Viene preso in esame l'uso del motore in corrente continua come servomotore e viene presentato un metodo per approssimarne il comportamento a quello di un motore ideale

Di Stefano, G.

Romeo, G.

Earth-prints Repository

Il motore elettrico: un integratore perfetto? 
G. Romeo e G. Di Stefano 
 
Premessa 
 
Uno dei modi per orientare un pallone stratosferico in volo diurno in zone polari è  
quello di utilizzare la posizione del sole, che assumiamo sempre presente. 
L’ultimo puntatore solare costruito all’INGV per la navicella BOOMERanG è  un 
sistema elettromeccanico basato su un’applicazione classica della teoria dei controlli. 
Un sensore sensibile al centroide di una sorgente luminosa (nel nostro caso il Sole), 
viene tenuto sul bersaglio da una coppia di servomotori; la posizione assunta 
dall’ottica che ospita il sensore viene portata in forma numerica attraverso una coppia 
di digitalizzatori angolari assoluti per essere  inviata al sistema di controllo di assetto. 
La fig 1 mostra lo schema a blocchi del puntatore.  
 
 
 
 
Fig. 1. Schema a blocchi del puntatore solare di BOOMERanG 2002. I due sensori a quattro quadranti vengono 
utilizzati per due sensori a differente apertura. Il sensore grossolano punta il sole per primo, allineando il 
sensore fine che, successivamente fornisce la posizione necessaria per il puntamento della navicella. 
 
 
Il reale problema di un dispositivo del genere è   la qualità della meccanica. Il primo 
prototipo soffriva dell’eccessivo momento di inerzia della meccanica e del passaggio 
tra attrito statico e dinamico che  induceva degli indesiderati gradini nei movimenti 
lenti. Dopo faticose compensazioni per indurre il sistema a funzionare, ci si rese conto 
della fragilità dell’insieme motore- ingranaggi e si decise di sostituire i motori con un 
modello più robusto. Dramma. Il riduttore di velocità ad  ingranaggi con recupero di 
gioco aveva un attrito proprio elevatissimo (particolare non desumibile dai cataloghi). 
In pratica, in un intervallo di funzionamento di 12 V il motore, collegato alla scatola 
degli ingranaggi, non cominciava a girare se la tensione ai suoi capi non superava i 
3V. Questo introduceva una discontinuità nell’anello di trasferimento che minacciava 
seriamente il buon funzionamento del sistema e la tranquillità degli autori. Quello che 
si desiderava ardentemente era un motore ideale, che potesse essere schematizzato 
con qualcosa di molto vicino ad un integratore (da cui il titolo della nota) in modo da 
indurre il prototipo a comportarsi come con i vecchi rimpianti, ma troppo fragili, 
motori.  Questa nota descrive una ricetta per indurre un motore in CC ad approssimare 
meglio un motore ideale.  
 
 
Integratore perfetto?  
 
Il motore che prendiamo in esame è  un tradizionale motore per servomeccanismi, con 
spazzole e magnete permanente. Se consideriamo il motore come un sistema con in 
ingresso la tensione di alimentazione  ed in uscita l’angolo del rotore, Il motore può 
essere considerato un integratore. Quando si applica tensione ai capi del motore il 
rotore comincia a girare ed incrementa la propria velocità finche’ la tensione prodotta 
dal rotore per effetto dinamo non uguaglia la tensione di alimentazione. Il tempo per il 
superamento di questo transitorio è  legato alla coppia indotta dalla corrente di 
alimentazione  e dal momento di inerzia del rotore. Dopo questo transitorio l’angolo 
del rotore può con buona approssimazione essere considerato proporzionale 
all’integrale della tensione di alimentazione.  Prima di questo punto la differenza tra la 
tensione prodotta per effetto dinamo e la tensione di alimentazione cade sulla 
resistenza degli avvolgimenti. La diminuzione della resistenza degli avvolgimenti è  
un primo passo per approssimare un integratore ideale. Ci sono molte ricette per 
compensare il comportamento bizzarro di un motore una volta che sia fatto lavorare in 
un anello di reazione. La strategia, semplice che si presenta qui  aiuta a rendere 
trascurabile la resistenza del motore, semplificando il progetto dell’anello di razione. 
La fig.2 illustra lo schema tipico dello stadio di pilotaggio di un motore: 
 
 
Fig.2 : schema di principio di stadio di potenza per il controllo di un motore. L’amplificatore di potenza ha la sua 
propria reazione, e trasferisce al carico la tensione di controllo. 
 
 
iuu
A
-
+
control voltage
input
Power amplifier
ideal
motor
winding
resistance
real
motor
dm VRIV +⋅=
RIVV md ⋅−=
 
Lo stadio finale è  un elemento di potenza in reazione totale. 
La tensione misurata ai capi del motore è  data da: 
• l’effetto dinamo 
• la tensione sulla resistenza interna del motore (winding resistance  in fig. 2) 
 
 
 
  
 
Vm   = tensione sul motore 
 I     = corrente attraverso il motore 
Vd   = tensione per effetto dinamo 
 
quindi: 
 
 
 
 
Una volta ottenuta Vd  (semplicemente con l’ uso di un amplificatore operazionale) 
possiamo usare questo valore per controreazionare lo stadio di potenza  (fig. 3). 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3: stadio finale migliorato con la compensazione della resistenza degli avvolgimenti. 
 
 
 
 
In questo modo la tensione di dinamo (cioè la tensione su un motore a resistenza 
interna nulla) è  forzata ad uguagliare la tensione di controllo. 
 
La Fig. 4 mostra una realizzazione pratica utilizzante un amplificatore operazionale. 
 
iuu
A
-
+
winding
resistance
real
moto
Power amplifier
ideal
motor
control voltage
input
ammeter
shuntwinding resistance
ammeter shunt
Qui, e nelle considerazioni successive, lo shunt amperometrico è  considerato 
trascurabile rispetto alle altre resistenze. 
 
 
 
Fig. 4:  Realizzazione pratica dello schema di principio illustrato in Fig. 3 
 
 
 
I componenti che compaiono in Fig. 5 sono regolati dalle seguenti relazioni: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
In realtà il segno di uguaglianza nella relazione precedente va assolutamente evitato e bisogna 
porre   
 
 
 
per mantenere il circuito stabile. Il  perché è  semplice, e può essere dedotto con una 
semplice considerazione: È  possibile immaginare il circuito descritto come un 
simulatore di resistenza negativa messo in serie alla resistenza dell’avvolgimento per 
diminuirne il valore.  Se il rapporto R3/R3  supera R1/R4  la parte negativa della 
resistenza è , in valore assoluto, maggiore di quella positiva. Abbiamo un motore 
0
0
iuu
A
-
+
1
2U1
3
2
6
+
-
OUT
R1
R4
R3
R2
control voltage
input
Power amplifier
real
motor
ammeter shunt
resistance   windingshunt    ammeter 
2
3 =⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
R
R
2
3
4
1
R
R
R
R =
2
3
4
1
R
R
R
R >
ideale con in parallelo una resistenza negativa, cioè  un sistema con un polo a parte 
reale positiva, e quindi instabile. 
 
 
 
Qualche simulazione: 
 
 
messa a regime della velocità 
 
Le Fig.5 e Fig.6 mostrano la velocità angolare di un motore (con I/a2 =0.1, vedi 
appendice) alimentato con un gradino di tensione.   Sono tracciate le risposte del 
motore nel circuito di  Fig. 2 (nessuna compensazione) e del motore nel circuito di 
Fig. 3 (compensato). La Fig. 5  mostra un motore senza carico, la 6 un motore con 
carico dipendente linearmente dalla velocità.  Da questi diagrammi è  possibile vedere 
come il sistema compensato sia in grado di raggiungere più facilmente la velocità di 
regime e sia meno sensibile alla presenza del carico.  
 
 
 
 
Fig. 5: Raggiungimento della velocità di regime per eccitazione a gradino; motore senza carico 
 
 
 
0 2 4 6 8 10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
The black dashed line : wanted speed (voltage on the motor)
blue line : motor speed with no feedback
red line  : motor speed with feed-backm
ot
or
 s
pe
ed
time
 
 
 
Fig. 6 Raggiungimento della velocità di regime per eccitazione a gradino; motore con carico dipendente dalla 
velocità. Notare come la presenza del carico sia praticamente trascurabile a sistema compensato. Per ottenere 
questo diagramma è  stata usato uno shunt amperometrico pari ad 1/10 della resistenza degli avvolgimenti. 
 
 
 
Reazione di posizione. 
La Fig.7 rappresenta un feed-back di posizione, senza alcun tipo di compensazione  (come PID o 
simili) 
 
 
 
 
 
 
Fig. 6: Reazione di posizione. Ponendo a 0 il valore di feed-back gain otteniamo un semplice, inseguitore di 
posizione. 
 
0 2 4 6 8 10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
The black dashed line : wanted speed (voltage on the motor)
blue line : motor speed with no feedback
red line  : motor speed with feed-backm
ot
or
 s
pe
ed
time
0
0
V1
+-
 
position
transducer
motor
power amplifier
feed-back gain
La Fig. 8 mostra il comportamento del sistema di fig. 7 per una eccitazione a rampa, 
seguita da un valore costante, per feed-back gain  =0 e per feed-back gain  
≅winding_resistance/ammeter_shunt. 
 
 
 
Fig.8: il sistema di Fig.7 non compensato e compensato. Da notare la presenza di oscillazione nell’anello non 
compensato, mentre la compensazione limita l’errore ad un errore di posizione praticamente costante durante 
la rampa.  
 
 
 
 
Carichi esotici: attrito statico ed attrito dinamico 
 
Per posizionamenti lenti e precisi i motori (e le varie meccaniche correlate) possono 
soffrire delle oscillazioni indotte dal passaggio tra attrito statico ed attrito dinamico. 
Quando si alimenta un motore esiste una soglia di tensione oltre la quale il motore 
comincia a girare: il motore si muove quando la coppia (determinata dalla tensione di 
alimentazione divisa la resistenza dell’avvolgimento) supera la coppia resistente 
indotta dal coefficiente di attrito statico. Dopo questa soglia il motore inizia a girare, e 
continua a farlo finche’ la coppia sul rotore è  maggiore della coppia prodotta 
dall’attrito dinamico. Se il motore fa parte di un anello con reazione di posizione, la 
presenza di queste due soglie  causa una isteresi nel comportamento del sistema. La 
Fig.9 mostra il comportamento di un sistema con reazione di posizione non 
compensato, tenendo conto degli attriti statico e dinamico. 
 
 
 
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
5
6
control signal
compensated response
uncompensated response
po
si
tio
n 
eq
ui
va
le
nt
 v
ol
ta
ge
time
 
 
 
Fig 9. A sinistra il comportamento di un sistema di feed-back di posizione dove è  evidente la granulosità nel 
posizionamento causata dalle due soglie di attrito statico e dinamico. A destra un dettaglio evidenziato. 
 
La Fig. 9 descrive in dettaglio le oscillazioni indotte dal passaggio tra attrito statico ed 
attrito dinamico. Qui l’attrito dinamico è  stato scelto linearmente dipendente dalla 
velocità (come può essere quello causato da una riduttore di velocità con ingranaggi 
in bagno d’olio). La presenza dell’attrito  ferma periodicamente il movimento del 
motore e lo mantiene fermo finche’ la coppia  non supera nuovamente la soglia di 
attrito statico. 
 
Fig9: oscillazioni indotte dal passaggio dall’attrito statico all’attrito dinamico. In condizioni di attrito dinamico il 
sistema opera linearmente ed approssima il segnale di controllo con oscillazioni a decadimento esponenziale 
1). Se la coppia sul motore a velocità nulla non supera la soglia statica, il motore si ferma  2). Questo fa 
aumentare la tensione di errore nel loop e, di conseguenza la coppia cresce e raggiunge il coefficiente di 
attrito statico  3). Questo fa partire un altro ciclo  4).  
 
50 100 150
2
3
4
5
6
po
si
tio
n 
eq
ui
va
le
nt
 v
ol
ta
ge
time
99 100 101
4,92
4,98
5,04
control signal
compensated
uncompensated
time
84 90 96
4
electrically
induced torque
position
control signal
4)
and starts another 
exponential decay
3)
2)
1)
until the torque reaches the
static coefficient
static friction: the motor stops
and keeps the position...
kinetic friction: esponential 
decay to the target
po
si
tio
n 
eq
ui
va
le
nt
 v
ol
ta
ge
time
dttI
C
tdV )(1)( ⋅=
dttIadttNtd )()(1)( ⋅Ι=⋅Ι=ω
bV ⋅= ω
2a
C Ι=
 
 
Appendice: la simulazione di un motore con SPICE 
 
Una rete RC può simulare un motore 
 
Un condensatore ed un motore sono regolati dalle stesse equazioni. La legge che lega 
tensione e corrente in un condensatore è : 
 
 
     (1) 
 
 
dove C è  la capacita, V(t) la tensione sul condensatore ed I(t) la corrente attraverso il 
condensatore. 
La relazione che lega la velocità angolare e la coppia in un motore è : 
 
 
 
  (2) 
 
 
dove I è  il momento angolare del motore, N la coppia, ω la velocita angolare ed a il 
guadagno che lega la coppia N alla corrente I. Il motore produce, inoltre una tensione 
proporzionale (attraverso il coefficiente b)alla velocità angolare: 
 
 
 
                                       (3) 
 
 
sostituendo il valore di ω ottenuto dalla (3) nella (2), e confrontando il risultato con la 
(1) otteniamo (è  possibile dimostrare che a=b): 
 
 
 
 
 
           (4) 
 
 
Il significato di queste considerazione è  che: 
 
Un condensatore di capacità C puo’ essere considerato equivalente ad un motore con 
momento di inerzia del motore I   e  un rapporto coppia/corrente a (vedi (2) e (4)). La 
tensione ai capi del condensatore rappresenta la velocità angolare del motore divisa 
per a e quindi la posizione angolare puo’ essere calcolata integrando V/a. 
Qualunque carico inerziale puo’ essere simulato modificando il momento di inerzia I.  
R
a 2⋅=Μ ω
Un carico meccanico proporzionale alla velocità può essere simulato da una resistenza 
in parallelo al condensatore. Il momento di carico M prodotto da questa resistenza R 
può essere scritto come: 
 
 
 
 
 
 
           (5) 
 
 
 
Per simulare carichi non dipendenti dalla velocità (attrito dinamico di sfregamento) 
può essere utilizzato un generatore di corrente in parallelo al condensatore. La 
resistenza degli avvolgimenti del motore può essere simulata da una resistenza posta 
in serie al condensatore.  In questa sede non sono state fatte considerazioni 
sull’induttanza offerta dagli avvolgimenti del motore: le frequenze in gioco in un 
sistema con un servomotore sono usualmente troppo basse per subire sostanziali 
modifiche con l’uso di un modello più preciso. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 10: modello equivalente di un motore mediante l’utilizzazione di una rete RC 
 
 
 
 
Simulazione dell’attrito statico e dinamico. 
 
L’attrito statico è  la forza relativa che si esercita tra due superfici a contatto e che ne 
impedisce il movimento relativo finché non  viene superata una soglia. Questa soglia 
(una coppia o una forza) è  descritta dal coefficiente di attrito statico. L’attrito 
dinamico è  la forza che si esercita tra due superfici in movimento relativo, ed è  
necessariamente più piccolo dell’attrito statico. 
motor power
motor power
velocity output
position output
 
 
 
integrator
gain block
winding resistance
C capacitor (see formula (4)) velocity dependent load (see formula (5))
In un motore la forza (meglio la coppia) è  controllata dalla corrente sugli 
avvolgimenti. Per simulare l’attrito statico dobbiamo impedire il movimento del 
motore simulato finchè  la coppia indotta dalla corrente non supera la soglia di attrito 
statico. Questo è  possibile  mantenendo il condensatore scarico con un interruttore 
controllato. Quando la soglia di attrito statico è  superata, l’interruttore si apre ed il 
motore simulato può girare su un carico rappresentato dall’attrito dinamico. 
L’attrito dinamico può essere diviso in due parti. Una parte non è  dipendente dalla 
velocità, ed è  data dallo sfregamento di superfici (per esempio cuscinetti ad attrito 
radente) un’altra è  dipendente dalla velocità (per esempio l’attrito viscoso di 
ingranaggi in bagno d’olio).  
 
La parte indipendente dall’attrito può essere simulata inducendo una corrente ai capi 
del condensatore dipendente solo dal segno della velocità del motore (segno della 
tensione ai capi del condensatore): un sistema di scarica a corrente costante. 
 
 
 
 
 
La parte dipendente dalla velocità può essere simulata utilizzando una resistenza (5) 
La Fig. 11 descrive il modello di un motore con simulazione di attrito statico e 
dinamico 
 
 
  
Fig. 11: Modello di motore con simulazione di attrito statico e dinamico. La porta OR permette al motore di girare 
se la coppia (tensione ai capi della resistenza degli avvolgimenti) supera il coefficiente di attrito statico o se 
il motore sta già girando (condizione di attrito dinamico) 
 
⎩⎨
⎧
=
≠⋅−=
 0  if                               0
0  if   )(
coil
coilcoilkinetic
static V
VVsignI
I
ABS
ABS
+
-
+
-
motor power
motor power
velocity output
position output
C capacitor (see formula (4))
winding resis tance
velocity dependent load (see formula (5))
static friction
coefficient
movement
detector
movement
 treshold


Il motore elettrico: un integratore perfetto?

http://www.earth-prints.org/bitstream/2122/4875/1/Il%20motore%20elettrico.pdf

Il motore elettrico: un integratore perfetto?

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