A semi implicit, semi-Lagrangian p-adaptive discontinuous Galerkin method for the rotating shallow water equations: analysis and numerical experiments

Abstract

2009/2010Questa tesi ha come obiettivo la scrittura e l'analisi di un nuovo metodo semi-implicito semi-Lagrangiano discontinuous Galerkin (SISLDG nel seguito) per la risoluzione numerica delle equazioni delle acque basse, inteso come primo passo nella direzione di un progetto piu' ambizioso riguardante lo sviluppo di un dynamical-core non idrostatico di nuova generazione per la modellistica atmosferica regionale. In particolare il codice prodotto dovrebbe servire a migliorare la discretizzazione attualmente impiegata nel modello RegCM ( F. Giorgi, J. Climate, 1990). Le equazioni delle acque basse di fatto contengono tutti gli operatori orizzontali presenti in un modello atmosferico tridimensionale, pertanto rappresentano tipicamente il primo test necessario per ogni nuovo schema numerico pensato per applicazioni atmosferiche. Le tecniche proposte nella tesi sono non-standard nel contesto dei metodi Discontinuous Galerkin (DG) per problemi dipendenti dal tempo. Effettivamente dynamical-cores basati su DG sono molto promettenti per la loro accuratezza e flessibilità, tuttavia nella loro applicabilità alla risoluzione numerica di problemi di fluidodinamica a bassi numeri di Froude/Mach essi presentano un punto critico, costituito dalla limitazione imposta dalla stabilità sul massimo time step utilizzabile in calcoli di interesse pratico. Per esempio, in schemi di tipo Runge-Kutta-DG, la stabilità è stata dimostrata in (Cockburn e Shu, Math. Comp., 1991) purchè sia soddisfatta la seguente condizione CFL $$|c|\frac{\Delta t}{h} < \frac{1}{2k+1},$$ dove $k$ è il grado polinomiale e $c$ è la celerità delle onde che si propagano piu' velocemente. Pertanto, al fine di evitare che la scelta del massimo time step ammissibile fosse governata da considerazioni di stabilità anzichè di accuratezza, specialmente pensando a metodi di ordine elevato, si è deciso di non seguire la maniera standard di applicare DG a problemi dipendenti dal tempo come proposto, per esempio, in molti articoli di Cockburn e Shu. Piuttosto è stato seguito un approccio già sperimentato con successo nel contesto delle differenze finite (per esempio in Robert, J. Meteor. Soc. Japan, 1982, o Casulli J. Comput. Phys., 1990) e degli elementi finiti ( per esempio in Staniforth e Temperton, Mon. Weather Rev., 1986, o in Miglio, Quarteroni e Saleri, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng., 1999, o in Giraldo Q. J. R. Meteorol. Soc. 05) ma, non ancora pienamente esplorato nell'ambito DG. L'idea innovativa consiste nell'associare la semidiscretizzazione DG in spazio con la combinazione di una tecnica semi-implicita (SI) e una semi-Lagrangiana (SL) in tempo. Questo approccio e' stato suggerito dai risultati incoraggianti ottenuti da altri autori combinando DG separatamente con la tecnica semi-implicita (per esempio Restelli, Giraldo, SIAM J. Sci. Comput. 2009 ) oppure con quella semi-Lagrangiana (e.g. Restelli, Bonaventura, Sacco, J. Comput. Phys., 2006 ). I principali risultati originali di questo lavoro di tesi possono essere così riassunti: \begin{itemize} \item gli effetti sulla stabilità della soluzione approssimata di differenti scelte per gli spazi di velocità e pressione sono stati esaminati attraverso esperimenti numerici, dai quali è emerso che coppie velocità-pressione di grado diverso $Q_k - Q_{k-1}$ (rispettivamente) funzionano meglio di coppie velocità-pressione dello stesso grado, per le quali si sviluppano delle evidenti instabilità. Del resto benefici sulla stabilità derivanti dall'uso di spazi DG di ordine misto per velocità e pressione sono stati dimostrati per il poroblema di Stokes (Toselli, M3AS, 2002 and Sch\"otzau, M3AS, 2003), ed il fatto che i tipici regimi atmosferici siano caratterizzati da bassi numeri di Froude/Mach ha suggerito l'estensione della stessa strategia alle equazioni delle acque basse. \item Un semplice criterio di p-adattività è stato implementato per adattare dinamicamente il numero di gradi di libertà locali alla struttura della soluzione in ciascun singolo elemento. Ciò è stato ottenuto grazie alla flessibilità tipica delle discretizzazioni DG e grazie alla proprietà di ortogonalità delle basi di polinomi di Legendre utilizzate. Come dimostrato negli esperimenti numerici in una e due dimensioni la strategia di p-adattività utilizzata è abbastanza efficiente nel ridurre il costo computazionele, rivelandosi nel contempo sufficientemente semplice e robusta per poter essere applicata con successo anche in modelli climatici completi dove le numerose parametrizzazioni fisiche presenti nei termini di sorgente rendono difficoltoso eseguire rigorose analisi a posteriore dell'errore. \item La scelta di spazi per velocità e pressione con buone proprietà di stabilità ha reso possibile l'utilizzo di flussi numerici centrati per l'approssimazione delle tracce della soluzione sui bordi tra gli elementi, (come in Bassi e Rebay, J. Comput. Phys., 1997 ) termini questi che nascono dalla proiezione $L^2$ delle equazioni sullo spazio delle funzioni test (scelte uguali alle funzioni di base come nel Direct Characteristic Galerkin scheme di Morton, Priestley, S\"uli, ESAIM Math. Model. Numer. Anal., 1988 ) e dalla successiva integrazione per parti ove necessario. Inoltre la dimensione del problema discreto è stata ulteriormentre ridotta ricavando dalle equazioni della quantità di moto le componenti discrete della velocità in termini dell'elevazione discreta della superficie libera e sostituendo nell'equazione di continuità le espressioni risultanti, ottenendo così una singola equazione di Helmoltz discreta nella sola elevazione della superficie libera, che assume la forma di un sistema lineare nonsimmetrico, ma sparso che è stato risolto con uno schema GMRES. \item Per sfruttare a pieno le potenzialità dell'approccio semi-Lagrangiano usato, il solutore SISLDG proposto per le equazioni delle acque basse è stato associato a uno schema di advezione in forma di flusso per il trasporto di traccianti passivi (che è l'estensione dello schema di M. Restelli, L. Bonaventura, R. Sacco, J. Comput. Phys., 2006) di cui sono state esaminate le proprietà di preservazione delle costanti e di compatibilità con l'equazione di continuità . Il trattamento p-adattivo è stato esteso in maniera indipendente a ogni tracciante passivo. Di conseguenza variazioni del numero di gradi di libertà locali sono completamente indipendenti per ogni specie, permettendo così un raffinamento selettivo per talune variabili di interesse, lasciando inalterato il costo computazionale per le altre. \item Infine l'algoritmo proposto è stato implementato in un codice modulare Fortran95. L'implementazione monodimensionale è stata usata come modello per quella bidimensionale su mesh cartesiane. Il codice è stato usato per eseguire un certo numero di test per analizzare le proprietà di accuratezza e stabilità del nuovo metodo SISLDG. Risultati numerici ottenuti nell'ambito di casi test monodimensionali dimostrano che il metodo proposto cattura in maniera accurata e efficiente le principali caratteristiche delle onde di gravità lineari e inerziali e nonchè delle correnti in canali aperti con batimetria non costante e anche della soluzione di rarefazione del problema di Riemann. L'efficienza del metodo SISLDG è inoltre dimostrata dai risultati ottenuti ad alto numero di Courant e con scelta automatica dei gradi di approssimazione locale. Risultati numerici nell'ambito di casi test bidimensionali mostrano l'efficacia della stategia di p-adattività utilizzata anche nel caso di correnti non semplici (corrente di Smolarkiewicz) e l'accuratezza nella riproduzione di onde di gravità. \end{itemize}XXIII Cicl