:B()n (!txx ( u)du, x )  2+ 2n ∀[ n]k= 1 !x ( x , 1/ k) (7)( ii) 设 0 <   1,则有:B()n (!txx ( u)du, x )  4 + 2Ax (1 - x ) - 1n ∀[ n]k= 1 !x ( x , 1/ k) (8)其中 A 为与有关的正常数.证明  ( i) 由式( 2) ,式(7) 左边可以写成:B()n (!txx ( u)du, x ) =!10(!txx ( u) du) d tK n, ( x , t ) =!x0 (!tx x ( u)du) d tK n, ( x , t) +!1x (!tx x ( u)du) d tK n, ( x , t) = En( f , x ) + Fn( f , x ) (9)利用分部积分法, 注意到 K n, ( x , 0) = 0,!xxx ( u) du = 0,| E n( f , x ) | = [ K n, ( x , t )!tx x ( u)du] x0-!x0 K n, ( x , t) x ( t) dt = !x0 K n, ( x , t) x ( t )dt !x0 K n, ( x , t) !x ( x , x - t) dt =!x- x/ n0 K n, ( x , t) !x ( x , x - t) dt +!xx- x/ nK n, ( x , t) !x ( x , x - t) dt.由引理 1( i) ,且 0  K n, ( x , t)  1,En( f , x )  x (1- x )n !x- x/ n0 !x ( x , x - t)( x - t) 2 dt + xn! x ( x , x / n) (10)作变量替换 t = x- xu,则式(10)右边第一项的积分可以化为:!x- x / n0 !x ( x , x - t)( x - t) 2 dt = 1x!n1 !x ( x , x / u)du  2x ∀[ n]k= 1 !x ( x , 1/ k)(11)由式(10) , (11) ,得:En( f , x )  2(1 - x )n ∀[ n]k= 1 !x ( x , 1/ k) + 2xn ∀[ n]k= 1 !x ( x , 1/ k ) = 2(1 - x ) + 2xn ∀[ n]k= 1 !x ( x , 1/ k) (12)由引理 1( ii) ,方法同上,可以得到:Fn( f , x )  2x + 2( 1- x )n ∀[ n]k= 1!x ( x , 1/ k )(13)&750& 厦门大学学报(自然科学版)                   2006 年由式(9) , (12) , (13) 得式(7) .完全类似的方法,可证得估计式(8) .3  定理的证明由定理的条件, 得:f ( t ) - f ( x ) =!txh( u)du (14)而根据 Bo janicCheng 分解[ 6] , 有:h( u) =h( x + ) + h( x - )2+ x ( u) + h( x + ) - h( x - )2sgn u - x + ∃x ( u) h( x ) - h( x + ) + h( x - )2(15)其中,x ( u) =h( u) - h( x + ) ,  x < u  10,        u = xh( u) - h( x - ) ,  0  u < x,∃x ( u) = 1,  u = x0,  u ∋ x .由式 (14) , (15) , 并且!tx sgn u - x du = | t - x | ,!tx∃x ( u) du = 0,| B()n ( f , x ) - f ( x ) | = | B ()n ( f ( t ) - f ( x ) , x ) | = | B ()n (!txh( u)du, x ) | = | h( x + ) + h( x - )2B()n ( t - x , x ) + h( x + ) - h( x - )2B()n ( | t - x | , x ) + B ()n (!tx( u)du, x ) |  | h( x + ) + h( x - )2| B()n ( | t- x | , x ) + | h( x + ) - h( x - )2| B()n ( | t- x | , x ) + | B ()n (!tx x ( u)du, x ) |  ( | h( x + ) | + | h( x - ) | ) B ()n ( | t- x | , x ) + | B ()n (!txx ( u) du, x ) | (16)式( 3)可直接由式( 5) , ( 7) , ( 16)得到; 式( 4)可直接由式( 5) , ( 8) , ( 16)得到.参考文献:[ 1]  Chang G. Generalized BernsteinBzier polynomials[ J] . J.Comput . Math. , 1983, 1( 4) : 322- 327.[ 2]  L i P, Gong Y H. The o rder of appro x imation by the generalized BernsteinBzier po lynomials [ J ] . J. o f ChinaUniv. of Science and Techno log y, 1985, 15( 1) : 15- 18.[ 3]  Liu Z X . Approx imation o f continuous funct ions by thegenera lized Bernst einBzier po lynomials [ J ] . Approx.Theor y. Appl. , 1986, 2( 4) : 105- 130.[ 4]  Zeng X M , P ir iou A. On t he rate o f conver gence o f twoBernsteinBzier type oper ator s for bounded var iationfunctions [ J] . J. Approx. Theor y, 1998, 95: 369- 387.[ 5]  Zeng X M . On the r ate o f conver gence of tw o BernsteinBzier type operato rs for bounded var iation functions I I[ J] . J. Approx . T heo ry , 2000, 104: 330- 344.[ 6]  Bo janic R, Cheng F. Rate of conver gence o f Bernstein po lynomials for functions wit h der ivat ives o f bounded var iatio n[ J] . J. M ath. Anal. Appl. , 1989, 141: 136- 151.On the Rate of Convergence of BernsteinBzier Operator forSome Absolutely Continuous FunctionsLIAN Boyong , CH EN Xu, ZENG Xiaoming*( School of Mathematical Science, X iamen Univ ersit y, X iamen 361005, China)Abstract: The purpo se of this paper is to investigate the rate of converg ence of BernsteinBzier Operato r for some abso lutely cont inuous functions. The appro x imation proper ties wer e studied in the case of 0<  1 and  1 respect ively. By using BojanicCheng 'smet hod and analysis techniques, the r ate of converg ence o f BernsteinBzier Operator w as deriv ed. In the first, the autho rs ex tendedthe r esult of L iu Z X and got the first centr al abso lute moment B ()n ( t- x , x ) . Later , the authors est imated the o ther par tB ()n (!tx x ( u) du, x ) . L ast ly, an asym pto tically optimal estimate w as obta ined. The result is helpful to under st and t he propert ies o fBzier Operator well, thus further r esea rch can be done.Key words: BernsteinBzier operato r; rate of appro ximat ion; absolut ely continuous functions&751&第 6 期            连博勇等:关于 BernsteinBzier 算子对一类绝对连续函数的逼近

关于Bernstein-Bezier 算子对一类绝对连续函数的逼近

http://dspace.xmu.edu.cn/bitstream/handle/2288/6579/%e5%85%b3%e4%ba%8eBernstein_B_zier%e7%ae%97%e5%ad%90%e5%af%b9%e4%b8%80%e7%b1%bb%e7%bb%9d%e5%af%b9%e8%bf%9e%e7%bb%ad%e5%87%bd%e6%95%b0%e7%9a%84%e9%80%bc%e8%bf%91.pdf?sequence=1&isAllowed=y

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