Santi, Jadranka

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54IntroduzioneIl Liceo Pedagogico ha il compito di iniziare a formare i futuri insegnanti discuola primaria, fornendo agli allievi una vasta cultura nei campi delle scienzedell’educazione, della didattica e della pedagogia. Alle lezioni teoriche vengonosempre affiancate anche lezioni pratiche, in cui i ragazzi, attraverso la prepara-zione di unità didattiche ed il tirocinio in classe, hanno la possibilità di applica-re le conoscenze acquisite.Partendo da questo presupposto, ho, in primo luogo, proposto agli studentidi seconda, con cui ho deciso di partecipare alla VI edizione della manifestazio-ne “La matematica dei ragazzi”, l’analisi di un lavoro svolto in precedenza daalcuni membri del Nucleo di Ricerca Didattica (cfr. Zuccheri, 1992; Sgarro & Zuc-cheri, 1992; Marceddu, 2002) al fine di familiarizzarli con una situazione con-creta di insegnamento della matematica attraverso la crittografia nella scuoladell’obbligo. La mia scelta è ricaduta sulla seconda classe poiché insegnavo loromatematica e fisica per il secondo anno di seguito e quindi li conoscevo bene.Gli studenti di questa classe, per di più, erano attratti dalla crittografia, che ave-vano “scoperto” nel momento in cui una delle ragazze aveva iniziato a scaraboc-chiare sul banco messaggi segreti usando un codice trovato su una rivista.Dopo aver appreso che la crittografia può essere utilizzata nell’insegnamen-to della matematica a vari livelli, con diversi obiettivi e finalità, siamo passatiSegreti, codici e spieJadranka Santi*55all’approfondimento del mondo affascinante dei codici segreti, scoprendo, oltreal cifrario a rotazione o di Cesare, anche quello a sostituzione completa. Stu-diando quest’ultimo, abbiamo svolto osservazioni sperimentali sulla strutturastatistica dell’italiano, dello sloveno e dell’inglese scritti e abbiamo costruitodegli istogrammi delle frequenze delle lettere nelle tre lingue, confrontando allafine le statistiche ottenute con quelle riportate dai testi. Abbiamo infine sfrutta-to quanto avevamo imparato per risolvere alcuni schemi di parole crociate crit-tografate della Settimana Enigmistica.In un secondo momento, i ragazzi sono stati lasciati allo sbaraglio nel deci-dere come presentare quanto appreso alla manifestazione.Dopo un primo momento di incertezza, gli studenti hanno deciso di presen-tare quanto da loro acquisito in due laboratori distinti, l’uno rivolto ai bambinidelle scuole elementari e l’altro ai ragazzi delle medie inferiori. Nel primohanno presentato il cifrario a rotazione, illustrando il momento storico dellasua nascita e facendo lavorare i bambini su esempi concreti di cifrazione e deci-frazione. Nel secondo, invece, hanno proposto il cifrario a sostituzione comple-ta, presentando il quadro storico in cui esso nacque e gli istogrammi delle fre-quenze delle lettere in sloveno, italiano e inglese. Alla fine di questo laboratorioi ragazzi hanno presentato la soluzione di un crittogramma tratto dalla Settima-na Enigmistica, cercando di coinvolgere il più possibile il pubblico.A differenza della maggior parte degli altri laboratori presenti alla manife-stazione, che erano organizzati per postazioni, i ragazzi della mia classe, essen-do solamente in cinque, hanno deciso di esporre gli argomenti in modo fronta-le, presentandoli a turno. Ciò ha richiesto loro un notevole sforzo, poichédovevano essere in grado di sostenere un discorso per ben venti minuti. In ognicaso, tutti erano preparati a presentare entrambi i laboratori, sia in italiano siain sloveno.Bisogna infine notare che i ragazzi hanno lavorato con molto entusiasmo,rimanendo spesso a scuola anche in orario extracurricolare. Infatti, la costruzio-ne dei cartelloni, tutti bilingui, ha richiesto parecchie ore di lavoro.Il cifrario di CesareAttraverso la cifratura si vuole trascrivere un testo in modo che questo risultileggibile solamente alla persona cui è rivolto.La crittologia, scienza che studia le scritture segrete, è composta da due rami:la crittografia studia i diversi modi di cifrare un messaggio, mentre la crittoanalisisi occupa del contrario, ossia di come decifrare un messaggio di cui non cono-sciamo la chiave, di come cioè “rompere” la chiave del messaggio.Entrambi i rami hanno, da tempi remoti, un ruolo fondamentale sul pianodiplomatico e politico. Gli inizi dell’uso della crittografia risalgono a prima del-l’era cristiana. Nei secoli si sono sviluppati innumerevoli modi per occultare unla matematica dei ragazzi – quinta edizione56messaggio. L’intercettazione della posta diplomatica era una pratica comune,non solamente in tempo di guerra. Nelle corti esistevano le cosiddette “stanzenere”, in cui si tentava di risolvere i messaggi trascritti o intercettati.Uno dei casi storici più famosi risale al 1589, quando, durante la guerra fran-co-spagnola, il matematico francese Vieté, su ordine del re, riuscì a trovare lachiave della scrittura segreta usata dagli Spagnoli nei loro piani di guerra. Lascrittura era, per l’epoca, così complicata che gli Spagnoli si sentivano totalmen-te al sicuro. Oggi la sua analisi, grazie all’uso del computer, probabilmente nonsarebbe un osso troppo duro. All’epoca, però, lasciò talmente sbigottiti gli Spa-gnoli che essi si lamentarono con il Papa per i presunti poteri magici usati daiFrancesi durante la guerra.Nell’era dei computer la crittografia ha un ruolo sempre maggiore per l’im-portanza che risulta avere la conservazione di dati personali e d’affari. La critto-grafia viene spesso utilizzata anche nei giochi d’azzardo, per evitare imbroglicon falsi.I crittogrammi più semplici sono basati sulle permutazioni delle letteredella lingua in cui sono scritti. Questo vuol dire che si scambia, attraverso unaregola ben precisa, ogni singola lettera dell’alfabeto con un’altra lettera definita.Un metodo di questo tipo venne impiegato da Giulio Cesare. I suoi messaggierano cifrati in modo che ogni singola lettera fosse sostituita da quella che lasegue di tre posizioni nell’alfabeto e le ultime tre lettere dell’alfabeto con leprime tre, scritte nel loro ordine usuale. Nell’alfabeto italiano esteso, il cifrariodi Cesare può essere rappresentato mediante la tabella seguente:A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y ZD E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B CCome esempio di utilizzo di tale cifrario, consideriamo la seguente trascrizione:– messaggio in chiaro: così cifrava cesare– messaggio trascritto in cifra: frvlfliudydfhvduhNella trascrizione, abbiamo volutamente omesso gli spazi tra le parole, in modoche un potenziale intercettatore avesse maggiore difficoltà nella decrittazionedel messaggio. Con ciò, abbiamo presupposto che la frase così cifrava cesarefosse abbastanza familiare al destinatario, che avrebbe aggiunto gli spazi senzaalcuna difficoltà.57Tre, ovviamente, non è un numero magico. Le lettere dell’alfabeto si possonotraslare, generalizzando il metodo usato da Cesare, per un numero qualunque diposti. I cambiamenti significativi si ottengono però per traslazioni (di almeno 1posto e) di meno di 26 posti.La procedura può venir descritta anche con una formula matematica, sesostituiamo, ad esempio, le lettere dell’alfabeto con i numeri che indicano laloro posizione alfabetica. La chiave è il complesso di informazioni che serve perdecifrare un messaggio. In questo caso, noto tutto il contesto, si può dire che lachiave per decifrare una tale scrittura è un numero d tale che 0 ≤ d ≤ 25. Infatti,la trasformata di una qualunque lettera di posto n è quella di posto n + d. Biso-gna però ricorrere all’addizione modulo 26, quindi risulta più pratico servirsi diuno strumento, il cifrario a rotazione, che verrà descritto di seguito.Questo tipo di cifratura, anche nel caso di d qualsiasi, viene denominatocifratura di Cesare ed è molto semplice da utilizzare, ma anche da “forzare”. Se lachiave d viene cambiata molto spesso, il metodo diventa più sicuro. Abbiamoperò in questo caso la difficoltà di far recapitare più volte la chiave al destinata-rio. Se l’intercettatore capisce che stiamo usando la cifratura di Cesare, non gliresta che provare tutte le 26 possibili chiavi per decifrare il messaggio. Conmolta probabilità ci sarà solamente una chiave che produrrà un messaggio inchiaro che abbia senso.Il problema maggiore è costituito dallo spiegare i concetti appena esposti aibambini delle scuole elementari. Per fare ciò, abbiamo in primo luogo costruitoun cifrario a rotazione (cfr. Figura 1), costituito da due dischi sovrapposti, l’unopiù grande e l’altro più piccolo. Il disco maggiore è fisso, quello minore è liberodi ruotare.I due dischi sono stati divisi in 26 spicchi. Sul disco maggiore abbiamo scrit-to le lettere dell’alfabeto italiano esteso, sul disco più piccolo l’alfabeto per cifra-re i messaggi. Nel nostro caso abbiamo scelto un alfabeto costituito da simbolidi nostra invenzione, ma ritenuti familiari per i bambini. In questo modo a ognilettera si associa un simbolo e il simbolo che sta sotto alla lettera A costituisce lachiave del messaggio segreto. Nei lavori in precedenza svolti dai componenti delNucleo di Ricerca Didattica (cfr. Zuccheri, 1992) le lettere venivano codificatemediante numeri, anche perché questo stratagemma portava alle applicazioninel campo dell’aritmetica modulare, ma ai ragazzi della mia classe pareva piùsimpatico farlo con i simboli e, in questo caso, non si pensava di arrivare a trat-tare tale argomento.Una volta costruita la ruota, si è cercato il modo più appropriato per comuni-care con i bambini. I ragazzi hanno constatato che i bambini sono di solitoattratti dalle favole e che quindi il modo migliore sarebbe stato quello di inven-tarsi una favola, come la seguente:“Una volta in un paese molto lontano viveva una principessa bellissima, estrema-mente intelligente e coraggiosa. Un giorno sfortunato la principessa venne rapita dala matematica dei ragazzi – quinta edizione58un mago cattivo che la rinchiuse in una cella in cima alla sua torre. Il mago però nonsapeva che la principessa comunicava con un principe attraverso dei messaggi segre-ti. La principessa e il principe usavano, per scambiarsi messaggi, il cifrario di Cesare.Ognuno di loro era in possesso del disco cifrante e conosceva la chiave per decifrare imessaggi. Il disco era in realtà costituito da due dischi sovrapposti, uno più grande euno più piccolo, che si muoveva rispetto al disco più grande. Sul disco esterno c’eranole lettere della lingua in cui si scriveva il messaggio e su quello più piccolo i simboliper scrivere il messaggio segreto. Per comporre il messaggio segreto serviva ancheuna chiave, che è costituita dal simbolo posto sotto la lettera A. La nostra principessascelse♥.Una volta posto il simbolo stabilito sotto la lettera A, si doveva sostituire ogni letteradel messaggio con il simbolo che compare sotto la lettera sul disco piccolo. Il suomessaggio, scritto in italiano, era: SOS SONO PRIGIONIERA e, cifratoLa principessa consegnò il messaggio a un piccione viaggiatore, ma il mago, che lastava controllando, riuscì a intercettarlo. Lui, però, non essendo in possesso dellachiave per decifrare il messaggio, dovette procedere per tentativi. Prima provò A = e ottenne: VRV VRQR SULJLRQLHUD.Figure 1 e 2Cifrario di Cesare59La nostra storia però non finisce qui… La principessa, rendendosi conto della possibi-lità che il mago intercettasse il messaggio, ne inviò subito un secondo, che il mago,essendo occupato con la decifrazione del primo, non riuscì a captare. Così il principepoté venire a salvarla.Durante lo svolgimento del meeting “La matematica dei ragazzi”, quindi, la visi-ta di ogni classe al nostro laboratorio iniziava con questo racconto. Nel corsodella narrazione, i ragazzi facevano attenzione a interagire il più possibile con ibambini. Di solito, poi, continuavano facendo riflettere i visitatori sul numerodi chiavi possibili per la decifrazione dei messaggi. I bambini di scuola prima-ria, la maggior parte delle volte, dopo aver contato i simboli della ruota, rispon-devano che c’erano 26 chiavi possibili. Poi si passava alla parte pratica: si pren-deva un volontario che scrivesse una frase alla lavagna, si faceva scegliere aturno la chiave e trascrivere la frase cifrata con i simboli.la matematica dei ragazzi – quinta edizione60La cifratura a sostituzione completaCome si è avuto modo di osservare nel corso del meeting, anche i bambinimolto piccoli si rendono conto che scrivere messaggi con il cifrario di Cesarenon è molto sicuro, proprio perché ci sono solo 26 modi possibili per sceglierela chiave.Il passo successivo perciò consiste nel prendere in considerazione, inveceche una traslazione dell’alfabeto, il caso in cui le lettere possono venir permuta-te in modo arbitrario. In questo caso la chiave è composta da una tabella cheassocia a ogni singola lettera in codice la lettera in chiaro.Le chiavi possibili sono tantissime: nel caso dell’alfabeto italiano esteso sonoben 26!, cioè 26 ◊ 25 ◊ 24 ◊ ... ◊ 2 ◊ 1. Questo metodo può venire, però, facilmenteforzato con il metodo dell’analisi statistica delle frequenze delle lettere.La tabella seguente ci mostra le frequenze relative (in percentuale) delle let-tere nella lingua italiana, trovate dai ragazzi della mia classe esaminando unarticolo di circa 1.000 lettere tratto dal Corriere della Sera:E A I O R N L T S D C U M12,3 11,8 10,8 7,9 7,4 7,3 7,0 6,6 5,5 3,8 3,7 2,9 2,6E A I O N R S L J T V D K10,8 10,2 8,9 8,8 6,9 5,3 5,2 4,7 4,5 4,5 4,0 3,6 3,5M P U Z B G Č H Š C Ž F3,3 3,1 2,2 2,1 1,8 1,5 1,5 1,1 1,0 0,7 0,7 0,1P G V F Z B H Q Y K J X W2,3 1,9 1,6 1,1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,1 0,0 0,0 0,0 0,0Analogamente, per lo sloveno è stata ottenuta la seguente tabella:61Bisogna comunque dire che i testi, specialmente quelli brevi, non rispecchia-no del tutto le statistiche e che quindi è meglio prendere in considerazioneanche la probabilità delle lettere di apparire alla fine delle parole oppure la pro-babilità che hanno di apparire in coppia, ecc. Un testo risulta essere tanto piùsemplice da decrittare quanto più è lungo, perché rispecchia meglio le proprietàstatistiche della lingua in cui è scritto. Perciò i messaggi in codice devono esserebrevi e la chiave deve venire cambiata spesso.Coi ragazzi abbiamo deciso di spiegare il cifrario a sostituzione completaservendoci delle parole crociate crittografate della Settimana Enigmistica. I ragaz-zi si sono messi all’opera risolvendo vari enigmi. Il problema era però quello ditrovarne uno in cui le frequenze relative delle lettere rispecchiassero quelle danoi ottenute. Ovviamente, essendo i crittogrammi composti da poche parole e,per lo più, non collegate in frasi dell’italiano scritto, ciò non accade spesso. Allafine ci siamo soffermati sul quesito n. 5.402 che non era troppo complicato darisolvere, rispecchiava le nostre frequenze e non conteneva troppe parole “diffi-cili”. Il cruciverba (che conteneva le informazioni: 3 = a, 7 = e, 11 = n e 12 = t) èriportato in Figura 2.Nel corso del laboratorio presentato al meeting “La matematica dei ragazzi”,si chiedeva ai visitatori di contare quante volte apparissero i singoli numeri,ottenendo:la matematica dei ragazzi – quinta edizioneNumero 7 3 5 12 8 11 4 1 2 10 13 6 15 14 9Frequenza 18 15 15 15 13 12 9 6 4 4 4 4 3 2 2Lettera e a t nQuesta tabella doveva essere confrontata con le tabelle delle frequenze danoi ottenute per la lingua italiana. Si poteva così ipotizzare che il numero 5 rap-presentasse la i e l’8, spesso presente alla fine delle parole, la o (invito i lettori aprovare a inserire le lettere nel cruciverba per seguire meglio quanto qui espo-sto). Così facendo si otteneva una parola completa, tetano, che confermava che siera sulla strada giusta.La successiva lettera più frequente, secondo le nostre tabelle, era la r. Asso-ciando al numero 4 la lettera r si ottenevano due parole che hanno senso, cioè rioe nere, che confermavano che si era fatta una scelta corretta. A questo punto sipoteva associare al numero 1 la s e ottenere, ad esempio, la parola interessante.Bisogna a questo punto notare che la s è una delle lettere che più frequentemen-te appaiono come doppie nelle parole italiane. Si scriveva poi la v al posto del62numero 14 , ottenendo nella terza riga la parola neve. Osservando il crittogram-ma, già quasi completato, si vedeva che, inserendo la p al posto del 2, si otteneva-no due parole complete: panetterie e trapasso. A questo punto, con un po’ d’intui-zione, si potevano inserire ancora le lettere mancanti: 6 = d, 9 = c, 13 = l, 15 = b e10 = m.Il problema maggiore di questa esposizione fu quello di trovare un modo perpoter completare il crittogramma in modo chiaro nel minor tempo possibile.Per fare ciò erano stati costruiti due cartelloni: su uno erano esposte le tabellecon i dati statistici e sull’altro il crittogramma. Le lettere erano state scritte sudei post-it, così da poter essere posizionate al momento opportuno: il gioco erafatto.Figura 3Parole crociate crittografate63ConclusioniI ragazzi hanno scoperto, attraverso la partecipazione a “La matematica deiragazzi”, che la matematica può essere anche divertente e che probabilmenteavevano scelto la scuola giusta, poiché lavorare con i bambini li aveva affascinatiparecchio.Trasportati dall’entusiasmo, gli studenti hanno in seguito espresso il deside-rio di presentare quanto da loro appreso anche ai bambini della Scuola Elemen-tare con lingua d’insegnamento slovena Oton Zupančič, con sede nel medesimoedificio del Liceo Pedagogico.Presi gli accordi con le maestre, siamo stati così ospiti della scuola elementa-re per ben due volte. In questi due incontri gli allievi hanno presentato quantoda loro esposto a “La matematica dei ragazzi”, prima ai bambini della prima edella seconda classe, poi a quelli delle classi terza, quarta e quinta. Anche in que-ste due occasioni i ragazzi sono rimasti molto soddisfatti del lavoro svolto inclasse con i bambini. Infatti gli allievi delle elementari sono risultati essere piùmotivati a scoprire concetti nuovi di quanto non lo siano stati gli studenti d’etàpiù avanzata.la matematica dei ragazzi – quinta edizione64bibliografia MARCEDDUM.C., 2002, “Il giocodell’agente segreto”, in ZUCCHERI L.,LEDER D., SCHERIANI C. (a cura di),2002, La matematica dei ragazzi:scambi di esperienze tra coetanei.Antologia delle edizioni 1996-1998,EUT, Trieste, pp. 43-49.SGARRO A., 1986, Crittografia,Muzzio, Padova.SGARRO A., 1989, Codici segreti,Mondadori, Milano.SGARRO A., ZUCCHERI L., 1992,“I codici segreti nell’insegnamentodella matematica”, Atti del Convegno“Media e metodi III: la matematica tradidattica e cultura”(Trieste 6-7maggio 1992),pp. 131-139.SINGH S., 1999, Codici & Segreti,Rizzoli, Milano.ZUCCHERI L., 1992, “Crittografia eStatistica nella Scuola Elementare”,L’insegnamento della matematica edelle scienze integrate, vol. 15 (1),pp. 19-38.note * Liceo Pedagogico Statale conlingua d’insegnamento slovena“A. M. Slomšek”, Via Caravaggio 4,I-34128 Triestee-mail: amslomsek@tiscalinet.it

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