设M 为单位球面S n + p (1) 中的一个紧致子流形. ∪M = ∪x ∈M∪Mx 是M 的单位切丛. 陈卿引入函数f ( x) = maxu, v ∈∪Mx‖B ( u , u) - B ( v , v) ‖2 ,其中B 是M 的第二基本形式. 当M 具有平行平均曲率向量时,陈卿通过研究函数f ( x) ,得到一Pinching 定理. 当考虑外围流形为局部对称空间时,我们应用Gauss 方程,Ricci 方程和外围空间的局部对称性质等方法得到:若f ( x) 满足一个Pinching 条件,则M 或是全脐的或是一个Veronese 曲面. 当p ≥2 时,所得的结果改进了陈卿研究的相应结果

李锦堂

林和子

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第 47 卷 　第 1 期 厦门大学学报 (自然科学版) Vol. 47 　No. 1　2008 年 1 月 Journal of Xiamen University (Nat ural Science) Jan. 2008 　关于局部对称空间中具有平行平均曲率向量子流形的 Pinching 定理李锦堂 ,林和子(厦门大学数学科学学院 ,福建 厦门 361005)　　收稿日期 :2007206218基金项目 :福建省自然科学基金 ( Z0511001)资助Email :dli66 @xmu. edu. cn摘要 : 设 M 为单位球面 S n + p (1) 中的一个紧致子流形. ∪M = ∪x ∈M∪M x 是 M 的单位切丛. 陈卿引入函数 f ( x) = maxu, v ∈∪M x‖B ( u , u) - B ( v , v) ‖2 ,其中 B 是 M 的第二基本形式. 当 M 具有平行平均曲率向量时 ,陈卿通过研究函数 f ( x) ,得到一个 Pinching 定理. 当考虑外围流形为局部对称空间时 ,我们应用 Gauss 方程 ,Ricci 方程和外围空间的局部对称性质等方法得到 :若 f ( x)满足一个 Pinching 条件 ,则 M 或是全脐的或是一个 Veronese 曲面. 当 p ≥2 时 ,所得的结果改进了陈卿研究的相应结果.关键词 : 平均曲率 ;局部对称空间 ;第二基本形式中图分类号 :O 186 　　　　　文献标识码 :A 　　　　　文章编号 :043820479 (2008) 01200162041 　介　绍设 M n 是 S n+ p 的一个紧致浸入子流形 , B 是 M 的第二基本形式. ∪M = ∪x ∈M∪M x 是M 的单位切丛 , ∪M x = { u ∈T x M , u 2 = 1} ,设 f ( x) = maxu, v ∈∪M x‖B ( u ,u) - B ( v , v) ‖2 .陈卿在文献[1 ] 中证得如下定理 :定理 A 　设 M n 是 S n+ p 的一个具有平行平均曲率向量的紧致子流形(i) P = 1 . 若 f ( x) ≤4 ,则 M 是全脐超曲面或是S l (12) ×S m ( 12) , ( l + m = n) ,(ii) P ≥2 . 若 f ( x) ≤ 2 n2 n - 1,则 M 或是全脐的或是一个 Veronese 曲面.对于 P ≥2 的情况 ,本文把上述结果改进为如下 :定理 1 　设 M n 是 S n+ p 的一个具有平行平均曲率向量的紧致子流形 , P ≥2 ,若 f ( x) ≤ 8 n7 n - 2,则 M 或是全脐的或是一个 Veronese 曲面.对于外围空间为局部对称空间 N n+ p 的情况 ,有下面结论 :定理 2 　设 M n 是局部对称空间 N n+ p 中一个具有平行平均曲率向量的紧致子流形 , N n+ p 的截曲率 K N满足 : 12<δ≤ KN ≤1 .(i) P = 1 ,若 c1 ≤ f ( x) ≤c2 ,则 M 是全脐超曲面或是 S l ( 12) ×S m ( 12) , ( l + m = n) ;(ii) P ≥2 ,若 c3 ≤ f ( x) ≤c4 ,则 M 或是全脐的或是一个 Veronese 曲面.其中 c1 , c2 为关于 x 的方程-14x2 + (2δ- 1) n - 12(1 - δ) x -　 12(1 - δ) n2 H2 = 0的两根 , c3 , c4 为关于 x 的方程-m - 28x2 + [ (2δ- 1) n - 133(1 - δ) ( n - 1) P] x -　(1 - δ) n2n - 1P H 2 = 0的两根.注 　δ= 1 时 ,定理 2 就是定理 1 .2 　准 　备本文约定 :1 ≤A , B ⋯≤n + P ,1 ≤i , j ⋯≤n , n+ 1 ≤α,β⋯≤n + P.设 ∪M = ∪x ∈M∪M x 是 M 的单位切丛 , ∪M x ={ u ∈ T x M : ‖u ‖ = 1} .定义函数 f ( x) 如下f ( x) = maxu, v ∈∪M x‖B ( u , u) - B ( v , v) ‖2 ,' 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.    http://www.cnki.net设 x0 ∈M ,使得 f ( x0 ) ≠0 ,因而存在 u0 , v0 ∈∪M x0 满足 : f ( x0 ) = ‖B ( u0 , u0 ) - B ( v0 , v0 ) ‖2 .选取 x0 的局部标架场{ eA } ,使得 :en+1 =B ( u0 , u0 ) - B ( v0 , v0 )‖B ( u0 , u0 ) - B ( v0 , v0 ) ‖2,则有[1 ]f ( x0 ) = ( hn+111 - hn+1nn )2 (1)hα11 = hαnn , (α≠n + 1) (2)∑α( hαij )2 ≤ 14f ( x) , ( Πi ≠ j) (3)hn+111 ≥hn+122 ≥⋯≥hn+1nn , hn+1ij = 0 , ( i ≠ j) (4)在 M 上定义一个张量场 H = ( H ij kl ) 如下H ij kl = ∑αhαij hαkl ,则在上述标架下有f ( x0 ) = H1111 + Hnnnn - 2 H11 nn ,记Δ(1 , n) = (ΔH) 1111 + (ΔH) nnnn - 2 (ΔH) 11 nn ,则有[1 ]12Δ(1 , n) ≥ ∑i( hn+111 - hn+1nn ) ( hn+111 ii - hn+1nnii ) (5)又hαij kl - hαij l k = ∑mhαim R mj kl + ∑mhαmj R mikl - ∑βhβij Rαβkl(6)R ij kl = (δikδjl - δilδjl ) + ∑α( hαik hαjl - hαil hαjl ) (7)Rαβi j = ∑k( hαik hβjk - hαjk hβik ) (8)hαij k = hαik j (9)由式 (5) ～ (9) 得12Δ(1 , n) ≥A + B (10)其中A = nf ( x) - 2 ( hn+111 - hn+1nn ) ·　∑α, i[ ( hn+1‘11 - hn+1ii ) ( hα1 i )2 + ( hn+1ii - hn+1nn ) ( hαni )2 ] ,B = f ( x) { - ∑i( hn+1ii )2 +　 ∑i ,α≠n+1hα11 hαii + ∑i( hn+111 + hn+1ii ) hn+1ii } .引理 1 　A ≥ f ( x) { n - n2f ( x) } .证明 　由式 (3) 、(4) 得A ≥nf ( x) - 2 ( hn+111 - hn+1nn ) ·　∑i{ ( hn+111 - hn+1ii )f ( x)4+ ( hn+1ii - hn+1nn )f ( x)4} =　f ( x) { n - n2f ( x) } .引理 2 　 ∑α≠n+1 , i ≠1 , nhα11 hαii +14 ∑i ≠1 , n ( hn+111 - hn+1ii ) ·　( hn+1ii - hn+1nn ) ≥- n - 28f ( x) .证明 　 ∑α≠n+1 , i ≠1 , nhα11 hαii ≥- 14 ∑α≠n+1 , i ≠1 , n( hα11 - hαii )2 =　 - 14 ∑α, i ≠1 , n ( hα11 - hαii )2 +14 ∑i ≠1 , n( hn+111 - hn+1ii )2 ≥　 - n - 24f ( x) +14 ∑i ≠1 , n ( hn+111 - hn+1ii )2 (11)∑α≠n+1 , i ≠1 , nhαnn hαii ≥- 14 ∑α≠n+1 , i ≠1 , n ( hαnn - hαii )2 =　 - 14 ∑α, i ≠1 , n ( hαnn - hαii )2 +14 ∑i ≠1 , n ( hn+1nn - hn+1ii )2(12)∑i ≠1 , n( hn+111 - hn+1ii )2 + ∑i ≠1 , n( hn+111 - hn+1ii ) ( hn+1ii - hn+1nn ) =　∑i≠1 , n( hn+111 - hn+1ii ) { ( hn+111 - hn+1ii ) + ( hn+1ii - hn+1nn ) } =　∑i ≠1 , n( hn+111 - hn+1ii ) ( hn+111 - hn+1nn ) (13)∑i ≠1 , n( hn+1nn - hn+1ii )2 + ∑i ≠1 , n( hn+111 - hn+1ii ) ( hn+1ii - hn+1nn ) =　∑i≠1 , n( hn+1ii - hn+1nn ) { ( hn+1ii - hn+1nn ) + ( hn+111 - hn+1ii ) } =　∑i ≠1 , n( hn+1ii - hn+1nn ) ( hn+111 - hn+1nn ) (14)由式 (2) , (11) ～ (14) 得 :∑α≠n+1 , i ≠1 , nhα11 hαii +14 ∑i ≠1 , n( hn+111 - hn+1ii ) ( hn+1ii - hn+1nn ) =　 12 ∑α≠n+1 , i ≠1 , nhα11 hαii +12 ∑α≠n+1 , i ≠1 , nhαnn hαii +　 14 ∑i ≠1 , n ( hn+111 - hn+1ii ) ( hn+1ii - hn+1nn ) ≥　 - n - 24f ( x) +18{ ∑i ≠1 , n( hn+111 - hn+1ii ) ·　( hn+111 - hn+1nn ) + ∑i ≠1 , n( hn+1ii - hn+1nn ) ( hn+111 - hn+1nn ) } =　 - n - 24f ( x) +n - 28f ( x) = -n - 28f ( x) .引理 3 　B ≥- 3 n - 28f 2 ( x) .证明 　B = f ( x) { ∑i( hn+111 - hn+1ii ) ( hn+1ii - hn+1nn ) +　nh n+111 hn+1nn + ∑i ,α≠n+1hα11 hαii } ≥　f ( x) { ∑i( hn+111 - hn+1ii ) ( hn+1ii - hn+1nn ) -　 n4( hn+111 - hn+1nn )2 + ∑i ≠1 , n ,α≠n+1hα11 hαii } =　f ( x) { ∑i( hn+111 - hn+1ii ) ( hn+1ii - hn+1nn ) -　 n4f ( x) + ∑i ≠1 , n ,α≠n+1hα11 hαii } (15)·71·第 1 期 　　　　　　　　　李锦堂等 :关于局部对称空间中具有平行平均曲率向量子流形的 Pinching 定理© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.    http://www.cnki.net由引理 2 ,式 (15) 得 :B ≥ f x { 34 ∑i hn+111 - hn+1ii hn+1ii - hn+1nn -　 n4f x -n - 28f x } = -3 n - 28f 2 x .引理 4 　f ≡0 ,当且仅当 M 是全脐点子流形.3 　定理 1 的证明由式 (10) ,引理 1 及引理 3 得12Δ 1 , n ≥ f x { n - 7 n - 28f x } .若 f ≡0 ] M 是全脐点子流形.若 f ≡ 8 n7 n - 2,由式 (15) 取等号得 :Πα≠n + 1 , hα11 = hαnn = 0 , n = 2 (16)由 nh n+111 hn+1nn = - 14hn+111 - hn+1nn2 和式 (16) 得hn+111 + hn+1nn = 0 .所以 , M 是极小的 ,因此 M 是一个 Veronese 曲面[2 ] .4 　定理 2 的证明hα11 ii = hα1 i1 i - KNα11 ii = hαi11 i - KNα11 ii =　hαi1 i1 + hαim R m11 i + hαm1 Rmi1 i - hβi1 Rαβ1 i - KNα11 ii =　hαim R m11 i + hαm1 Rm i1 i - hβi1 Rαβ1 i - KNαi1 i1 - KNα11 ii(17)由式 (5) , (17) 以及 Gduss 方程 ,Ricci 方程以及 0 <δ≤ KNij i j ≤1 得12Δ 1 , n ≥δn f x + A + B + C (18)其中A = - 2 hn+111 - hn+1nn ∑α, i[ hn+1‘11 - hn+1ii hα1 i2 +　 hn+1ii - hn+1n+1 hαni 2 ] ,B = f ( x) { - ∑ihn+1ii2 + ∑i ,α≠n+1hα11 hαii +　∑ihn+111 + hn+1ii hn+1ii } ,C = - hn+111 - hn+1nn { ∑i[ KNn+1 , i1 i1 + KNn+1 ,11 ii -　KNn+1 , inin - KNn+1 , nnii ] +　∑β, i[ hβi1 KNn+1 ,β1 i - hβin KNn+1 ,βni ]} .由 N 的局部对称性 ,得 :C = - hn+111 - hn+1nn { 3 KNn+1 ,β1 i hβ1 i + 3 KNn+1 ,βni hβni +　KNn+1 , iβi hβ11 - hβnn + ∑i ≠1KNn+1 , i1βhβi1 +　∑i ≠1KNn+1 ,1βi hβ1 i + ∑i ≠nK Nn+1 inβhβin + ∑i ≠nK Nn+1 , nβi hβni -　 hn+111 - hn+1ii K Ni1 i1 - hn+1ii - hn+1nn K Ninin +　KNn+1 ,11βhβii - KNn+1 , nnβhβii } (19)(i) 先讨论 p ≥2 的情况.引理 5 　C ≥- 1331 - δ n - 1 p f x - (1 -δ) nf x - 1 - δ pn - 1n2 H2证明 　3 KNn+β,1 i hβ1 i hn+111 - hn+1nn ≤　 1 - δ { ∑i ≠1 ,βε hβ1 i 2 + 1ε hn+111 - hn+1nn2} ≤　 1 - δ {ε4n - 1 f x + n - 1ε p f x } =　 1 - δ n - 1 f x {ε4+pε} =　 1 - δ n - 1 p f x (取ε= 2 p) (20)同理3 KNn+1 ,βni hβni hn+111 - hn+1nn ≤　 1 - δ n - 1 p f x (21)∑i ≠1KNn+1 , i1βhβi1 hn+111 - hn+1nn ≤　 131 - δ n - 1 p f x (22)∑i ≠1KNn+1 ,1βi hβi1 hn+111 - hn+1nn ≤　 131 - δ n - 1 p f x (23)∑i ≠1KNn+1 , inβhβin hn+111 - hn+1nn ≤　 131 - δ n - 1 p f x (24)∑i ≠1KNn+1 , nβi hβin hn+111 - hn+1nn ≤　 131 - δ n - 1 p f x (25)- KNn+1 , iβi hβ11 - hβnn hn+111 - hn+1nn =　 - KNn+1 , i , n+1 , i hn+111 - hn+1nn 2 ≥- nf x (26)hn+111 - hn+1nn { hn+111 - hn+1ii KNi1 i1 +　 hn+1ii - hn+1nn K Ninin } ≥　δ hn+111 - hn+1nn { hn+111 - hn+1ii +　 hn+1ii - hn+1nn } = nδf x (27)KNn+1 ,11β - KNn+1 , nnβ hpii hn+111 - hn+1nn ≤　 1 - δ ∑β1ε hn+111 - hn+1nn2 +ε ∑ihβii2=　 1 - δ { pε f x +εn2 H2 } =　 1 - δ n - 1 p f x + 1 - δ pn - 1n2 H2(28)由式 (20) ～ (28) 得引理 5 .由式 (18) ,引理 1 ,3 ,5 得·81· 厦门大学学报 (自然科学版) 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　2008 年© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.    http://www.cnki.net12Δ 1 - n ≥- 7 n - 28f 2 x + { - 1 - 2δ n -　1331 - δ n - 1 p} f x -　 1 - δ n2 pn - 1H2 (29)由题设和式 (29) 知 :式 (26) ～ (28) 取等号.式 (26) 取等号得KNn+1 , i , n+1 , i = 1 , Π i (30)式 (27) 取等号得KNi1 i1 = KNinin =δ, Πi ≠1 , n (31)式 (28) 取等号得KNn+1 ,1 , n+1 ,1 =δ或 K Nn+1 , n , n+1 , n =δ (32)由式 (30) , (32) 知δ= 1 .所以由定理 1 立即得定理 2 .(ii) p = 1 的情况.引理 6 　C ≥- 1 - δ n f x - 121 - δ f x -121 - δ n2 H2 .证明 　由式 (19) 知C = - KNn+1 , i , n+1 , i hn+111 - hn+1nn2 +　 hn+111 - hn+1nn { hn+111 - hn+1ii K Ni1 i1 +　 hn+1ii - hn+1nn K Ninin } + hn+111 - hn+1nn ·　{ KNn+1 ,1 , n+1 ,1 - KNn+1 , n , n+1 , n h n+1ii } ≥　 - nf x + nδf x + hn+111 - hn+1nn ·　 KNn+1 ,1 , n+1 ,1 - KNn+1 , n , n+1 , n h n+1ii (33)hn+111 - hn+1nn KNn+1 ,1 , n+1 ,1 - KNn+1 , n , n+1 , n hn+1ii ≤　 121 - δ { hn+111 - hn+1nn 2 + ∑ih n+1ii2} =　 121 - δ { f x + n2 H2 } (34)由式 (33) , (34) 得引理 6 .由引理 6 ,式 (18) 得12Δ 1 , n ≥- n4f 2 x + [ 2δ- 1 n -　 121 - δ ] f x - 121 - δ n2 H2 (35)由题设 ,式 (35) 得 (33) 、(34) 取等号 ,所以δ= 1 .由定理 A ,得定理 2 成立.参考文献 :[1 ] 　陈卿. 关于单位球面的子流形的一个 Pinching 定理 [J ] .数学学报 ,1996 ,39 :57 - 63.[2 ] 　白正国 ,沈一兵 ,水乃翔 ,等. 黎曼几何初步 [ M ] . 北京 :高等教育出版社 ,1992.A Pinching Theorem for Submanifolds of Locally SymmetricSpace with Parallel Mean CurvatureL I Jin2tang ,L IN He2zi(School of Mathematical Sciences ,Xiamen University ,Xiamen 361005 ,China)Abstract : Let M n be a compact submanifold of unit sphere S n + p 1 ∪M = ∪x ∈M∪M x is the unit tangent bundle on M. Chen Qingconst ructed a function f x = maxu, v ∈∪M x‖B u , u - B v , v ‖2 ,where B is the second fundamental form of M. When M has parallelmean curvature vector ,Chen Qing obtained a Pinching theorem through studying function f x . When considering outer space whichis locally symmetry ,we apply Gauss equation ,Ricci equation and the property of locally symmetry of the outer space ,then we obtainthe following theorem :if M satisfys a Pinching condition , M is a totally umbilical submanifold or a Veronese surface. When p ≥2 ,What we obtain improves the corresponding theorem of Chen qin′s.Key words : mean curvature ;locally symmetric space ;second fundamental form·91·第 1 期 　　　　　　　　　李锦堂等 :关于局部对称空间中具有平行平均曲率向量子流形的 Pinching 定理© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.    http://www.cnki.net

关于局部对称空间中具有平行平均曲率

http://dspace.xmu.edu.cn/bitstream/handle/2288/6481/%e5%85%b3%e4%ba%8e%e5%b1%80%e9%83%a8%e5%af%b9%e7%a7%b0%e7%a9%ba%e9%97%b4%e4%b8%ad%e5%85%b7%e6%9c%89%e5%b9%b3%e8%a1%8c%e5%b9%b3%e5%9d%87%e6%9b%b2%e7%8e%87%e5%90%91%e9%87%8f%e5%ad%90%e6%b5%81%e5%bd%a2%e7%9a%84Pinching%e5%ae%9a%e7%90%86.pdf?sequence=1&isAllowed=y

关于局部对称空间中具有平行平均曲率

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