Quelques aspects de l'analyse à l'époque de Lagrange (le rôle des analogies)

Abstract

L'analyse à l'époque de Lagrange est étudiée à travers quatre thèmes. Trois d'entre eux concernent l'analogie des puissances et des différentielles. Dans un quatrième, se pose la question des relations entre le calcul différentiel et le calcul aux différences finies. Lagrange donne à la méthode de variation de la constante une portée générale qui intéresse les équations différentielles, les équations aux différences finies linéaires et les problèmes de Mécanique céleste. Dès les années 1760, se mettent en place des éléments qui, au XIXème siècle, permettront de constater les analogies entre les équations différentielles linéaires et les équations algébriques. Un traitement spécifique des constantes d'intégration se manifeste aussi dans la théorie des solutions singulières due à Lagrange. Cette théorie ne s'adapte pas de façon immédiate au cas des équations aux différences finies. Lagrange en tire argument pour disqualifier les conceptions de l'Analyse qui reposent sur un passage du fini à l'infiniment petit. La résolution de certaines équations aux dérivées partielles fait apparaître des séries formées à l'aide des dérivées successives d'une fonction arbitraire, celles-ci se prêtent à l'utilisation de méthodes symboliques. Ce domaine est exploré par Brisson, Laplace et Poisson. En utilisant les termes mêmes par lesquels Lagrange démontre la formule de Taylor, Brisson établit, pour les opérateurs différentiels, une formule analogue. L'analogie des puissances et des différences a un statut très particulier dans l'oeuvre de Lagrange : elle est étroitement liée à une conception fondamentale de l'Analyse reposant sur la série de Taylor, mais elle conserve un caractère inductif.LILLE1-BU (590092102) / SudocSudocFranceF