Ahmet, İNAM, "ÖZ ÖBEĞİN TÜMLEYENİ KÜME MİDİR, ÖZ ÖBEK MİDİR?

Ahmet İnam

Directory of Open Access Journals

2006/1 Sayı: 43 FELSEFE DÜNYASI YILDA İKİ KEZ YAYIMLANIR Sahibi Türk Felsefe Derneği Adına Başkan Prof. Dr. Necati ÖNER Sorumlu Yazı İşleri Müdürü Prof. Dr. Ahmet İNAM Yazı Kurulu Prof. Dr. Necati ÖNER Prof. Dr. Ahmet İNAM Prof. Dr. Murtaza KORLAELÇİ Doç. Dr. Hüseyin Gazi TOPDEMİR Doç. Dr. İsmail KÖZ Felsefe Dünyası Hakemli Bir Dergidir. ISSN 1301-0875 Felsefe Dünyası 2004 yılından itibaren PHILOSOPHER'S INDEX ve TÜBİTAK /ulakbim tarafından dizinlenmektedir. Yazışma ADRESİ P.K. 21 Yenişehir/ ANKARA Tel&Fax: 0.312 231 54 40 Fiyatı: 15 YTL (KDV Dahil) Banka Hesap No: Vakıfbank Kızılay Şubesi: 00158007288336451 Dizgi ve Baskı Türkiye Diyanet Vakfı Yayın Matbaacılik ve Ticaret İşletmesi OSTİM Örnek Sanayi Sitesi 1. Cad. 358. Sk. No: 11 Y.Mahalle / ANKARA Tel: 0.312 354 91 31 (Pbx) • Fax: 0.312 354 91 32 Felsefe Dünyası, 2006/1, Sayı 43 ÖZ ÖBEĞİN TÜMLEYENİ KÜME MİDİR, ÖZ ÖBEK MİDİR?* Ahmet İnam** Bu çalışmada Russell Paradoksunun çözülmesi için oluşturulan aksiyomatik sistemlerden Von Neumann, Bernays, Gödel ve Morse'un geliştirdiği yapı içinde, Lemmon'un değinmediği bir sorunu irdelemeyi amaçlıyorum. Kümeler kuramının, sözünü ettiğim sistem içinde, öbekler üzerine kurulduğu­nu söyleyebiliriz. Öbek, tıpkı E gibi tanımsız bırakılıyor. Öbek; temelde, Russell para-doksunu' çözmek için iki ayrılıyor: 1. Öz öbek ve Küme Özöbeğin tanımı: Özöx H Vy (xe, y) Kümenin tanımı: Küm x H3y (XE y) Bu yazıda irdelenecek sorun şudur: Acaba öz öbeğin tümleyeni nedir? Sistem-de, kümenin tümleyeninin öz öbek olduğu kanıtlanmıştır.2 , Vx (Küm x ➔ Özö -x) (!) burada -x, x öbeğinin tümleyeni anlamındadır. Örneğin şu önerme bir teorem midir? Vx (Özöx ➔ Küm -,-x) (2) ilk bakışta öyle görünüyor. Örneğin E'nin, evrensel öbeğin tümleyeni 0, boş kümedir. x, yerine E yazdığımızda, yukarıdaki önerme doğru oluyor! (Boş küme, 0, aksiyom gereği, kümedir!) Peki aşağıdaki önerme için ne diyebiliriz? Vx (Özöx ➔ Özö -x) (3) acaba hangisi teoremdir, (2) mi, (3) mü? (3)'ün yanlış olduğu daha doğrusu en az bir yanlışlayıcı yorumu olduğu, (2)'nin doğrulayıcı yorumundan anlaşılıyor. (3)' de x yeri-ne E yazdığımızda (3) yanlış olur, çünkü ÖzöE bir teoremdir, "mantıkça" doğrudur; oysa Özö -E, Özö0'e eşittir. Küm0, aksiyom olduğuna göre, onun değillemesi olan Özö0 yanlıştır. * Sevgili Hocam Teo Grünberg, sanırım 1980 yılıydı, beni masasının başına oturtmuş, önce Russell Paradok-sunu anlattıktan sonra, "bak bundan şöyle kurtuluyoruz" diyerek, küme ve öz öbek tanımlarını yapmıştı. Şimdilik "birey" ve "öbek" kavramlarının ek1endiği bir kümeler kuramında karar kılmışa benziyor. (Sem-bolik Mantık El Kitabı, Cilt 3, Metu Press, Ankara 2000, s. 65-127) "Şimdilik" diyorum, hocam her zaman düşüncelerini yeniler, her dem taze düşüncelerle doludur. Bu yazımda ben yalnızca özöbek ve kümeyi ·göz önüne alan E. J. Lemmon'un monografisine bağlı kalacağım. (Iııtroductio,ı to Axioıııatic Set Theoıy, Routledge and Kegan Paul, Landon, 1968). **Prof.Dr., Orta Doğu Teknik Üniversitesi 1 Russell paradoksunun kısa bir açıklaması için Türkçe kaynaklardan biri Teo Gıiinberg, Sembolik Mantık, Cilt 3, Metu Pres, Ankara, 2000, s. 88-90. 2 Lemmon, Teorem 105. 1 Felsefe Dünyası Acaba (2)'yi yanlışlayan, (3)'ü doğrulayan bir öbek bulunabilir mi? O zaman hem (2), hem (3) teorem olamaz. Böylece Öz öbeğini tümleyenin hem küme hem de yine bir öz öbek olabileceğini göstermiş Oluruz! Bu çalışmada, (3)'ü doğru kılan en az iki öbek olduğunu göstermeye çalışaca­ğım. Bunlar, Öz ve Öğ öbekleridir. Öz ve Öğ öbekleri sıralanmış ikilililerden oluşurlar. Öz = { < x, y >: x = y}, bu öbeği özdeşlik öbeği olarak adlandırabiliriz. Bu öbeği oluşturan ön üye x, ard üye y'ye eşittir! Öğ ={ < x, y >: x E y } , bu öbeğe de öğelik öbeği denilebilir. Ön üyenin, ard üyenin öğesi olduğu, sıralanmış ikililerden oluşan bir öbektir. Bu iki öbek de öz öbek-tir.3 Şimdi Öz'ün ve Öğ'ün tümleyenlerini yazalım.4 -Öz={z: VxVy (z;e<x, y> v x;<y} (4) -Öğ = {z: VxVy (z ;e <x, y> v x e: y} (5) Acaba (4) ve (5)'le dile getirilen öbekler öz öbek midir? Bir öbeğin öz öbek olduğunu, şu teorem yardımıyla da kanıtlayabiliriz. VxVy (Özöy Ay ı;;x ➔ Özöx)5 (6) (6), bir açıdan şunu söylüyor: Eğer öz öbek olduğunu kanıtlayacağımız öbek, öz öbek olduğu önceden kanıtlanmış bir öbeği içine alırsa, ya da bir başka türlü deyişle, öz öbek olduğu kanıtlanmış bir öbek, öz öbek olduğu kanıtlanacak öbeğin alt kümesi ise, kanıt gerçekleşmiş olur. Öyleyse, acaba -Öz ve -Öğ'ün alt kümesi olabilecek öz öbek var mıdır? Örneğin: 3x (x ı;; -Öz A Özöx) (7) ve 3y (y ç -Öğ AÔzöy) (8) doğru mudur? Yanıt, "evet"tir. Bunun için aşağıdaki önermeleri kanıtlamak gerekiyor: Öğ ı;; -Öz (9) Öz ı;; -Öğ (10) (9) ve (1 O) baktığımızda mantıkça eşdeğer olduğu aşağıdaki teoreme dayanarak söyle-yebiliriz. VxVy (x ı;; y ➔ -y ı;; -xı6 Öyleyse birinin kanıtlanması yetecektir! (9)'u kanıtlarsak, Öz öbeğin tümleye-ninin öz öbek olduğu iki örnek bulmuş olacağız, böylece (3)'ün doğrulayıcı iki yoru-3 Lemmon, Teorem 168. 4 Tümleyen x, -x olarak gösterilir şöyle tanımlanır: -x = { z : zı;ı;. x} Buradan Vy (ye-x H Küm y A yex). ' 5 Lemmon, Teorem 100. 6 Lemmon, Teorem 46. 2 ]. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. Felsefe Dünyası munu yapmış olacak, (2)'nin teorem olmadığını göstermiş olacağız. ( (3)'ün teorem olmadığı zaten gösterilmişti!) Kanıtı çözümleyici çizelge yardımıyla yapıyoruz! Kanıtlayacağımız sav: Öğ s:; ~ Öz Öğ ve~ Öz'ü anımsayalım: ~Öz= { z: 'vx 'vy (z * <x, y> v x * y)} Öğ = { <x, y>: X E y} Öğ, şöyle de yazılabilir: Öğ= {z: 3x 3y (z=<X, y > /\ XEY) )7 Kanıta başlayabilir, 17 satırda bitirebiliriz: ~ [{z: 3x 3y (z=<x, y> /\ xEy)] ç;; {z: 'vx'vy (zae<x, y> v xae y)}] (Savın Değillemesi) Küm a A 3x 3y (a = <x, y >" xEy) ~ [Küm a /\ 'vx'vy (a * <x, y>v x * y)] Küma 3x 3y (a=<x, y > A xEy) a=<b, c> bEc ~ Küm av 3x 3y (a=<x, y> A x=y) 3x 3y (a=<X, y> A x = y) a = <d, e> d=e <b, c> =<d, e> b = d c=e b=e b=c bEb (Axiom ofRegularity)8 1, Alt küme tanımı ! ,Alt küme tanımı 2 2 5, Tikel Özelleme 5, Tikel Özelleme 3, De Morgan 4,8.ModusTollendo Ponens 9, Tikel Özelleme 9, Tikel Özelleme 6, 10 12 ı2 11, 13 14, 15 7, 16 X 17, Düzenlilik Aksiyomu Yukarıdaki kanıtta ulaşılan 17. satırda bEb'nin mantıkça yanlış olduğunu göstermek için çözümleyici çizelge yöntemiyle kanıtı sürdürelim. 1. bE b (Kanıtlanacak Önerme) 2. 'vx [x ae0 ➔ 3y (YE x A xny =0)] (Düzenlilik aksiyomu) 3. {b} * 0 ➔ 3y (yE {b }A {b ]ny =0) (2, Tümel özelleme) 4. {b} * 0 (MantıkçaDoğruÖnerme) 5. 3y (yE {b}A {b]ny =0) 3, 4, Modus Ponens 6. fE {b}A {b}nf=0 5, Tikel Özelleme 7.fE{b} 6 8. {b]nf=0 6 7 Lemmon, Tanım 28. 8 Lemmon, Aksiyom 1 O. 3 9. Kümb 10. f = b il. {b)nb=0 Felsefe Dünyası 12. Q§Jhl A bEb H b E 0 Doğru Yanlış 13. be:b X 1, 13 1 7 8, 10 11, Kaplamsallık Aksiyomu J 2, Mantıksal Eşdeğerlilik Böylece, Öz ve Öğ gibi iki öz öbeğin tümleyenlerin de öz öbek olduğunu göstermiş olduk. Genel olarak söylendiğinde öz öbeğin tümleyeni küme olabileceği gibi (-E = 0), öz öbek de olabilir. (ÖzöÖz, Özö-Öz, ÖzöÖğ, Özö-Öğ). ABSTRACT Is Complement ofa Proper Class, Proper Class or Not? It is well known that in Von Neumann- Bernays- Gödel version of axiomatic set theory classes are divided into two groups: s'ets and proper classes. Sets are members of other classes and proper classes are not member of any class. In this paper, it has been proven that complement ofa proper class may be a set as well as a proper class. Two examples of proper classes whose compliments are also proper classes are I andE. Key Words: Axiomatic Set Theory, Von Neumann- Bernays- Gödel, Sets, Proper Classes. Compleınent. 4 

ÖZ ÖBEĞİN TÜMLEYENİ KÜME MİDİR, ÖZ ÖBEK MİDİR?

https://dergipark.org.tr/tr/download/article-file/1456820

ÖZ ÖBEĞİN TÜMLEYENİ KÜME MİDİR, ÖZ ÖBEK MİDİR?

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Directory of Open Access Journals