We show that the Galois group of any Schubert problem involving lines in
projective space contains the alternating group. Using a criterion of Vakil and
a special position argument due to Schubert, this follows from a particular
inequality among Kostka numbers of two-rowed tableaux. In most cases, an easy
combinatorial injection proves the inequality. For the remaining cases, we use
that these Kostka numbers appear in tensor product decompositions of
sl_2(C)-modules. Interpreting the tensor product as the action of certain
commuting Toeplitz matrices and using a spectral analysis and Fourier series
rewrites the inequality as the positivity of an integral. We establish the
inequality by estimating this integral.Comment: Extended abstract for FPSAC 201

Brooks, Christopher J.

del Campo, Abraham Martin

Sottile, Frank

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Christopher J. Brooks

Abraham Martín del  Campo

Frank Sottile

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An inequality of Kostka numbers and Galois groups of Schubert problems

We show that the Galois group of any Schubert problem involving lines in projective space contains the alternating group. Using a criterion of Vakil and a special position argument due to Schubert, this follows from a particular inequality among Kostka numbers of two-rowed tableaux. In most cases, an easy combinatorial injection proves the inequality. For the remaining cases, we use that these Kostka numbers appear in tensor product decompositions of $\mathfrak{sl}_2\mathbb{C}$ -modules. Interpreting the tensor product as the action of certain commuting Toeplitz matrices and using a spectral analysis and Fourier series rewrites the inequality as the positivity of an integral. We establish the inequality by estimating this integral.On montre que le groupe de Galois de tout problème de Schubert concernant des droites dans l'espace projective contient le groupe alterné. En utilisant un critère de Vakil et l'argument de position spéciale due à Schubert, ce résultat se déduit d'une inégalité particulière des nombres de Kostka des tableaux ayant deux rangées. Dans la plupart des cas, une injection combinatoriale facile montre l’inégalité. Pour les cas restants, on utilise le fait que ces nombres de Kostka apparaissent dans la décomposition en produit tensoriel des $\mathfrak{sl}_2\mathbb{C}$-modules. En interprétant le produit tensoriel comme l'action de certaines matrices de Toeplitz commutant entre elles, et en utilisant de l'analyse spectrale et les séries de Fourier, on réécrit l’inégalité comme la positivité d'une intégrale. L’inégalité sera établie en estimant cette intégrale

Campo, Abraham Martín,

Episciences.org

International audienceWe show that the Galois group of any Schubert problem involving lines in projective space contains the alternating group. Using a criterion of Vakil and a special position argument due to Schubert, this follows from a particular inequality among Kostka numbers of two-rowed tableaux. In most cases, an easy combinatorial injection proves the inequality. For the remaining cases, we use that these Kostka numbers appear in tensor product decompositions of $\mathfrak{sl}_2\mathbb{C}$ -modules. Interpreting the tensor product as the action of certain commuting Toeplitz matrices and using a spectral analysis and Fourier series rewrites the inequality as the positivity of an integral. We establish the inequality by estimating this integral.On montre que le groupe de Galois de tout problème de Schubert concernant des droites dans l'espace projective contient le groupe alterné. En utilisant un critère de Vakil et l'argument de position spéciale due à Schubert, ce résultat se déduit d'une inégalité particulière des nombres de Kostka des tableaux ayant deux rangées. Dans la plupart des cas, une injection combinatoriale facile montre l’inégalité. Pour les cas restants, on utilise le fait que ces nombres de Kostka apparaissent dans la décomposition en produit tensoriel des $\mathfrak{sl}_2\mathbb{C}$-modules. En interprétant le produit tensoriel comme l'action de certaines matrices de Toeplitz commutant entre elles, et en utilisant de l'analyse spectrale et les séries de Fourier, on réécrit l’inégalité comme la positivité d'une intégrale. L’inégalité sera établie en estimant cette intégrale

Campo, Abraham Mart\'ın,

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We show that the Galois group of any Schubert problem involving lines in projective space contains the alternating group. Using a criterion of Vakil and a special position argument due to Schubert, this follows from a particular inequality among Kostka numbers of two-rowed tableaux. In most cases, an easy combinatorial injection proves the inequality. For the remaining cases, we use that these Kostka numbers appear in tensor product decompositions of $\mathfrak{sl}_2\mathbb{C}$ -modules. Interpreting the tensor product as the action of certain commuting Toeplitz matrices and using a spectral analysis and Fourier series rewrites the inequality as the positivity of an integral. We establish the inequality by estimating this integral

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