本文用代数上的模和广义模同构的观点,讨论“高等代数”中的若干问题

林亚南

苏秀萍

Xiamen University Institutional Repository

广义模同构及其在高等代数中的应用Ξ林 亚 南 　　苏 秀 萍(厦门大学数学系 　厦门 　361005)　　摘要 　本文用代数上的模和广义模同构的观点 ,讨论“高等代数”中的若干问题.关键词 　广义模同构 ,高等代数 ,教改中图分类号 　O 151. 21 　预备数域 k 上的代数 A ,指的是非空集合 A 有两种运算 :加法 + 和乘法 ×,以及 k 到 A 的数乘运算. ,它们满足 ( Ⅰ) ( A ; + , . ) 是 k 上线性空间 ; ( Ⅱ) ( A ; + , ×) 是环 ; ( Ⅲ)α. ( a ×b) = (α·a) ×b = a ×(α·b) ,对任意的α∈k , a , b ∈A . 两个代数 ( A ; + , ×, . ) , ( A ; º , ×, .-) 称为同构 ,如果存在 A 到 A 的双射θ,满足 ( Ⅰ)θ( a º b) =θ( a) ºθ( b) ; ( Ⅱ)θ( a ×b) =θ( a) ×-θ( b) ; ( Ⅲ)θ(α. a) =α.-θ( a) ,对任意α∈k , a , b ∈A . A 与 A 同构 ,记为 A µθA . 称代数 A 带单位元 1 ,如果 ( A ; + , ×) 是带单位元 1 的环. 设 V 是 k 上 n 维线性空间 ,记 Hom k ( V , V ) 为V 的线性变换的全体 ,它对于加法 ( f + g) ( v ) = f ( v ) + g ( v ) ,乘法 ( f g) ( v) = f ( g ( v ) ) ,数乘 (αf ) ( v) =αf ( v) 构成 k 上代数. 记 kn ×n为 k 上 n 阶矩阵全体 ,它对于矩阵的加法 ,乘法 ,数乘构成 k 上代数.命题 1 　Hom k ( V , V ) µθkn ×n (作为 k - 代数)证明 　取定 V 的基η1 , ⋯,ηn , f ∈Hom k ( V , V ) , 设 f 在此基下的矩阵为 A , 即 fη1 , ⋯,ηnen= η1 , ⋯,ηn c aA . 令θ: f A . 易见θ导出代数 Hom k ( V , V ) 与 kn ×n之间的同构映射. 设 A 是 k 上带单位元 1 的代数 , A 上的模A M 指的是 k - 线性空间 M 与 A 到 M 的“数乘”,满足 : ( Ⅰ) ( a + b) m = am + bm ; ( Ⅱ) a ( m + n) = am + an ; ( Ⅲ) 1·m = m ; ( Ⅳ)( ab) m = a ( bm ) ; ( Ⅴ)α( am) = (αa) m = a (αm ) ,对任意的α∈k , a , b ∈A , m , n ∈M .例 1 　线性空间 V 是代数 Hom k ( V , V ) 上的模 ,数乘定义为 f v = f ( v) ,对任意 f ∈Hom k( V , V ) , v ∈V . 设 k n 是 k 上 n 元列向量空间 ,则 kn 是代数 k n ×n上的模 ,数乘定义为矩阵的乘法.2 　广义模同构定义　设 A , B 是 k - 代数 ,且 A µθB . M 是 A 上的模 , N 是 B 上的模. M 到 N 的 k - 线性映射φθ称为A M 到B N 的广义模同态 ,如果φθ( am ) =θ( a)φθ( m ) . 特别地 ,当φθ是双射时 ,第10卷第1期　　　　　　　　　　　宁德师专学报 (自然科学版)1 9 9 8年 3月 　　　　　　　Journal of Ningde Teachers College (Natural Science)Vol110 　No11　Mar. 1998Ξ 收稿日期 :1998 - 01 - 08林亚南 ,男 ,1957 年 10 月出生 ,副教授国家教委面向 21 世纪数学专业课程设置与教学改革项目φθ称为A M 到B N 的广义模同构 ,记为A M µφθB N , A M 和B N 称为广义同构的模.注意到当 A = B 时 ,上述的φθ即是代数上的模同态和模同构的定义. 所以 ,广义模同态是模同态的推广.定理　设 V 是 n 维 k - 线性空间 ,则有广义模同构 　Homk( V , V ) V µφθkn ×nkn ,其中 Hom k ( V ,V ) µθk n ×n作为 k - 代数同构 ,如命题 1 所述.证明　取定 V 的基η1 , ⋯,ηn . 任取 v ∈V , v 在此基下的坐标为v1⋯v n b=,则 f ( v ) 在此基下的坐标为 Av1⋯v n a. 令φθ: v ϖv1⋯v n A代 数,易证φθ是 k - 线性映射且φθ( f v) =θ( f )φθ( v) .由于模的运算的性质在广义模同构下保持不变 ,可认为广义同构的两个模本质上是一样的 ,这样可将一个模的问题化为另一个模的问题来考虑 ,扩大解题思路. 易证下面的命题 :命题 2 　设　Homk( V , V) V µφθkn ×nkn 是广义模同构 , f ∈Homk ( V , V ) ,θ( f ) = A ∈kn ×n , A 的列向量为 A1 , ⋯, A n ,则(1) φθ导出 k - 线性空间同构 Ker f µ{ X ∈kn| A X = 0} ; (2) φθ导出 k - 线性空间同构 Im f µ{ A X| X ∈kn} = L A1 , ⋯, A n θ H,这里 L A1 , ⋯, A n 间 的表示 kn 中由 A1 , ⋯, A n 生成 子空间; (3) dim Im f = dim L A1 , ⋯, A n (=秩( A) ; (4) dim Ker f = n - 秩( A) .推论　设 V 是 n 维 k - 线性空间 , f ∈Homk ( V , V ) ,则　dim Ker f + dim Im f = n.证明　由命题 2 的(3) , (4)即得.3 　应用举例举几例说明在广义模同构的观点下空间与变换问题和列向量与矩阵问题的互相转化.例 2 　设 A1 , ⋯, A m 是 m 个非零的 n 阶矩阵 ,求证　存在 n 元列向量 X ,使得 A iX ≠0 , i = 1 ,⋯, m.证明　设θ( f i) = A i , i = 1 , ⋯, m ,这里 f i ∈Homk ( V , V ) .因 A i 非零 ,故 f i ≠0.以 Ker f i ≠V , i= 1 , ⋯, m.因有限维空间的有限个真子空间不能覆盖整个空间 ,故有 v ∈V ,使 v ∈-Ker f i , i = 1 ,⋯, m.即 f i ( v) ≠0 , i = 1 , ⋯, m.令φθ( v) = X 由广义模同构 ,即知 A i X ≠0 , i = 1 , ⋯, m.例 3 　设 A , B 是 n 阶方阵 ,求证　秩( AB) ≥秩( A) +秩( B) - n.证明　设θ( f ) = A ,θ( g) = B.令 Im g = W ,则 Im f g = Im( f | w) .有 dim Im( f | w) + dim Ker( f | w) = dim W = dim Im g.又因 dim Ker ( f | w) ≤dim Ker f = n - dim Im f ,所以有 dim Im ( f g) ≥dim Im g + dim Im f - n.由命题 2 即得结论.例 4 　设 A ∈kn ×n , A2 = A , A = A1 + A2 ,且秩 ( A ) =秩 ( A1) +秩 ( A2) . 求证　A2i = A i ( i = 1 ,2) , A i A j = 0 ( i ≠j , i , j = 1 ,2) .证明　设θ( f ) = A ,θ( f i) = A i , i = 1 ,2.由广义模同构与代数同构 ,有 f2= f , f = f 1 + f 2 ,且 dimIm f = dim Im f 1 + dim Im f 2 .因 dim Im f = dim Im( f 1 + f 2) ≤dim( Im f 1 + Im f 2) ≤dim Im f 1 + dimIm f 2 = dim Im f ,所以 Im f = Im f 1 Ý Im f 2 .对任意 v ∈V , f 1 ( v) ∈Im f ,所以存在 u ∈V ,使得 f 1 ( v)·43·　　　　　　　　　　　　　　　宁德师专学报 (自然科学版) 　　　　　　　　　　　　　1998 年 3 月= f ( u) .由 f f 1 ( v) = f f ( u) = f ( u) = f 1 ( v)可知 f f 1 = f 1 . 考虑到 f 1 ( v) = f f 1 ( v) = f 1 f 1 ( v) + f 2 f 1( v) ,可得到 f 1 ( v - f 1 ( v) ) = f 2 f 1 ( v) ∈Im f 1 ∩Im f 2 = 0 ,故 f 12 = f 1 , f 2 f 1 = 0. 同理可得 f 22 = f 2 ,f 1 f 2 = 0.由同构关系有 A2i = A i , A i A j = 0 ( i ≠j , i , j = 1 ,2) .例 5 　设 V 是 n 维 k - 线性空间 ,0 ≠v ∈V .求证　{ f ( v) | f ∈Homk ( V , V ) } = V .证明　在广义模同构意义下 ,要证明 0 ≠X ∈kn ,则有{ A X| A ∈kn ×n} = kn .设 Ei 是第 i 个分量为 1 ,其余分量为零的 n 元列向量 ,即{ Ei}ni = 1是 kn 的一个基.设 X =x1⋯xn.因 X ≠0 ,不妨设 x j ≠0.则 Ei =1x jEij X ,这里 Eij表示第 i 行第 j 列所在元素为 1 ,其余均为 0 的 n 阶方阵. 因{ A X | A ∈kn ×n}是 kn 的子空间且 Ei ∈{ A X| A ∈kn ×n} , i = 1 , ⋯, n ,所以{ A X| A ∈kn ×n} = kn .事实上 ,{ f (α) | f ∈Homk ( V , V ) }是 V 的一个 A —子模. 例子结论表明对任意 0 ≠v ∈V ,则Homk ( V , V )·α= V ,所以 V 是代数 Homk ( V , V )上的单模.例 6 　设 V 是 n 维 k - 线性空间 ,0 ≠v ∈V ,求证　W = { f ∈Homk ( V , V ) | f ( v) = 0}是 Homk( V , V )的子空间 ,并求 dim W.证明　易证 W 是 Homk ( V , V )的子空间(实际上是代数 Homk ( V , V )的左理想) .进一步 ,有代数 Homk ( V , V )上的模的正合列 0 W Homk ( V , V ) Homk ( V , V ) ·v 0. 由例 5 知Homk ( V , V )·α= V ,其维数为 n.故 dim W = dim Homk ( V , V ) - n = n2 - n = n ( n - 1) .应说明的是 ,在广义模同构下 ,例 6 的相应结论是 0 ≠X ∈kn ,则 W = { A ∈kn ×n | A X = 0}是kn ×n的子空间 ,且 dim W = n ( n - 1) .参 　考 　文 　献1 　黄洛生. 高等代数原理和方法. 福州 :福建人民出版社 , 19942 　张禾瑞 ,郝炳新. 高等代数. 北京 :高等教育出版社 , 19833 　陈昭木 ,陈清华 ,王华雄等. 高等代数. 福州 :福建教育出版社 , 1991Generalized Isomorphism of Modulesand the Application to Higher AlgebraLin Ya’nan 　　Su Xiuping(Department of Mathematics ,Xiamen University 　Xiamen 　361005)Abstract 　Here the concept of generalized isomorphism of modules over algebras is int ro2duced. Applying this new view point ,the authors discuss some problems on higher algebras.Keywords 　generalized isomorphism of modules , higher algebra ,education reform·53·第 1 期 　　　　　　　　林亚南等 :广义模同构及其在高等代数中的应用 　　　　　　　　　　　　

广义模同构及其在高等代数中的应用

http://dspace.xmu.edu.cn/bitstream/handle/2288/6406/%e5%b9%bf%e4%b9%89%e6%a8%a1%e5%90%8c%e6%9e%84%e5%8f%8a%e5%85%b6%e5%9c%a8%e9%ab%98%e7%ad%89%e4%bb%a3%e6%95%b0%e4%b8%ad%e7%9a%84%e5%ba%94%e7%94%a8.pdf?sequence=1&isAllowed=y

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